高三数学二轮复习 第一篇 专题通关攻略 专题二 函数、导数、不等式 12_4 导数的简单应用及定积分 理 新人教版

1、第四讲 导数的简单应用及定积分,知识回顾】 1.基本初等函数的八个导数公式,0,x-1,cosx,sinx,axlna,ex,2.导数的四则运算法则 f(x)g(x)=_; f(x)g(x)=_; =_(g(x)0). 若y=f()，=ax+b，则yx=_， 即yx=_,f(x)g(x,f(x)g(x)+f(x)g(x,yx,ya,3.函数的单调性与导数的关系 f(x)0f(x)为_; f(x)0f(x)为_; f(x)=0f(x)为常数函数,增函数,减函数,4.导数与极值的关系 若函数的导数存在,某点的导数等于零是函数在该点取 得极值的_条件,必要而不充分,5.积分的性质 kf(x)dx=

2、_(k为常数)； f1(x)f2(x)dx=_； _= f(x)dx+ f(x)dx(其中acb,k f(x)dx,f1(x)dx f2(x)dx,f(x)dx,易错提醒】 1.忽略条件致误:求曲线的切线方程时,要注意是在点P处的切线还是过点P的切线,前者点P为切点,后者点P不一定为切点,2.忽略函数的定义域:在研究函数的单调性、极值、最值时,一定要注意函数的定义域优先原则,否则容易出现多考虑问题而出错或不能求解等情况. 3.忽略导函数与该函数极值间的关系致误:在求解与函数极值有关的问题时,忽略导函数与该函数极值之间的关系,造成错解或无从入手,考题回访】 1.(2014全国卷)若函数f(x)=

3、kx-lnx在区间(1,+)上单调递增,则k的取值范围是(,解析】选D.因为f(x)=kx-lnx在区间(1,+)单调递 增,所以f(x)=k- 0在(1,+)恒成立且在它的任 何子区间内不恒等于零,即k10,2.(2016全国卷)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x) =ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是_,解析】设x0,则-x0,因为x0时 = +3x,所 以 =lnx-3x,又因为 为偶函数,所以 =lnx- 3x, =1-3=-2,所以切线方程为y+3= ,即2x+y+1=0. 答案:2x+y+1=0,3.(2015全国卷)已知函数f(x)=ax3+

4、x+1的图象在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则a=_,解析】因为f(x)=3ax2+1,所以图象在点(1,f(1)处的切线的斜率k=3a+1,所以切线方程为y-7= (3a+1)(x-2),即y=(3a+1)x-6a+5,又切点为(1,f(1), 所以f(1)=3a+1-6a+5=-3a+6,又f(1)=a+2, 所以-3a+6=a+2,解得a=1. 答案:1,热点考向一导数与定积分的几何意义 命题解读：主要考查利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，或由切线方程求参数值，考查定积分的简单运算或利用定积分求图形的面积，以选择题、填空题为主，有时也会在解答题的第一问出现,典例1】(

5、1)(2016全国卷)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y= f(x)在点(1,2)处的切线方程是_. (2)(2015全国卷)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=_,3) 展开式的中间项系数为20，如图阴影部分 是由曲线y=x2和圆x2+y2=a及x轴围成的封闭图形，则封 闭图形的面积S=_,解题导引】(1)先求出当x0时f(x)的解析式,再利用导数求切线方程. (2)先对函数y=x+lnx求导,然后将(1,1)代入到导函数中,求出切线的斜率,从而确定切线方程,再将切线方程与曲线y=ax2+(a+2)x+1联

6、立,利用=0求出a的值,3)先利用二项式定理得到中间项系数，解得a，再利用定积分求阴影部分的面积,规范解答】(1)设x0,则-x0,因为x0时 =e-x-1 -x,所以 =ex-1+x,又因为 为偶函数,所以 =ex-1+x, =ex-1+1, =e1-1+1=2,所以切线方程为 y-2=2(x-1),即2x-y=0. 答案:2x-y=0,2)y=1+ ,则曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线斜率 为k= =1+1=2,故切线方程为y=2x-1.因为y=2x-1与 曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,联立 得ax2+ax+2=0,显然a0,所以由=a2-8a=0a=8. 答案:8,3)因

7、为 展开式的中间项系数为20，中间项 为第四项，系数为 =20，解得a=2， 所以曲线y=x2和圆x2+y2=2在第一象限的交点为(1，1)， 所以阴影部分的面积为 答案,规律方法】 1.求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0,y0),求y=f(x)过点P的切线方程: 求出切线的斜率f(x0),由点斜式写出方程,2)已知切线的斜率为k,求y=f(x)的切线方程: 设切点P(x0,y0),通过方程k=f(x0)解得x0,再由点斜式写出方程,3)已知切线上一点(非切点),求y=f(x)的切线方程: 设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f(x0),然后由斜率公式

8、求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程,2.利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数 已知过某点的切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直,利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解,3.利用定积分求平面图形的面积的两个关键点 (1)正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值,2)根据图形的特征，选择合适的积分变量.在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x=(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值,题组过关】 1.(2016衡阳一模)计算： cos2xdx=_

9、,2.已知函数f(x)=- x2+(a+1)x+(1-a)lnx，aR. (1)当a=3时，求曲线C：y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程,2)当x1，2时，若曲线C：y=f(x)上的点(x，y)都 在不等式组 所表示的平面区域内，试求a的 取值范围,解析】(1)当a=3时，f(x)=- x2+4x-2lnx，x0， f(x)=-x+4- . 则f(1)=-1+4-2=1，而f(1)=- +4= . 所以曲线C在点(1，f(1)处的切线方程为y- =x-1， 即2x-2y+5=0,2)依题意当x1，2时，曲线C上的点(x，y)都在不 等式组 所表示的平面区域内，等价于当1x2时,xf(x

10、)x+ 恒成立. 设g(x)=f(x)-x=- x2+ax+(1-a)lnx，x1，2. 所以g(x)=-x+a,当a-11时，即a2，当x1，2时，g(x)0，g(x)为单调减函数， 所以g(2)g(x)g(1)，依题意应有,若1 ， 所以不合题意. 当a-12，即a3时，注意到g(1)=a- ， 显然不合题意.综上所述，1a2,加固训练】 1.(2016揭阳二模)已知函数f(x)=x2-ax的图象在点 A(1,f(1)处的切线l与直线x+3y-1=0垂直,记数列 的前n项和为Sn,则S2016的值为(,解析】选B.由题意知f(x)=x2-ax的图象在点A(1, f(1)处的切线斜率k=f(

11、1)=2-a=3a=-1,故,2.(2016亳州一模)已知函数f(x)=axlnx,aR,若f(e)=3,则a的值为_,解析】f(x)=a(1+lnx),aR,f(e)=3, 所以a(1+lne)=3,所以a= . 答案,3.(2016长沙二模)曲线y=e-x+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和x=0围成的三角形的面积为_,解析】函数的导数f(x)=-e-x，则f(0)=-1，则 切线方程为y-2=-x，即y=-x+2， 切线与x轴的交点为(2，0)，与y轴的交点为(0，2)， 所以切线与直线y=0和x=0围成的三角形的面积 S= 22=2. 答案：2,热点考向二利用导数研究函数的单调性

12、命题解读:主要考查导函数值与函数单调性之间的关系,利用导函数来研究函数的单调性,或由函数的单调性求某参数值(或取值范围),三种题型都有可能出现,命题角度一确定函数的单调性(区间) 【典例2】(2016洛阳一模)已知函数f(x)= ,其中常数k0, (1)讨论f(x)在(0,2)上的单调性,2)若k4,+),曲线y=f(x)上总存在相异两点M(x1, y1),N(x2,y2)使得曲线y=f(x)在M,N两点处切线互相平行,求x1+x2的取值范围,解题导引】(1)求导函数,对k分类讨论,利用导数的正负,即可得到f(x)在区间(0,2)上的单调性. (2)利用过M,N点的切线互相平行,建立方程,结合

13、基本不等式,再求最值,即可求x1+x2的取值范围,规范解答】(1)因为f(x)= 当0k0,且 2, 所以x(0,k)时,f(x)0, 所以函数f(x)在(0,k)上是减函数,在(k,2)上是增函数,当k=2时, =k=2,f(x)2时,0 , 所以x(0, )时,f(x)0, 所以函数f(x)在(0, )上是减函数,在( ,2)上是增函 数,2)由题意,可得f(x1)=f(x2)(x1,x20,且x1x2,令g(k)=k+ 则g(k)= 0对k4,+)恒成立, 所以g(k)g(4)=5,所以 所以x1+x2 ,故x1+x2的取值范围为（ ,易错警示】解答本例容易出现以下错误: (1)忽略函数

14、的定义域,在函数解析式中含有对数必须满足x0. (2)对k分类讨论不全,题目中已知k0,对k分类讨论时容易对标准划分不准确,讨论不全面,母题变式】1.若把典例2条件变为“k0”,其他条件不变,f(x)在(0,2)上的单调性如何,解析】由典例2(1)解析知f(x)= 在(0,2)上f(x)0,故f(x)在(0,2)上为减函数,2.在典例2(1)中,将(0,2)改为(0,+),试求f(x)的单调区间,解析】由典例2(1)解析知f(x)= 因为 当0k2时,k ,f(x)的单调减区间为 增区间为,当k=2时,k= =2,f(x)2时,k ,f(x)的减区间为 增区间 为,命题角度二根据函数的单调性求

15、参数的取值范围 【典例3】(2016玉溪三模)若函数f(x)=x3-tx2+3x在区间1,4上单调递减,则实数t的取值范围是(,解题导引】由题意可得f(x)0即3x2-2tx+30在1,4上恒成立,由函数的性质可得t的取值范围,规范解答】选C.因为函数f(x)=x3-tx2+3x, 所以f(x)=3x2-2tx+3, 若函数f(x)=x3-tx2+3x在区间1,4上单调递减, 则f(x)0,即3x2-2tx+30在1,4上恒成立, 即2tx3x2+3在1,4上恒成立, 所以t 在1,4上恒成立,令y= 由对勾函数的图象和性质可得:函数在1,4上为增函 数, 当x=4时,函数取最大值 ,所以t

16、. 即实数t的取值范围是,规律方法】 1.求函数的单调区间的“三个”方法 方法一第1步:确定函数y=f(x)的定义域; 第2步:求导函数y=f(x); 第3步:解不等式f(x)0或f(x)0,解集在定义域内的部分为单调区间,方法二第1步:确定函数y=f(x)的定义域; 第2步:求导函数y=f(x),令f(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根; 第3步:把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间,第4步:确定f(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性,方法三

17、第1步:确定函数y=f(x)的定义域; 第2步:求导函数y=f(x),并将其化简表示为某些基本初等函数的和、差、积、商. 第3步:利用相应基本初等函数的图象与性质,确定f(x)在某些区间的正、负,进而得到单调区间,2.根据函数y=f(x)在(a,b)上的单调性,求参数范围的方法 (1)若函数y=f(x)在(a,b)上单调递增;转化为f(x)0在(a,b)上恒成立求解. (2)若函数y=f(x)在(a,b)上单调递减,转化为f(x)0在(a,b)上恒成立求解,3)若函数y=f(x)在(a,b)上单调,转化为f(x)在(a,b)上不变号,即f(x)在(a,b)上恒正或恒负. (4)若函数y=f(x

18、)在(a,b)上不单调,转化为f(x)=0在(a,b)上有解,变式训练】 (2016亳州一模)已知函数f(x)=ax2+ln(x+1). (1)当a=- 时,求函数f(x)的单调区间. (2)当x0,+)时,函数y=f(x)图象上的点都在 所表示的平面区域内,求实数a的取值范围,解析】(1)当a=- 时,f(x)=- x2+ln(x+1)(x-1), f(x)= =- (x-1), 由f(x)0解得-11.故函数f(x)的单调递增区间为(-1,1),单调递 减区间为(1,2)因为函数f(x)图象上的点都在 所表示的平 面区域内, 则当x0,+)时,不等式f(x)x恒成立,即ax2+ ln(x+

19、1)-x0恒成立, 设g(x)=ax2+ln(x+1)-x(x0), 只需g(x)max0即可,由g(x)= ()当a=0时,g(x)= 当x0时,g(x)0,函数g(x)在(0,+)上单调递减, 故g(x)g(0)=0成立,当a0时,由g(x)= 因为x0,+), 若 -1 时,在区间(0,+)上,g(x)0, 则函数g(x)在(0,+)上单调递增,g(x)在0,+)上无 最大值(或:当x+时,g(x)+),此时不满足条件,若 -10,即0a 时,函数g(x)在(0, -1)上 单调递减,在区间 上单调递增, 同样g(x)在0,+)上无最大值,不满足条件,当a0时,由 g(x)= 因为x0,

20、+),所以2ax+(2a-1)0, 所以g(x)0,故函数g(x)在0,+)上单调递减, 故g(x)g(0)=0成立. 综上所述,实数a的取值范围是(-,0,加固训练】 (2016襄阳一模)已知f(x)=x3-6x2+9x+2,f(x)是f(x)的导数,f(x)和f(x)单调性相同的区间是() A.(1,3) B.1,2和3,+) C.(-,2D.2,解析】选B.因为f(x)=x3-6x2+9x+2, 所以f(x)=3x2-12x+9=3(x-3)(x-1), 令f(x)0,解得:x3或x1, 令f(x)0,解得:1x3, 所以函数f(x)在(-,1),(3,+)上递增,在(1,3)上递减,而

21、f(x)=6x-12, 令f(x)0,解得:x2, 所以函数f(x)在(-,2)上递减,在(2,+)上递增, 所以函数f(x)和函数f(x)同在1,2上递减, 在3,+)上递增,热点考向三利用导数研究函数的极值和最值 命题解读:主要考查利用函数的极值与导数的关系,求某些含有参数的函数的极值、最值以及极值的个数,以解答题为主,典例4】(2016汕头一模)已知函数f(x)= ax2- (a2+1)x+alnx,1)若函数f(x)在 上单调递减，求实数a的取值范 围. (2)当a 时，求f(x)在1，2上的最大值和最 小值.(注意：ln20.7,题目拆解】解答本题第二问，可拆成三个小题： 求f(x)

22、的导函数； 当a 时，求f(x)在1，2上的单调区间； 求f(x)在1，2上的最值,规范解答】(1)因为f(x)在 上单调递减，所以 f(x)=ax-(a2+1)+ 0在 上恒成立，即ax+ a2+1. 当a0时，结论成立,当a0时，不等式等价为x+ a+ 在 上恒 成立； 当x0时，h(x)=x+ 在(0，1)上是减函数，在1，+) 上是增函数， 所以要使函数h(x)h(a)在 上恒成立，则0a 或ae，综上a 或ae,当0a时，在1，2上f(x)0，所以f(x) 在1，2上递减， 所以f(x)min=f(2)=2a-2(a2+1)+aln2，f(x)max=f(1)= a-(a2+1,当

23、0， 所以f(x)min=f( )=-a- -alna,f(2)-f(1)= a-(a2+1)+aln2， 设h(x)= x-(x2+1)+xln2， 0， 则h(x)在 x 上单调递增,所以h(x)max= 所以f(2)f(1)，所以f(x)max=f(1)= a-(a2+1). 综上当0a 时，f(x)min=2a-2(a2+1)+aln2， f(x)max= a-(a2+1)， 当 a 时，f(x)min=-a- -alna， f(x)max= a-(a2+1,规律方法】利用导数研究函数极值、最值的方法 (1)若求极值,则先求方程f(x)=0的根,再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号

24、. (2)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f(x)=0根的大小或存在情况来求解,3)求函数f(x)在闭区间a,b的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值,题组过关】 1.(2016太原一模)已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示,则 =() A.-1B.2 C.-5D.-3,解题导引】根据函数导数和极值之间的关系,求出对应a,b,c的关系,即可得到结论,解析】选C.由三次函数的图象可知,x=2时函数有极 大值,x=-1时,函数有极小值,即2,-1是f(x)=0的两个 根,因为f(x)=ax3+

25、bx2+cx+d,所以f(x)=3ax2+2bx+c, 由f(x)=3ax2+2bx+c=0,得2+(-1)= =1,(-1)2= =-2,即c=-6a,2b=-3a,即f(x)=3ax2+2bx+c=3ax2-3ax-6a =3a(x-2)(x+1), 则,2.设函数f(x)= -x，aR. (1)若a=-1，求f(x)在区间 上的最大值. (2)设b0，求证：当a=-1时，过点P(b，-b)有且只有 一条直线与曲线y=f(x)相切. (3)若对任意的x ，均有f(x)|x-1|1成立，求 a的取值范围,解析】(1)当a=-1时， 令f(x)=0，得x=-1或x=1. 当x 时，有f(x)0

26、，所以f(x)在区间 上是 增函数,当x(1，3时，有f(x)0，所以f(x)在区间(1，3 上是减函数. 所以f(x)在区间 上的最大值为f(1)=-2,2)设过点P(b，-b)的直线与曲线y=f(x)相切于点Q(x0，y0)， 则y0= 且切线斜率为k=f(x0,所以 即存在唯一的切点 所以过点P(b，-b)有且只有一条直线与曲线y=f(x)相切,3)当x=1时，对任意aR，不等式显然成立. 当x1时，不等式等价于ax2+ . 当x 时，不等式等价于ax2+ 恒成立. 令g(x)=x2+ ，x 时. 则g(x)=2x+ ，当x 时，显然g(x)0. 所以g(x)在区间 上单调递增,所以g(

27、x)在区间 上有最小值 所以a . 当x(1，2时，不等式等价于ax2+ 恒成立. 令h(x)=x2+ ，x(1，2. 当x(1，2时. h(x)=x2+ =x2+1+ x2+12,所以，当a2时，不等式ax2+ 对x(1，2恒 成立. 综上，实数a的取值范围是,加固训练】 (2016潍坊一模)已知函数f(x)=ex(x-lnx-1)(e为自然对数的底数). (1)求函数f(x)的单调区间. (2)是否存在实数a,b(1,+),ab,使得函数f(x)在a,b上的值域也是a,b,并说明理由,解析】(1)函数f(x)=ex(x-lnx-1),定义域为(0,+). f(x)= 令g(x)=x-lnx- , 由g(x)= 所以函数g(x)在(0,+)上单调递增,因为g(1)=0,所以当x1时,g(x)0,因此f(x)0,此时函数f(x)单调递增; 当0 x1时,g(x)0,因此f(x)0,此时函数f(x)单调递减.所以函数f(x)的单调递增区间为(1,+),单调递减