高中立体几何大题题汇总

1、iviiviMior mv1l4ir公司内部档案编码：OPPTROPPT28OPPTL98OPPNN08（2012江西省）（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD中，AB/7CD, E, F是线段AB上的两点，且DE丄AB,CF丄AB, AB二 12, AD二5, BC二4血，DE二4.现将AADE, ZXCFB 分别沿 DE, CF 折起，使A, B两点重合与点G,得到多面体CDEFG.C（1）求证：平面DEG丄平面CFG；求多面体CDEFG的体积。【解析】（1）由已知可得AE二3, BF=4,则折叠完后EG=3, GF二4,又因 为EF二5,所以可得EG丄GF又因为CF丄底面EGF,可得C

2、F丄EG,即 EG丄面CFG所以平面DEG丄平面CFG.（2）过G作GO垂直于EF, G0即为四棱锥G-EFCD的高，所以所求体积 为= -x5x5x = 202012,山东(19)(本小题满分12分)如图，儿何体E-ABCD是四棱锥，为正三角 形,CB = CD,EC丄 BD.(I)求证：BE = DE;(II)若Z2?CD = 120, M为线段胚的中点，求证：DM 平面BEC.解：设D中点为O连接OG殆则由3C = CD知,CO 丄 BD,又已知CE丄3,所以3D丄平面如：所以BD丄OE,即处是別的垂直平分线, 所以BE = DE(II)取力方中点M连接MN、DN ,*是处的中点，:MN

3、 BE, / A ABD是等边三角形，:DN丄A3. 由ZBCD=20 知，乙CBD=30 ,所以ZABC=0 +30 =90 ,即 3C 丄 AB9所以 ND/ BC,所以平面胚平面应C故勿/平面庞CWord资料B(第20题图)2012浙江20(本题满分15分)如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD - A&CQ中，AD / BC, AD丄 AB.AB = y/2.AD = 2C = 4,AAx =2,E是口 的中 点，尸是平面BGE与直线側的交点。(I) 证明：(i) EF/DX (ii) 丄平面(II) 求q与平面BQEF所成的角的正弦值。解析：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所

4、成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理认证能力。（I） （i）因为G/DC.DX（ZADDXA 所以 CQ 平lD.DA 又因为平面4GEF n平面ADQA = EF,所以CQ /EF, 所以 0DJ/EF.（ii）因为BB、丄平面AdGU，所以BBi丄BQ.又因为 BQ丄BA，所以BQ丄平面ABBR,所以丄在矩形ABBA中，尸是側的中点，tanZF = lan ZAA,B =斗,祇B、F = ZAA.B = 卑丄 B、F所以卑丄平&.C.EF.（II）设開与肘交点为H，连接C/Ai（第20题图）由（I）知砒丄平面BCEF 所以ZBGH是G与面BC&F所成的角 在矩形 AAlBlBAB =

5、 AA1 =2,得 BH =在直角中，BC、=2 屁 BH =二,得 sin Z3CN =丝=浮. V6BC 15所以与平面BGEF所成的角的正弦值是字.（2010四川）18、（本小题满分12分）已知正方体ABCD ABCQ中，点M是棱的中点，点0是对角线的中点,C1（I）求证：0M为异面直线/VT与3D的公垂纟（II ）求二面角MBCB的大小;M/DAD?解：连接AC,取AC中点K,则K为BD中点，连接OK,因为点M是棱AVC*C的中点，点。是妙的中点，冷妙K,AM孙K,MO = AK, MO/ AK H1 由AAfAK,得MO丄/VT因为AK丄BD、AK IBB,所以4K丄平面BDDBm:

6、.AK 丄 BD , - MO 丄 3D乂乂 / OM与异面直线/VT和BD都相交,故OM为异面直线/VT和BD的公垂线。(5分)(II )取3ZT的中点N,连接MN,则MN丄平面BCU B,过点N作NH丄3C吁H,连接MH,则由三垂线定理得BCYMH ,从而AMHN为二面角M-BC-B的平面角。 设 4B = 1,贝MNT,NH = BNsin45 丄至=至,224= 272.在 RfAMNH 中,故二面角M-BCy-By的大小为arctan2/2。（12 分）2010辽宁文（19）（本小题满分12分）如图，棱柱ABC-AG的侧面BCC百是菱形，QC丄ABo（I）证明：平面AQC丄平面A/G

7、；（II ）设D是上的点，且AB/平面B、CD ,求AD :DC的值。厂、因为侧面胆g跖悬菱廳页以热c丄舟久 又己知超Q丄厘?,且4疗仃毎肪.阱以穌:丄平面為眶；”又舒Q c平庖碍C t9r以平面纠C1平昭肌；出分(11)设陋茂8.C于魚Es连结施 则r)E曼平面平面心的套统因为人於”平面斜CE,頂以餐又E足妨G的中点灰以Q为舛G的中点.即 A6DG12分&2012辽宁(18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC-ABC1 , ZBAC = 90 ,ab = ac7、m 二 1,点m, n分别为Ab和BC1的中点。(I) 证明：平面 A!ACC;(II) 求三棱锥AMNC的体积。（椎体体积

8、公式V=|sh,其中S为地面面积，h为高）【答案与解析】r（辽；i 1）（证沱一） 连结AC 巾已tn/. HAC = 90 ,AB = AC.二棱柱朋C 加0为盲二:棱柱. 听以M为中点.乂底为N为的中点, yW.MN/AC 乂 MNAACC,ACcYACC.因此MV/Z平而ArA（；（：，证法二）取/TR屮点厂做MP. NP.而分别为的乜j/TCJ屮点.所以MP/AA PN/AfC. MP/7TAtACC PMf 环面A ACC 艮勒P n NP =化 因此 Y iaMPN.QfMi/MCLcf |PAI対 J比MN J n)(解法一；连结BN, .ArN LB(C 半直yTFG C 血二

9、 HC.所以AN 丄 hNfiC.艾才卅= +1.故 】 】 . k l*-V.VC -匕Vf ：(. = % g = hr- A7?r 12 ./義A口J解法二:：Vt!. ,%?.VC _ I冷W = V J-2： = .I 2 耸.,3、2012,北京（16）（本小题共14分）如图1,在RtAABC中，ZC = 9O% D9 分别为片AAC, A3的中点，点F为线段CD上的一点，将AA| 沿QE折起到AAQE的位置，使Af丄CD,如图2.CB图2（I ）求证：DE ACB Af 丄 BE AXB Q AC 丄 DEQ D E AC AB DEDEu CB DEWord资料AACB AC

10、丄 BC DE BC DE 丄 AC DE 丄 AD DE 丄 CD DE 丄 ADC /Fcz ADC DE 丄 A、F AF 丄 CD AF 丄 BCDE A(F 丄 BE A,B Q A,C 丄 DEQ AC P Q PQBC DE BC DE PQ DEQ DEP DE 丄 ADC DE 丄 AC P DAC AC AC 丄 DP C 丄 DEP AC 丄 DEQ AXB Q AC 丄DE0本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD丄PD，BC二1,PC=2 7? , PD二CD二2.（I）求异面直线PA与BC所成角的正切値;（II）证明平面PDC丄平面A

11、BCD；（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。Word资料(17)木小邂主熒电金斤血山线脯成的角.平面与平面飛n. “线m卩面所履的舸專草础加识考代空何总纟诡力运贰术轩能力和推理论证能力一瀟分13分(I M：如在四核推中.囚为底面 川3CD建迫形所以ADBC iLADJ/BC. 乂同力 AD丄f 6 故ZF/fD为Jrife山裁PA打BC所成的加nn. RtIan ZR-tD= =2 AD所以.异而応纯/Mb%所成的的lE切伉为2(II)证明：由底和.4/3(7)址匹至.AD丄CD. XtUf/tnlpd ranrn = D,闵此adl半血哝(ft) ADu所以 flfil PDC

12、 1 tin.4 BCD M；任平曲Pin内过点P作P丄CD交盘线力点112.111 丁平丽 PDC 1 ritllABCD.而XtttCDMTfi 尸DC 勺平面肋CD 的交fct 故PE丄甲而ABCD.由此许EPBE为杠戏朋1艸面ABCD所攻的侧PX中，由T /7 = = 2, Pm* 可剧么心=斯A. R PV 十.PF： - / sin 30、= /2,0,2), B(0,-a,0),D(0,0),E(x,y,z)PE = 2EC E迟,0,|) PC = (272,0,-2) BE = (2,t/,|) BD = (0,2d,0)= (2/25 0,-2)-( ,-) = 033PC

13、 BD = ( 2/2,0, -2) - (0,2a, 0)=0 PC 丄旋况丄丽 PC 丄 BEDPABn = (x.y,z) AP = (0,0,2), AB = (/2,-rr,0) h AP = 0, /? AB = 0 齐=(1,迟,0) PBC 加= (x,y,z) BC = (V2, a, 0), CP = (-2/2,0,2)mBC = 0,m-CP = 0m = (, ,/2) a_PB_C 90 m-n = 0 a = /2aPD = (/2,V2,-2) PBC 不= (1,一 1) PDPBC=j= = | PD PBC 27.【2012高考安徽文19】（本小题满分12

14、分）如图，长方体ABCD AQCiP中，底面AQCQ是正方形，0是BD 的中点，E是棱/LA】上任意一点。（I ）证明：3D 丄 EC,；（II ）如果AB=2f AE二迈,OE丄EC,求必】的长。【解析】（I）连接AC, AEUCCE.AX.C,共面长方体中，底面AQGD是正方形ACLBD.EA 丄 3D ACfl E4 = A = BD 丄面 EACC亠 BD 丄 EC、（1【）在矩形 ACCR 中，OE 丄 EC = OAE AEAC得:竺3。AO EA迈_AA-迈=7=- OV2 2V2AA, = 3/22012高考四川文19】（本小题满分12分）如图，在三棱锥 P-ABC 中，ZAP

15、B = 90 , ZPAB = 60 ,=点P在平面ABC内的射影。在AB上。（I）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；（II ）求二面角B-AP-C的大小。命题立意：本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角 的概念，二面角的概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决 立体儿何问题的能力.解析（1）连接0C.由已知，ZOCP为直线PC与平面4BC所成的角设AB的中点为D,连接PD、CD.因为AB二BC二CA,所以CD丄AB.因为ZAPB=90, ZPAB=60,所虫PAD为等边三角形，不妨设 PA二2,则 0D二 1, 0P二VJ, AB二4.所以 CD二2厲，0C= y/0

16、D2+CD2 = Vl + 12 =.在 Rt AOCP中,t an ZOPC = -X二=土2 6 分OC V1313（2）过D作DE丄AP于E,连接CE.由已知可得，CD丄平面PAB.据三垂线定理可知，CE丄PA,所以，ZCED为二面彌一AP C的平面角.由知,DE=V3在 RtACDE 中,tanZCED =CD _2吕 DEjT=2二面角B AP C的大小为arctan212分重点考查思维点评本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念, 能力和空间想象能力，进一步深化对二面角的平面 角的求解.求解二面角平面角的常规步骤：一找（寻找现成的二面角的平面角）、二作（若没有找 到现成的，需要引

17、出辅助线作出二面角的平面 角）、三求（有了二面角的平面角后，在三角形中 求出该角相应的三角函数值）.【2012高考天津文科17】（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD丄PD, BC二1, PC二2馆，PD二CD二2.（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II）证明平面PDC丄平面ABCD：（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。【解析】（I） AD/BC = ZPAD是必与3C所成角在 AADP 中，AD 丄 PD、AD = BC = 、PD = 2PDtan 乙 PAD = = 2AD异面直线朋与BC所成角的正切值为2（II）AD丄PD.A

18、D丄=丄面PDC. AQ u 面 ABCD :.平面 PDC 丄平面 ABCD（III）过点P作PE丄CD于点E,连接BE平面PDC丄平面ABCD n PE丄面ABCD = ZPBE是直线PB与平面初CD所成角CD = PD = 2, PC = 2笛 n 乙 PDC = 120 dPE = *,DE = 在 RfABCE 中，BE = ylBC2+CE2 = VlO = PB = bE2 + PE2 = /13在 RtBPE 中，sin ZPBE =PB 13得：直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为匹13【2012高考新课标文19】（本小题满分12分）如图，三棱柱ABCAbG中，侧棱垂直底面

19、，ZACB二90 , AC=BC=|aA1,D是棱AA】的中点（I）证明：平面BDC：丄平面BDC（II）平面BDG分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.解析：本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及儿 何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.解：(I )由题设知BC丄CC, BC丄AC, CCAC = C, :. BC丄面ACCR , 又/ DC u 面 ACC/, , DC丄 BC,由题设知 ZAQG = ZADC = 45, .I ZCDq= 90,即 DC】丄 DC,又. DCcBC = C, :. DG 丄面BDC,T DC】u面BDC】，/.面 BDC

20、丄面 BDC、；(II)设棱锥B - DACC、的体积为, AC二1,由题意得，“11 + 21V = - X x 1 x 1 二一，322由三棱柱ABC-A,BG的体积V=l,(V-K)：K二1:1,平面BDG分此棱柱为两部分体积之比为1:1.2102高考北京文16】(本小题共14分)如图1,在RtAABC中,ZC二90。, D, E分别为AC, AB的中点，点F为线段CD上的一点，将AADE沿DE折起到AAIDE的 位置，使A1F丄CD,如图2。(I)求证:DE平面A1CB；(H)求证:A1F丄BE；(III)线段A1B上是否存在点Q,使A1C丄平面DEQ说明理由。解析：本题第二问是对基本

21、功的考查，对于知识掌握不牢靠的学生 可能不能顺利解决。第三问的创新式问法，难度比较大。解：(1)因为D,E分别为AC,AB的中点，所以DEAlBC又因为DEU平面A1CB,所以DE平面A1CB.(2)由已知得AC丄BC且DE/7BC,所以DE1AC.DE丄AID, DE丄CD所以DE丄平面A1DC.而A1F u平面A1DC,所以DE丄A1F.又因为A1F丄CD,所以A1F丄平面BCDE.所以A1F丄BE（3）线段A1B存在点Q,使A1C丄平面DEQ.理由如下：如图, 分别取A1C, A1B的中点P, Q,则PQBC.又因为DEBC,所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由（2）知DE丄平

22、面A1DC,所以DE丄A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C1DP,所以A1C丄平面DEP,从而A1C丄平面DEQ.故线段A1B上存在点Q,使得A1C丄平面DEQ.z/2012高考陕西文18】（本小题满分12分） 直三棱柱 ABC- AxBxCx 中，AB二A 九.ZCAB=-2（I）证明 CB, BA,;（II ）已知AB二2, BC二点，求三棱锥q-ABA,的体积【解析】（I）如图，连结g,v ABC - ABlCi 是直三棱柱，ZCAB=-2/. AC丄平面ABB，故AC丄又AB = AA :.四边形ABB.A.是正方形，丄 AB,又 CAR AB】=A ,丄平

23、面 CAB,故 Cd 丄 BA.（II ） / AB = AA = 2 , BC = /5 , .- AC = 1 .由（I ）知，A,C,丄平面ABf,112二匕i処= SaABAt AlC-x2x = -.【2012高考辽宁文18】（本小题满分12分）如图，直三棱柱 ABC-A!BfCf ,= 90 , AB = AC = M 二 1,点必N分别为A饴和的中点。（I）证明：平面 A!ACC;（II）求三棱锥AjNC的体积。（椎体体积公式v=|sh,其中S为地面面积，h为高）解析：本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体 积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力

24、，难度适 中。【解析】（1）（法一）连结ABAC ,由已知ABAC=90AB=AC 三棱柱ABCA B C为直三棱柱，所以中点.又因为N为3C中点 所以 MN/AC ,又 M/Vg 平面 AACC* ACu平面A ACC ,因此MN/平面AACC6 分（法二）取ATT的中点为P,连结MP, NP,V M, N分别为和B,C/的中点，WNP 化， MP 面 AfACC, NP 面 AACC,T MPcNP = P,面 MPN面 AfACC ,I MN u 面 AACC , MN 面 A ACC.面 BfBCC 二 BC,/. MV丄丄面NBC,J AN 二丄 BC 二 1,2-MNC-丄V -lu-AWC v N-A BC v A1-NBC（解法 2） Vv_WA，c = V心BC = VM-NBC = - %-NBC =-22bE（II）（解法一）连结BN,由题意AW丄BC,面A【2012高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱A3C-佔G中， AQ=AG，分别是棱BC, CC, 的点（点D不同于点C）,且 AQ丄DE, F为4G的中点.求证：（1）平面ADE丄平面B