(整理)6导数的概念及导数的几何意义.(最新整理)

1、精品文档57 导数的概念及导数的几何意义【考点及要求】了解导数的概念，理解导数的几何意义，通过函数图象能直观地理解导数的几何意义。【基础知识】1一般地，函数 f (x) 在区间x1 , x2 上的平均变化率为，平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度； 2不妨设 p(x1 , f (x1 ),q(x0 , f (x0 ) ，则割线 pq 的斜率为，设 x1x0=x，则 x1 =xx0， kpq =，当点 p 沿着曲线向点 q 无限靠近时， 割线 pq 的斜率就会无限逼近点 q 处切线斜率， 即当 x 无限趋近于 0 时，k= f (x0 + d

2、x) - f (x0 ) 无限趋近点 q 处切线。精品文档pqdx3. 曲线上任一点(x ，f(x )切线斜率的求法： k =f (x0 + dx) - f (x0 ) ，当00dxx 无限趋近于 0 时，k 值即为(x0，f(x0)处切线的，记为4. 瞬 时 速 度 与 瞬 时 加 速 度 ： 位 移 的 平 均 变 化 率 ：s(t0 + dt) - s(t0 )s(t0 + dt) - s(t0 ) ， 称dt为；当dt 无限趋近于 0 时，dt无限趋近于一个常数，这个常数称为 t=t0时的；速度的平均变化率： v(t0 + dt) - v(t0 ) ，当dt 无限趋近dt于 0 时，

3、v(t0 + dt) - v(t0 ) 无限趋近于一个常数，这个常数称为 t=t时的dt03【基础练习】1. 已知函数 f (x) = ax2 在区间1,2上的平均变化率为,则 f (x) 在区间-2,-1上的平均变化率为2. a、b 两船从同一码头同时出发,a 船向北,b 船向东,若 a 船的速度为 30km/h,b 船的速度为40km/h,设时间为 t,则在区间t1,t2上,a,b 两船间距离变化的平均速度为_【典型例题讲练】例 1已知函数 f(x)=2x+1,分别计算在区间-3，-1，0，5上函数 f(x)的平均变化率；.探求一次函数 y=kx+b 在区间m，n上的平均变化率的特点；练习

4、：已知函数 f(x)=x2+2x，分别计算 f(x)在下列区间上的平均变化率;1，2；3，4；1，1；2，3【课堂检测】x1. 求函数 y =f (x) = 1 在区间1,1+x内的平均变化率2. 试比较正弦函数 y=sinx 在区间0,p 和p p 上的平均变化率，并比较大小。6 , 3 2 【典型例题讲练】58导数的概念及导数的几何意义例 2自由落体运动的物体的位移 s（单位:s）与时间 t（单位：s）之间的关系是：s(t)= 1 gt2(g2是重力加速度)，求该物体在时间段t1，t2内的平均速度；练习：自由落体运动的位移 s(m)与时间 t(s)的关系为 s= 1 gt 22(1)求 t

5、=t0s 时的瞬时速度；(2)求 t=3s 时的瞬时速度； (3)求 t=3s 时的瞬时加速度；例 3已知 f(x)=x2，求曲线在 x=2 处的切线的斜率。练习:1 曲线 y=x3 在点 p 处切线斜率为 k,当 k=3 时,p 点的坐标为 2若曲线 y = x4 的一条切线l 与直线 x + 4 y - 8 = 0 垂直，则l 的方程为3. 曲线 y = 2 - 1 x 2 与 y = 1 x3 - 2 在交点处切线的夹角是244. 已知函数 f (x) = 2x3 - 1 x2 + m （ m 为常数）图象上 a 处的切线与 x - y + 3 = 0 的夹角为45o ，2则 a 点的横

6、坐标为.5. 曲线 y=x3 在点(1，1)处的切线与 x 轴、直线 x=2 所围成的三角形的面积为6. 过曲线 y = x3 + x - 1 上一点 p 的切线与直线 y = 4x - 7 平行，则 p 点的坐标为1例 4求 f (x) =过点(1,1)的切线方程x2练习： 过点 p(-1,2) 且与曲线 y = 3x2 - 4x + 2 在点 m (1,1) 处的切线平行的直线方程是 _.【课堂小结】【课堂检测】1. 求曲线 y = x3 - 3x 2 + 1在点（1，1）处的切线方程2. 已知函数 f (x) = x3 + bx 2 + ax + d 的图象过点 p（0，2），且在点 m

7、 (-1，f (-1) 处的切线方程为6x - y + 7 = 0 求函数 y =f (x) 的解析式；3 x3. 已知曲线 f (x) =上的一点 p(0,0)的切线斜率是否存在?说明理由【课堂作业】1. 与直线 y = 4x -1平行的曲线 y = x3 + x - 2 的切线方程是_.2. 设曲线 y= 1x 2 .和曲线 y= 1 在它们交点处的两切线的夹角为q，则 tanq的值为_x3. 若直线 y= x 是曲线 y = x3 - 3x 2 + ax 的切线，则=.4. 求曲线 y = x(x - 1)(x - 2) 在原点处的切线方程.59导数的运算（1）【考点及要求】理解导数的运

8、算，能根据导数的定义，求函数 y = c, y = x, y = x 2 , y = 1 的x导数；能利用导数数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数。【基础知识】1. 基本初等函数的求导公式：(c) = ，； (xa) = ，（为常数）； (a x ) = ， (a 0, a 1) (loga x) =， (a 0, a 1) ；注：当 a=e 时， (ex ) =， (lnx) =，(sinx) =，(cosx) =；2. 法则 1两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的，即u(x) v(x) =法则 2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的法则 3两个函数的积的导数，等于第

9、一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即(u(x)v(x) =法则 4 u( x) ) v( x 两个函数的商的导数，等于，即=(v( x) 0) 【基础练习】1. 求下列函数导数（1） y = x -5（2） y = 4 xx x x（3） y =（4） y = log3 x（5） y =-11logx ( a )(x 0，a 0，a，x 1)（6）y=sin( p+x)(7) y=sin p（8）y=cos(2x)（9）y= f (1)23【典型例题讲练】例 1求下列函数的导数（1） y = x3 + sin x ；（2） y = (2x2 + 3)(3x -

10、2) ；(两种方法)（3） y = 5x10 sin x - 2x cos x - 9 ；（4）y=x2；.sin xx + 31x练习：(1)求 y= x2 + 3 在点 x=3 处的导数.(2) 求 y=cosx 的导数.（3）求 y=4 - x3x2 cos x的导数.（4）求 y = 3x + x ln x 的导数.【课堂检测】1设函数 f (x) = x(x + k )(x + 2k )(x - 3k ) ，且 f (0) = 6 ，则k =；2. 求下列函数的导数：(1) y= x3+ 5x(2) y=x + 23x21(3) y=(4 - x3 + ln x)(cos x + s

11、in x)(4) y=1 - cos x60导数的运算（2） 例 2求满足下列条件的函数 f (x)(1) f (x) 是三次函数,且 f (0) = 3, f (0) = 0, f (1) = -3, f (2) = 0(2) f (x) 是一次函数,x2 f (x) - (2x -1) f (x) = 1练习：已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图象过点 p(0,2)，且在点 m 处(-1，f(-1)处的切线方程为 6x-y+7=0，求函数的解析式例 3已知点 p 在函数 y=cosx 的图象上（0x2），在点 p 处的切线斜率大于 0，求点 p 的横坐标的取值范围xax253练

12、习：已知函数 f (x) =-+ (a + 3)x + a ，且对x r, f(x) 0 ，53求证： - 3 a 61例 4.若直线 y = -x + b 为函数 y =图象的切线,求 b 的值和切点坐标x练习：1求曲线 y=x2 在点(1,1)处的切线方程；2. 求曲线 y=x2 过点(0,-1)处的切线方程；3. 已知直线 y = x -1,点 p 为 y=x2 上任意一点,求 p 在什么位置时到直线距离最短；【课堂小结】【课堂检测】1已知函数 f (x) = ax3 + 3x 2 + 2 ，f(-1)=4，则 a=2. 过抛物线 y = x 2 上的点 m（ 1 , 1 ）的切线的倾斜

13、角是2 43. 对正整数 n，设曲线 y = xn (1 - x) 在 x2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a ，则数列 an 的前 n 项和的公式是n n +14. 曲 线y = 1 和xy = x2 在 它 们 交 点 处 的 两 条 切 线 与 x 轴 所 围 成 的 三 角 形 面 积是5. 已知曲线 y=x和这条曲线上的一点 p(2,2),求曲线 y=x在点 p 处的切线方程.【课堂作业】1. 若曲线 y=x21 与 y=1x3 在 x=x0 处的切线互相垂直,则 x0 等于2. 求下列函数的导数：(1) y=lg(1+cos2x)(2) y=exlnx3设函数 f(x)=ax3

14、+3x2+2,若 f(1)=4,试求 a 的值.4已知抛物线 y=ax2+bx+c 通过点(1,1),且在点(2,1)处与直线 y=x3 相切,求 a、b、c 的值.【考点及要求】61导数在研究函数性质中的应用熟练掌握导数在研究函数性质中的应用；通过数形结合的方法直观了解函数的单调性、极值、最值与导数的关系，会求不超过三次的多项式函数的单调区间，能在指定区间上确定不超过三次的多项式函数的极值、最值。【基础知识】1. 用导数的符号判别函数增减性的方法：若 f (x) 0 ，则函数 f (x)为，若f (x) 0 ，则函数 f (x) 为；2. 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：确定函数 f (

15、x) 的；求 f (x) ，令 f (x) = 0 ，解此方程，求出它在定义域外区间内的一切；把上面的各实根按由的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f (x) 的定义区间分成若干个小区间；确定 f (x) 在各个小区间内的符号，根据 f (x) 的判断函数 f (x) 在每个相应小区间内的增减性；3. 函数极值的定义： 设函数f (x) 在点 x0 附近有定义， 如果对 x0 附近的所有点， 都有f (x) f (x0 ) ），就说 f (x0 ) 是函数 f (x) 的一个极 值；和统称为极值；4. 求可导函数 f (x) 在a, b 上的最大或最小值的一般步骤和方法：求函数 f (x) 在

16、(a, b) 上的值；将极值与区间端点的函数值 f (a), f (b)比较，确定最值。【基础练习】1若函数 f (x) 在区间(a, b) 内是一个可导函数，则 f (x) 0 是 f (x) 在区间(a, b) 内递增的条件2如果函数 f(x)=x48x2+c 在1，3上的最小值是14，那么c =3. 已知 a 0 ， 函数 f (x) = x3 - ax 在1,+) 是单调递增函数， 则 a 的最大值是4. 函数 f (x) = x3 + ax 2 + bx + a 2 在 x = 1时, 有极值 10, 那么a,b 的值为.5已知 f(x)=ax36ax2+b 在1，2上的最大值为 3

17、，最小值为29，则 a=【典型例题讲练】例 1已知函数f (x) = x 3 + bx 2 + ax + d 的图象过点 p (0,2) , 且在点 m (-1, f (-1) 处的切线方程为6x - y + 7 = 0 .(1) 求函数y = f (x) 的解析式;(2) 求函数y = f (x) 的单调区间.练习：1已知函数 f (x) = x5 + ax3 + bx + 1，仅当 x=1 及 x=1 时取得极值，且极大值比极小值大 4，求 a、b 的值。22设 f (x) = x3 - x2- 2x + 5 （1）求函数 f(x)的单调递增、递减区间；（2）当 x1，2时，f(x)m 恒

18、成立，求实数 m 的取值范围。【课堂检测】1. 函数f (x) = x 3 - 3x 2 + 1是减函数的区间为.2. 函数f (x) = x 3 + ax 2 + 3x - 9 , 已知f (x) 在x = -3 时取得极值, 则a =.3. 函数y = -4x 3 + 3x 2 + 6x 的单调递减区间为, 极大值为, 极小值为.4. 已知:f (x) = 2x 3 - 6x 2 + a(a 为常数)在-2,2 上有最大值是 3, 那么-2,2 在上的最小值是 5. (1) 函数y = f (x) 的图象过原点且它的导函数y = f (x) 的图象是如图所示的一条直线, 则y = f (x

19、) 的图象的顶点在第象限(2) 如果函数f (x) = -x 3 + bx ( b 为常数) 在区间(0, 1) 内单调递增,并且f (x) = 0 的根都在区间-2,2 内, 那么b 的范围是.6已知函数f (x) = -x 3 + 3x 2 + 9x + a,(1) 求f (x) 的单调递减区间;(2) 若f (x) 在区间-2,【典型例题讲练】2 上的最大值为 20, 求它在该区间上的最小值.62导数在研究函数性质中的应用(2)例 2已知函数f (x) = 2x 3 + ax 与g(x) = bx 2 + c 的图象都过点 p (2,的切线.(1) 求实数a, b, c 的值;0) 且在

20、点 p 处有相同(2) 设函数f(x) = f (x) + g(x) , 求f(x) 的单调区间, 并指出f(x) 在该区间上的单调性.练习：已知 f(x)是三次函数，g(x)是一次函数，且 f(x) 1 g(x)=x3+2x2+3x+7，f(x)在 x=1 处2有极值 2，求 f(x)的解析式和单调区间。例 3设 a 为实数,函数f (x) = x 3 - x 2 - x + a.(1) 求f (x) 的极值.(2) 当 a 在什么范围内取值时, 曲线y = f (x)与x 轴仅有一个交点.练习：已知向量a = (x 2 , x + 1), b = (1 - x, t), 与与与t 的取值范

21、围.f (x) = a b 在区间(-1,1) 上是增函数,求【课堂小结】【课堂检测】1. 函数 f (x) = x3 + ax 2 + 3x - 9 ，已知 f (x) 在 x = -3 时取得极值，则a =2. 函数 f (x) = x3 - 3x2 +1是减函数的区间为y1x-2-1o12-13. 函 数f (x) = ax3 + x +1有 极 值 的 充 要 条 件是4. 已知函数 y = xf (x) 的图象如右图所示（其中 f (x)是函数 f (x) 的导函数），下面四个图象中 y =图象大致是（）f (x) 的y21ox-2 -112-2y42-2o-12xy2o1x-2 -

22、11 2-2y421-2 -1 o-21xabcd5. 若函数 yx 32x 2mx, 当 x 1 时, 函数取得极大值, 则 m 的值为36. 函数 y - 4x 3 + 3x 2 + 6x 的单调递减区间为.【课外作业】1已知 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3) (x+4)(x+5)，则 f(0)= 2函数f (x) x 4 - 2x 2 + 5 在区间-2,3 上的最大值与最小值分别是3. 已知函数 yx 22x3 在区间a,2 上的最大值为3 3 , 则 a 等于44. 设函数 y=f(x)是一次函数，已知 f(0)=1，f(1)=3，则该函数的导数f(x)=5. 已知函数 y

23、=3x3+2x21 在区间(m，0)上是减函数，则 m 的取值范围是 6. 已 知x = 1是 函 数f (x) = mx3 - 3(m + 1)x 2 + nx + 1 的 一 个 极 值 点 ,其 中m, n r, m 0,(1) 求 m 与 n 的关系式;(2) 求f (x) 的单调区间;(3) 当x -1,1 时, 函数y = f (x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m, 求 m 的取值范围.63 导数在实际生活中的应用【考点及要求】导数在实际问题中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题， 主要有：与几何有关的最值问题；与物理学有关的最值问题；与实际生活有关的最值问题

24、；【典型例题讲练】1. 与几何有关的最值问题：例 1在边长为 60cm 的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底的铁皮箱，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？练习：某种圆柱形饮料罐的容积为 v，如何确定它的高与底半径，才能使它的用料最省？变式 1：表面积为定值 s，如何制造，才能使其容积最大？变式 2：例中若罐底单位造价为周围单位造价为侧壁部分单位造价的 2 倍，如何设计尺寸，使总造价最低？变式 3：有一底半径为 r（cm），高为 h（cm）的倒立的圆锥容器，若以 n(cm3)/s 的速度向容器里注水，求注水 t(s)的水面上长的速度。2. 与物理学有关的最值问题；例 2统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y （升）关于行驶速度 x （千米/小时）的函数解析式可以表示为： y =1x3 - 3x + 8(0 x 120