12)专题-组合恒等式教师教师版

1、第一课时：简单的组合恒等式的证明【教学目标】1 掌握基本的组合数公式，能较为熟练的运用组合数公式.2了解组合恒等式的基本的证明方法，会证明较为典型的组合恒等式.【教学过程】一、课堂引入同学们了解以下的组合数公式吗？解决组合恒等式问题需要对组合数公式比较熟悉，所以要 掌握一些最基本的公式和常用的组合恒等式.基本组合数公式 C； =C；(2) CU+CT(3) kC： = nC 壮或 C：=?C；k= Cncin (mk + 3C2 +. + (/?- 1)C；-2Z-1 + nC；x,r1 =/?(! + x)n1:(2) 求和：12+22(7；+32(7；+ a l)2cT+，G；, 例 3.

2、(1)求 7C：_4C；的值;设(加+l)C；：+M+2)C+(7+3)C；：+2+g：T+(“ + l)C；=0+l)C 总结：证明组合恒等式的常用方法(1) 公式法，利用上述基本组合恒等式进行证明；(2) 母函数法，也成为生成函数法：(3) 求导数积分赋值法(类似于陈颖老师所说的函数升降格变形)；(4) 数学归纳法：(5) 利用组合数的实际意义；在具体解题中，常常需将这些方法同时结合运用.其中法5利用组合数的实际意义不常用. 【巩固练习】1. 已知(3x 一 1)，= a-jX1 + a6x6 + + ax + 求：(1 ) +。2+ + 吗；(2) 6/| + t/j + (1 + Cl

3、j : (3)吗+色+山+他2. 请先阅读：在等式cos2x = 2cos2x-1 (xgR )的两边求导，得：(cos2xy = (2cos2x-l)r , 由求导法则，得(-sin2x)2 = 4cosx*(-sinx) 化简得等式：sin 2x = 2cosxsinx (1)利用上题的想法(或其他方法)，结合等式(1 +X)H =C：； + C* A- + C2 +. + C；xH(xwR,正整数M2),证明：川(1 + x)心= 对于正整数M3,求证：(i) f冷0： (ii) (-1你宅=0：第二课时：组合恒等式的应用【教学目标】1 掌握髙中阶段组合恒等式证明的四种方法，能熟练选择并

4、运用.2 会用组合恒等式的思想解决一些较为复杂的组合数求值问题，理解组合数求值问题的本质. 【教学过程】一、课堂引入前而我们学些了四种基本的证明组合恒等式的方法，但是在具体操作时我们发现，并不是所 有的问题都是以恒等式的形式展现的，我们会遇到一些关于组合数的求值问题，如何去求解 这些问题，能否用前而我们所学到的方法去解决，哪些方法可以继续使用？这就是我们今天 所要研究的问题，从恒等式角度去探索求值问题，看淸求值问题的本质.二、例题精讲例 1.已知 （尤）=（1+x）n.（1）gM = f6（x） + 2f7 （x） + 3/8（x）,求 g（x）中含严项的系数;（2）化简C；：+2C爲+3C爲

5、+皿；：心（叫（用加山表示）,写出推理过程.例题 2.已知 Z,Gv) = cy(1)若 gM = f4(x) + 2f5(x) + 3f6(x) 9 求 g(x)中含 x4 项的系数;证明：C阳 +2C；+2 +3C；d + +g=7： + g m + 3例 3设 / eI / 3 k 已 N (1) 求值： kCC：；(2) 化简：12C + 22C；,+32C； + +(A: + 1)2C； + + (/? + l)2C；.【巩固练习】1 设(1 x)n=ao+ajx+a2X2Hanxn nGN n$2.(1) 设 n =11,求labl+la?l+la8l+la9l+ laI0H-la

6、nI的值：(2) 设 bn=”_Rak+i(kN, kWn1), Sm=bo+bi+b2+bm(mWN, mWn1),求 的值.2.在自然数列1，23,中，任取k个元素位置保持不动，将其余n-k个元素变动位置， 得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为p ky（1）求乙（1）；（2）求f出（灯：尺0（3）证明峨刃即（約，并求出匕的值.jfc-oJI-0*-0n;i-l比（灯=八P“ （k）（理解“新数列”含义，导出jz很重要，本题改编自第28届IMO古巴）第三课时：较复杂的组合恒等式的证明【教学目标】1 掌握复杂的组合恒等式的证明方法，对算两次的思想充分理解.2了解英他证明组合恒等式的

7、方法(比如幕分解.赋复数值，递推累加)，并会简单的应用. 【教学过程】一、课堂引入同学们前面我们学习了怎样证明组合恒等式，会解决了一些组合数求值问题今天来学习 更为复杂的组合恒等式的证明问题.二、例题精讲例题i已知等式(1+*严=(1+珊!(i+xr(1) 求(1 +小心的展开式中含f的项的系数并化简+c鳥+ c;：q(2) 证明：(C；j2+2(C：)2+. + n(C；)2=”C打例题2题文：对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同的构造等式，这种方法称为“算 两次的思想方法。利用这种方法，结合二项式龙理，可以得到很多有趣的组合恒等式。 例如，考察恒等式(l + x)2n =(l + x)

8、H(l + A-)n(/?e/V),左边x的系数为C；,而右边 (1+hQ+h=(U+C+C：*) * 的系数为 c；c： +c；c：7 + +c：c： =(c；：)2 +(c：y + +(c：y, 因此，可得到组合恒等式c;： = (c汙+(c：) +(c：(1)根据恒等式(1 + X)，n+n =(1+ x)m(1 + x)n(加,ne/V)两边十其中(k eN.km.k 0),其中/. (x) (i G 0丄2,/)是关于x的函数.若(W(iwN),求&,心疗(2)的值；X)1 (2)若(i eN),求证：Fn(x)=:(/?eN*)x + i(x + l)(x + 2)(x + n)3. (递推累乘)设P伽加)=(一1)9：斗，Qg