高考理科二轮复习特色专题训练 专题11 破译解析几何中点差法通法

1、一、填空题1若过点P(8,1)的直线与双曲线x2-4y2=4相交于A、B两点,且P是线段AB的中点,则直线AB的方程是_.【答案】2x-y-15=0【解析】设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x12-4y12=4,x22-4y22=4,两式相减得(x1-x2) (x1+x2)=4(y1-y2)(y1+y2),即=2,kAB=2.AB:2x-y-15=0.2点P(8,1)平分双曲线x24y2=4的一条弦,则这条弦所在直线的斜率是_.【答案】23椭圆中有如下结论：椭圆上斜率为1的弦的中点在直线上，类比上述结论：双曲线上斜率为1的弦的中点在直线上【答案】【解析】试题分析：将椭圆方程中的变为，变为

2、，右边变为0，于此得到椭圆上斜率为1的弦的中点在直线上. 类比上述结论，将双曲线的方程作为上述变换可知：双曲线上斜率为1的弦的中点在直线.考点：1.类比的思想；2.新定义题.二、解答题4已知两点A（2,0）和B（2,0），直线AM、BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为（1）求点M的轨迹方程；（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，直线PE、PF与圆（x1）2y2r2（0r）相切于点E、F，又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R求OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）【答案】（1）（x2；（2）【解析】试题分析：（1）设点M（x，y），由题意可得，利用斜率计

3、算公式即可得出化简即可（2）把x=1代入曲线C的方程，可得点由于圆（x1）2y2r2的圆心为（1，0），利用对称性可知直线PE与直线PF的斜率互为相反数设直线PE的方程为，与椭圆的方程联立可得坐标进而确定直线RQ的斜率为，把直线RQ的方程代入椭圆方程，消去y整理得利用弦长公式可得|RQ|再利用点到直线的距离公式可得：原点O到直线RQ的距离为d利用和基本不等式即可得出试题解析：（1）设点M（x，y），因为kAMkBM，所以，整理得点M所在的曲线的方程为（x2）把直线RQ的方程yxb代入椭圆方程，消去y整理得x2bxb230，所以|RQ|，原点O到直线RQ的距离为d，所以SORQ考点：1直线与圆锥

4、曲线的关系；2轨迹方程5已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E（1,）.过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若P为线段AB的中点,求k1;(3)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.【答案】(1) +=1 (2) - (3)证明见解析（0,-）【解析】(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.-,得+=0.所以k1=-=-=-.(3)依题设,k1k2.来设M(xM,yM),又直线AB的方程为y-1=k1(x-1),即y=k1x+(1-k1),亦即y=k1x+k2,代

5、入椭圆方程并化简得(2+3)x2+6k1k2x+3-6=0.于是,xM=,yM=,同理,xN=,yN=.此时直线过定点（0,-）.当k1k2=0时,直线MN即为y轴,此时亦过点（0,-）.综上,直线MN恒过定点,且坐标为（0,-）.6在直角坐标系中，为坐标原点，如果一个椭圆经过点P(3,),且以点F(2,0)为它的一个焦点.（1）求此椭圆的标准方程；（2）在（1）中求过点F(2,0)的弦AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：(1)既然是求椭圆的标准方程，那么另一个焦点必定是点，即，可得椭圆标准方程为；(2)只要知道本题中(斜率存在时)，利用这个等式可迅速求出结论。试

6、题解析：(1)设椭圆方程为：，则有：解得：，故所求椭圆方程为. 5分综上所述，所求轨迹方程为. 10分考点：(1)椭圆的标准方程；(2)轨迹方程.7已知椭圆，（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程。（2）过A（2，1）的直线L与椭圆相交，求L被截得的弦的中点轨迹方程；（3）过点P（0.5,0.5）且被P点平分的弦所在直线的方程。【答案】（1）y=；（2）(去除包含在椭圆内部的部分)；（3）2x+4y-3=0。【解析】 (1)设这些平行弦的方程为y=2x+m,弦的中点为M(x,y).联立直线方程和椭圆方程:y=2x+m,消去y得,因此=-,.M的坐标是:x=,y=2x+m,消去m得:y=.(3)

7、由(2)可得弦所在直线的斜率为k=,因此所求直线方程是:y-=-(x-),化简得:2x+4y-3=0.8（本小题满分13分）已知过点（1，0）的直线相交于P、Q两点，PQ中点坐标为（O为坐标原点）。（I）求直线的方程；（II）证明：为定值。【答案】() () 【解析】（I）设（2分）得中点坐标为则直线的方程为（4分）消去y得于是（6分）9.已知椭圆（0）的左、右焦点分别为、，离心率，右准线方程为.() 求椭圆的标准方程；() 过点的直线与该椭圆相交于M、N两点，且，求直线的方程.【答案】() ；()，或.【解析】（）根据题意，得.所求的椭圆方程为.（）椭圆的焦点为、. 设直线被椭圆所截的弦MN

8、的中点为.由平行四边形法则知：.由得：.若直线的斜率不存在，则轴，这时点P与重合，与题设相矛盾，故直线的斜率存在.由得： 10.设双曲线的中心在原点，以抛物线的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线（）试求双曲线C的方程；（）设直线与双曲线交于两点，求；（）对于直线，是否存在这样的实数，使直线与双曲线的交点关于直线 (为常数)对称，若存在，求出值；若不存在，请说明理由【答案】（）；（）；（）的值存在，.（）由得：.设，则.（）假设存在这样的实数，使直线与双曲线的交点关于直线对称，则是线段AB的垂直平分线. 因而，从而. 设线段AB的中点为.由得：，.由得：.由、得：.由得：，.又由

9、得：直线与双曲线C相交于A、B两点，0，即6，且. 符合题意的的值存在，.11.设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线.（）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论.（）当时，求直线的方程.【答案】（）当且仅当时，直线经过抛物线的焦点F；（）（）当时，由得：. 所求的直线的方程为，即12.设A、B是椭圆上的两点，点是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.确定的取值范围，并求直线AB的方程；【答案】13.设A、B是双曲线上两点，点是线段AB的中点.（1）求直线AB的方程；（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么？【答案】（1）；（2）略【解析】（1），焦点在上. 由得：，.所求的直线AB方程为，即.（2）设直线CD的方程为，点在直线CD上，.直线CD的方程为.又设弦CD的中点为，由得：，即.由得.点M的坐标为.又由得.由两点间的距离公式可知：.故A、B、C、D四点到点M的距离相等，即A、B、C、D四点共圆.14.已知抛物线，直线交C于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.（）证明：抛物线C在点