三角函数的值域

1、如何求三角函数的值域濮阳外国语学校王艳敏电话：摘要：三角函数的最值是中学数学的一个重要内容，归纳这一内容，有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识，沟通三角、代数、几何的联系，培养学生的思维能力。关键词： 函数最值三角函数三角函数最值问题是高中数学的重点内容之一, 也是高考命题的热点 , 由于三角函数和代数、 几何等知识联系紧密 , 故求解这类问题的方法灵活多变 , 能力要求高 , 具有一定的综合性 . 本文介绍三角函数值域问题的一些常见类型和解题方法。一基本型：y asinx b 或ya cosx b解决策略：利用 sinx 和 cosx的有界性 , 即 sin x1和 cos x 1例 1.

2、 求 y 2sin x 1 值域。分析：利用 sinx1的有界性解：1sinx112sin x13函数y2sinx1的值域为1，3二、形如ya sin xb cos xc解决策略：引入辅助角转化为基本型bya2b2 sin(x) c,其中 tan例2、求函数ysin x3 cos xa分析：引入辅助角，再利用正弦函数的有界性解： y2 sin( x）32，2xR sin( x)11，函数的值域为3三、形如 ya sin 2 x b sin x cos xcos2 x型的函数解决策略：通过降幂再转化为yA sin(x)来求解例 3. 求 ysin 2 x2sin x cosx3cos2x 的值域

3、解： y12sin x cos x2cos 2 xsin 2xcos2x22 sin(2 x) 241sin(2 x4)1所以所求函数的值域为22,22acosxb四、反比例型：形如ya sin xb或 yc sin xdccosxd解决策略：用反表示法，再利用有界性或数形结合。例 4、求函数 y1sinx的值域2cos x方法一 解：由 y1sinx得2 yy cos x1sin x2cos xsin xy cosx12y1y2 sin( x )1 2y其中 tanysin( x)12 ysin( x)112 y1y 211y 2(1 2y)21 y23y24 y 00 y43方法二 解：此

4、函数看做过定点A（2，1）和动点 B（ cosx,sinx）的直线的斜率。如图所示yB因为点 B的轨迹是单位圆A(2,1)当直线和圆相切时斜率取最值oxB设直线方程为 y1k ( x2)即 kxy 12k0由于直线与圆相切12 k1解得 k=0 或 k= 4k 213所以函数 y1sin x的值域为0,42cos x3五、二次型，形如ya sin2 xb sin xc解决策略：转化为二次函数在有限闭区间上的值域问题例 5、求函数 y2sinx cos 2 x 的值域1sin x分析：切勿忽略了函数的定义域中，要求分母不为零解： y2sin x(1sin 2x) 且sin x 1y 2(sinx

5、1)211 sin x221 sinx 14y 1所以函数的值域为4,122六、形如 y sin xa型的函数sin x解决策略：此类问题一般联想基本不等式，若不能用基本不等式，则可以利用函数的单调性加以解决例 6、求函数 y2sin xcos2 x 的值域1sin x分析：化同名三角函数式sin2 xsin x11sin x2令 t1 sin x解： ysin x11sin x则0 t 2y t2由于 yt2t2 时是增函数t在 0t所以函数的值域为,1七、解析式中同时出现了sin xcos x 和 sin x cos x解决策略：借助换元法，转化为二次型例 7.求函数 y sin x cos xsin xcos x的值域分析：借助换元法，转化为二次函数求值域解：设 t sin xcos xt2,t 212 则 sin x cos x2原函数转化为y tt2112t11(t22t221) 12t2, 21y12所以函数的值域为121,22总之三角函数求值域问题，体现了数学的转化思想1. 通 过