高考数学分项练习大集结：三角函数

1、37(2013高考大纲全国卷)设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，(abc)(abc)ac.(1)求B；(2)若sin Asin C，求C.解：(1)因为(abc)(abc)ac，所以a2c2b2ac.由余弦定理得cos B，所以B120.(2)由(1)知AC60，所以cos(AC)cos Acos Csin Asin Ccos Acos Csin Asin C2sin Asin Ccos(AC)2sin Asin C2，故AC30或AC30，所以C15或C45.38(2013高考新课标全国卷)如图，在ABC中，ABC90，AB，BC1，P为ABC内一点，BPC90.(1)若PB，

2、求PA；(2)若APB150，求tanPBA.解：(1)由已知得PBC60，所以PBA30.在PBA中，由余弦定理得PA232cos 30，故PA.(2)设PBA，由已知得PBsin .在PBA中，由正弦定理得，化简得cos 4sin ，所以tan ，即tan PBA.39(2013高考山东卷)设函数f(x)sin2xsin xcos x(0)，且yf(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求的值；(2)求f(x)在区间，上的最大值和最小值解：(1)f(x)sin2xsin xcos xsin 2xcos 2xsin 2xsin(2x)因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为

3、，又0，所以4.所以1.(2)由(1)知f(x)sin(2x)当x时，2x.所以sin(2x)1.所以1f(x).故f(x)在区间，上的最大值和最小值分别为，1.40(2013高考江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.(1)求索道A

4、B的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50

5、)由于0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BCsin A500(m)乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在，(单位：m/min)范围内41(2013高考浙江卷)在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c, 且2asin Bb.(1)求角A的大小；(2)若a6，bc8，求ABC的面积解：(1)由2asin Bb及正弦定理，得sin A.因为A是锐角，所以A.(2)由余弦定理a2b2

6、c22bccos A，得b2c2bc36.又bc8，所以bc.由三角形面积公式Sbcsin A，得ABC的面积为.42(2013高考北京卷)已知函数f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若(，)，且f()，求的值解：(1)因为f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin(4x)，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)因为f()，所以sin(4)1.因为(，)，所以4(，)所以4，故.43(2013高考新课标全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，

7、c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值解：(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由和C(0，)得sin Bcos B.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos.又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.44(2013高考天津卷)在ABC中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c. 已知bsin A3csin B，a3，cos B. (1)

8、求b的值； (2)求sin的值. 解：(1)在ABC中，由，可得bsin Aasin B.又由bsin A3csin B，可得a3c.又a3，故c1.由b2a2c22accos B，cos B，可得b.(2)由cos B，得sin B，进而得cos 2B2cos2B1，sin 2B2sin Bcos B，所以sinsin 2Bcos cos 2Bsin .45(2013高考福建卷)如图，在等腰直角OPQ中，POQ90，OP2，点M在线段PQ上(1)若OM，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且MON30，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值解：(1)在OMP中，OPM4

9、5，OM，OP2，由余弦定理得，OM2OP2MP22OPMPcos 45，得MP24MP30，解得MP1或MP3.(2)设POM，060，在OMP中，由正弦定理，得，所以OM，同理ON.故SOMNOMONsinMON.因为060，30230150，所以当30时，sin(230)的最大值为1，此时OMN的面积取到最小值，即POM30时，OMN的面积的最小值为84.46(2013高考辽宁卷)设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x0，(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值解：(1)由|a|2(sin x)2sin2x4sin2x，|b

10、|2cos2xsin2x1，及|a|b|，得4sin2x1.又x0，从而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin(2x)，当x0，时，sin(2x)取最大值1.所以f(x)的最大值为.47(2013高考山东卷)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值； (2)求sin(AB)的值解：(1)由余弦定理b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac(1cos B)，又b2，ac6，cos B，所以ac9，解得a3，c3.(2)在ABC中，sin B，由正弦定理得sin A.因为a

11、c，所以A为锐角所以cos A.因此sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.48(2013高考陕西卷)已知向量a(cos x，)，b(sin x，cos 2x)，xR，设函数f(x)ab. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在0，上的最大值和最小值. 解：f(x)(cos x，)(sin x，cos 2x)cos xsin xcos 2xsin 2xcos 2xcossin 2xsincos 2xsin(2x)(1)f(x)的最小正周期为T，即函数f(x)的最小正周期为.(2)0x，2x.由正弦函数的性质，得当2x，即x时，f(x)取得最大值1；当2x，即x0时，

12、f(0)；当2x，即x时，f()，f(x)的最小值为.因此，f(x)在0，上的最大值是1，最小值是.49(2013高考安徽卷)已知函数f(x)4cos xsin(x)(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)讨论f(x)在区间0，上的单调性解：(1)f(x)4cos xsin(x)2sin xcos x2cos2x(sin 2xcos 2x)2sin(2x).因为f(x)的最小正周期为，且0，从而有，故1.(2)由(1)知，f(x)2sin(2x).若0x，则2x.当2x，即0x时，f(x)单调递增；当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在区间0，上单调递增，在区间(，上单调递减5

13、0(2013高考湖南卷)已知函数f(x)cos xcos(x)(1)求f()的值；(2)求使f(x)成立的x的取值集合解：(1)f()coscoscoscos()2.(2)f(x)cos xcos(x)cos x(cos xsin x)cos2xsin xcos x(1cos 2x)sin 2xcos(2x).f(x)等价于cos(2x)，即cos(2x)0.于是2k2x2k，kZ.解得kxk，kZ.故使f(x)成立的x的取值集合为x|kxk，kZ51(2013高考江西卷)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin Bsin Bsin Ccos 2B1.(1)求证：a

14、，b，c成等差数列；(2)若C，求的值解：(1)由已知得sin Asin Bsin Bsin C2sin2B.因为sin B0，所以sin Asin C2sin B.由正弦定理得ac2b，即a，b，c成等差数列(2)由C，c2ba及余弦定理得(2ba)2a2b2ab，即有5ab3b20，所以.52(2013高考湖北卷)在ABC中，角A，B，C对应的边分别是 a，b，c，已知cos 2A3cos(BC)1.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积S5，b5，求sin Bsin C的值解：(1)由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0

15、.解得cos A或cos A2(舍去)因为0A，所以A.(2)由Sbcsin Abcbc5，得bc20.又b5，所以c4.由余弦定理得，a2b2c22bccos A25162021，故a.又由正弦定理得，sin Bsin Csin Asin Asin2A.53(2013高考北京卷)在ABC中，a3，b2，B2A，(1)求cos A的值；(2)求c的值解：(1)因为a3，b2，B2A，所以在ABC中，由正弦定理得.所以.故cos A.(2)由(1)知cos A，所以sin A.又因为B2A，所以cos B2cos2A1.所以sin B.在ABC中，sin Csin(AB)sin Acos Bco

16、s Asin B.所以c5.54(2013高考天津卷)已知函数f(x)sin6sin xcos x2cos2x1，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解：(1)f(x)sin 2xcoscos 2xsin3sin 2xcos 2x2sin 2x2cos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，又f(0)2，f2，f2，故函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为2.55(2013高考四川卷)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(AB)cos Bsin(AB)sin(AC).(1)

17、求sin A的值；(2)若a4，b5，求向量在方向上的投影解：(1)由cos(AB)cos Bsin(AB)sin(AC)，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，则cos(ABB)，即cos A.又0Ab，则AB，故B.根据余弦定理，有(4)252c225c，解得c1或c7(负值舍去)故向量在方向上的投影为|cos B.56(2013高考福建卷)已知函数f(x)sin(x)(0,00，得2.又曲线yf(x)的一个对称中心为，(0，)，故fsin0，解得，所以f(x)cos 2x.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得ycos x的图象，再将ycos

18、 x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)cos的图象，所以g(x)sin x.(2)当x时，sin x，0cos 2xcos 2xsin xcos 2x.问题转化为方程2cos 2xsin xsin xcos 2x在内是否有解设G(x)sin xsin xcos 2x2cos 2x，x，则G(x)cos xcos xcos 2x2sin 2x(2sin x)因为x，所以G(x)0，G(x)在内单调递增又G0，且函数G(x)的图象连续不断，故可知函数G(x)在内存在唯一零点x0，即存在唯一的x0满足题意(3)依题意，F(x)asin xcos 2x，令F(x)asin xcos 2x0.当

19、sin x0，即xk(kZ)时，cos 2x1，从而xk(kZ)不是方程F(x)0的解，所以方程F(x)0等价于关于x的方程a，xk(kZ)现研究x(0，)(，2)时方程a的解的情况令h(x)，x(0，)(，2)，则问题转化为研究直线ya与曲线yh(x)，x(0，)(，2)的交点情况h(x)，令h(x)0，得x或x.当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：xh(x)00h(x)11当x0且x趋近于0时，h(x)趋向于；当x且x趋近于时，h(x)趋向于；当x1时，直线ya与曲线yh(x)在(0，)内无交点，在(，2)内有2个交点；当a1时，直线ya与直线yh(x)在(0，)内有2个交点，

20、在(，2)内无交点；当1a0，p(1)a1，p(1)a1.当a1时，函数p(t)有一个零点t1(1,0)(另一个零点t21，舍去)，F(x)在(0,2上有两个零点x1，x2，且x1，x2(，2)；当a1时，函数p(t)有一个零点t1(0,1)(另一个零点t21，舍去)，F(x)在(0,2上有两个零点x1，x2，且x1，x2(0，)；当1a1时，函数p(t)有一个零点t1(1,0)，另一个零点t2(0,1)，F(x)在(0，)和(，2)内分别有两个零点由正弦函数的周期性可知，当a1时，函数F(x)在(0，n)内总有偶数个零点，从而不存在正整数n满足题意当a1时，函数p(t)有一个零点t1(1,0)，另一个零点t21；当a1时，函数p(t)有一个零点t11，另一个零点t2(0,1)从而当a1或a1时，函数F(x)在(0,2上有3个零点由正弦函数的周期性，2 0133671，所以依题意得n67121 342.综上，当a1，n1 342或a1，n1 342时，函数F(x)f(x)ag(x)在(0，n)内恰有2 013个零点57(2013高考重庆卷)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2b2c2bc.(1)求A；(2)设a，S为ABC的面积，求S3cos Bcos C的最大值，并指出此时B的值解：(1)由余弦定理得cos A.又因为0A0.从而g()1cos 11.