（完整版）数列知识点总结

1、本word文档可编辑可修改 数列知识点总结1.等差数列 的定义与性质定义： an 1 an d ( d为常数 )，a a n 1 dn1等差中项： x，A，y成等差数列2A x ya1 a nn n 1d2n前 n项和 Snna12性质： a是等差数列n(1)若 m n p q，则 am an a a；pq(2)数列 a2n 1 , a , a2n 1仍为等差数列， S， S2n S， S3n S仍为等差数2nnn2n2列，公差为 n d；(3)若三个成等差数列，可设为 a d，a，a d(4)若 a， b是等差数列，且前 n项和分别为 S， T，则ambmS2m 1T2m 1nnnn2(5)

2、 a为等差数列nS an bn ( a，b为常数，是关于 n 的常数项为 0 的二次函n2数)。S 的最值可求二次函数 S an bn 的最值；或者求出 a中 的正、负分界项，(即：nnna 0n当 a 0 d 0，解不等式组可得 S达到最大值时 的 n值;当 a 0 d 0，由，n 1，1an 10a 0n可得 S达到最小值时 的 n值. )0nan 1(6)项数为偶数 2n 的等差数列 an，有S2n n(a a ) n(a2 a2n 1)n(a a )(a , a为中间两项 )n n 1 n n 112nS奇anS偶 S奇 nd，.S偶an 1(7)项数为奇数 2n 1 的等差数列 an

3、，有S奇S偶nS2n 1 (2n 1)a (a为中间项 )，S奇 S偶 a，n.nnn 11 2.等比数列 的定义与性质定义： aq ( q为常数， q 0)， a a qn 1n 1.n 1anG 2 xy，或 Gxy .等比中项： x、G、y成等比数列na (q 1)1前 n项和： Sna 1 qn1(q 1)1 q性质： a是等比数列n(1)若 m n p q，则 a a a aqmnp(2) S，S2n S， S3n S仍为等比数列 ,公比为 q n .nn2n3求数列通项公式 的常用方法S S ,n 2nn 1由 S求 a。( an)nnS ,n 11111例 1：数列 a， a1a

4、 2n 5，求 anna2n222n21解 n 1时， a 2 1 5， a 14112n 2时， 1 a121a 1a 2n 52n222n111an 1 2n 1 5a1a 22222n 114(n 1)12nn 1得：an 2， an 2， ann 12 (n 2)5练习数列 a满足 S Sn 1an 1，a 4，求 an1nn3Sn 1注意到 an 1 Sn 1 S，代入上式整理得n4，又 S 4， S是等比数列，1nSnn 13 4 ,n 24,n 1nn 13 4故an故 S 4。 n 2时， a S Sn 1 nnn2 由递推公式求 an(1)累加法 ( an 1 anf (n)

5、形式 )例 2：数列 a中， a 1，a 3n 1 a n 2，求 ann1nn 1a an 1 3n 1nan 2 3n 23(3n 1 1)2a累加得 an a1 3 323n 1n 1解： n 2时，a a 32112n(3 1)an(2)累乘法 ( an 1f (n)形式 )anan例 3：数列 a中， a 3，n 1，求 ann1ann 1a a3 an1 2n 1n， a1n32n解：又 a 3， an1a aan 1 2 3a1n.12(3)构造新数列 (构造 的新数列必为等比数列或等差数列 )取倒构造 ( an 1等于关于 an 的分式表达 )2an，例 4： a 1 an 1

6、1，求 ana 2n1a 2 1 11 1 1，an 1 an 2n解：由已知得：an 12an2 an111，公差为， 1 1 n 111 12 2为等差数列，n 1，ana12an2 ann 1同除构造n例 5： a 1, an 1 3a 3 ,求a。1nnana1131，n 1解：对上式两边同除以 3，得an 1an，则为等差数列，3n 13n3n3 33 1an131 n3 3n 3n3n 1n 3。公差为，3(n 1)， an3nn 1例 6： a 1,an 1 2a 3，求 a。1nnan 1 an2 n 1 2 n3( )2an2nn 1n 1，令 bn解：对上式两边同除以 2

7、，得，则有33( ) 1 ( )n 12n 132223 1( ) n4 29a11bn 1 bn，累加法可得 b b1n，又 b1,则2382 213 158，即 an3 1( )n4 2585834bn( ) n,an2n。4 22 n例 7： a 1, a an 1 2a an 1 0, a。求1nnn112 0，即 1an11解：对上式两边同除以 a a，得2，则nn 1an 1 anan 1an11，公差为 2， 1 1 2(n 1) 2n 1， an1为等差数列，。2n 1a1an取对构造 (涉及 a 的平方 )n2例 8： a1 3,an 1 3a ,求an.n2解：对上式两边取

8、对数，得 lg an 1 lg 3a，由对数运算性质得 lg an 1 2lg an lg 3n两边同时加 lg 3，整理得 lg an 1 lg 3 2(lg an lg 3),即 lg 3an 1 2lg a ,则 lg 3a为nn公比为 2 的等比数列，由此推知 a通项公式。n等比型 (常用待定系数 )例 9： a 1, an 1 3a 2, a。求1nn解：待定系数法设上式可化为如下形式： an 1 k 3(a k)，整理可知 2k 2，n则k 1，原式可化为 an 1 1 3(a 1)，则 a 1为公比 =3 的等比数列，由此nn推知 a通项公式。n4 例 10： a1 2, an

9、1 4a 3n 1，求 a。nn解：待定系数法设上式可化为如下形式： an 1 k(n 1) b 4(a kn b)，整理n3k3，得 k可知1,b 0，原式可化为 an 1 (n 1) 4(an n)，则 ann3b k 1为公比 =4 的等比数列，由此推知 a通项公式。n提公因式例 11： a 1, a a 1 2a , a。求1n 1nnn解：上式变形为 a a an a 1，等号左边提公因式得 a an 1 1 a 1，n 1nnnna 11an111nan 11,两边取倒数得,1，为公差a 1nanan 1 1 a 1 an 1 1 a 1nn为 1 的等差数列，由此推知 a通项公式

10、。n例 12： a1 2, a2 3,2an 1 3an a (当n 2)，求 a。n 1n解：上式变形为 2an 1 2an an a ,2 an 1 ann 1a a，令 bn an 1 a，则nn 1nn 1n 1121公比为 的等比数列， bn21212bnb，bb 1,1，an 1 an；为首项n 1n由累加法可求得 a通项公式。n4.求数列前 n项和 的常用方法(1)分组求和 (分组后用公式 )12 14181例 13：求和 1解：原式 =13n 。n212141181n) ( 1 1 12 4 81 )2n23n(1 2 322n1(11)n(n 1)22 n1 n(n 1)12

11、n2=122(2)裂项相消 (把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数 的项. )11111 111常用：；()；n 1n。n(n 1) n n 1n(n 2) 2 n n 2nn 15 (3)错位相减 (通项可表示为等差乘等比 的形式 )23nx n 1nxn 1例 14： S 1 2x 3x 4x 求 Sn。n23解： S 1 2x 3x 4x n234n 1 xn 1 nxnx S x 2x 3x 4x n 1 x S 1 x x xn 1 nxn2n1 xnnxnn n 12x 1时， Sn， x 1时， S 1 2 3 nn21 x1 xnn 22n练习求数列 的前 n项和 S。(答案： S 2)nn2n(4)倒序相加 (前后项之和为定值。把数列 的各项顺序倒写，再与原来顺序 的数列相加. )S a a an 1 ann12相加 2Sna1 ana an 12a1 anS a an 1 a a1nn25.求数列绝对值 的前 n项和(根据项 的正负，分类讨论 )例 15：已知数列 a 的通项 an 11 2n，b a，求 b 的前 n项和 T。nnnnnn(n 1