等时圆”大全(个人汇集整理

1、实用标准文案图1巧用“等时圆”解物理问题一、何谓“等时圆”奇妙的等时圆一一2004年全国高考理科综合第15题的解析与应用从一道高考题得到的一个重要结论及其应用2004年高考试题：如图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个小 滑环（图中未画出），三个滑环分别从 a、b、c处释放（初速为0），用ti、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（）文档A.t 1 t 2t 2t 3C. t3t 1t 2D. t1=t 2=t 3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R,

2、由牛顿第二定律得,mg cos ma再由几何关系，细杆长度 L 2Rcos 1 2设下滑时间为t，则L 1 at22R由以上三式得，t 2 可见下4滑时间与细杆倾角无关，所以D正确。由此题我们可以得出一个结论。结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达 圆周最低点的时间相等。推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的 光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。（1）物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑,圆周最低点时间均相等，且为t = 2 ：.R（如图甲所示）.到达（2）物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止下滑，至U达圆周低端时

3、间相等为t = 2 . g（如图乙所示）.象这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。关于它在解题中的应用，我们看下面的例子:等时圆模型（如图所示）BB图a图b二、等时圆规律：1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。（如图a）d）自由落体的时间，即2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图b）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（式中R为圆的半径。）三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为，圆的直径为d （如右图）。根B据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a g sin ，位移为s d sin ，所

4、以运动时间为t 2s2d sin2d0 a gsi n g即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。规律AB、AC、AD是竖直面内三根固定的光滑细杆，A、B、C、D位于同一圆周上,A点为圆周的最高点，D点为最低点每根杆上都套着一个光滑的小滑环（图中未画出），个滑环分别从 A处由静止开始释放，到达圆周上所用的时间是相等的，与杆的长度和倾角 大小都无关推导设圆环沿细杆 AB滑下，过B点作水平线构造斜面,并设斜面的倾角为如图2所示,连接BD.根据牛顿第二运动定律有环的加速度a=gs in，由几何关系有 AB=x=2Rsin运动学公式有x=12at2，解得：环的运动时间t=2Rg关，所以

5、环沿不同细杆下滑的时间是相等的说明与倾角、杆长无如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为，由运动学公式有2Rsin 0=12(gsin 03OS 0) t2 ,解得t=2Rsin 0gsin 0 gcos 0=2Rg gcot0,0增大,时间t减小，规律不成立.、“等时圆”的应用，巧用等时圆模型解题 对于涉及竖直面上物体运动时间的比较、计算等问题可考虑用等时圆模型求解.1、可直接观察出的“等时圆”例1 :如图3 ,通过空间任一点 A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位实用标准文案文档图4解析:置所构成的面是（）A.球

6、面B.抛物面C.水平面D.无法确定解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一 “等时圆”上，所以A正确。【变式训练1】如图所示，AB和CD是两条光滑斜槽，它们各自的两端分别位于半径为R和r的两个相切的竖直圆上，并且斜槽都通过切点P.设有一个重物先后沿斜槽从静止出发,从A滑到B和从C滑到D，所用的时间分别等于 ti和t2,则ti和t2之比为（）A. 2 : 1B. 1 : 1C.3 : 1D . 1 : 2例4 :圆O1和圆O2相切于点P, O1、O2的连线为一竖直线，如图 8所示。过点P有两条光滑的轨道 AB、CD，两个小物体由静止开始分别沿AB、CD下滑，下滑时间分别为t1、t2,贝

7、U t1、t2的关系是（）A.t 1 t 2 B.t1=t 2 C.t1实用标准文案文档ta ； C做自由落体运动tc=2RX g;而d球滚下是一个单摆模型,摆长为R, td= T = R ，所以42C 正确。tb ta td tc.1解【析】 如图所示，令圆环半径为 R,则c球由C点自由下落到 M点用时满足R = 2gtC,所以tc =2R;对于a球令AM与水平面成0角，则a球下滑到 M用时满足 AM = 2Rsin g10= 2gsin能,即ta= 2-;同理b球从B点下滑到M点用时也满足面相切于M点的竖直圆的半径，rR)综上所述可得tbta且与水平三个相同小球从a点沿ab、ac、ad三条

8、光滑轨道从静止释放，哪个小球先运动到最低点？解析：设斜面侧边长为I，倾角为，则物体沿光滑斜面下滑时加速度为a g sin ，物体的位移为x I sin 。物体由斜面顶端由静止开始运动到底端，由运动学公式得Isin1g sin2 yt2得t亠，1、g 一定，所以.g sin越大时，下滑所用时间越短奇妙的等时圆2004年全国高考理科综合第15题的解析与应用从一道高考题得到的一个重要结论及其应用2004年高考试题：如图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从 a、b、c

9、处释放（初速为0），用ti、t2、t3依次表示各滑环到达 d所用的时间，则（）A.t 1 t 2t 2t 3C. t3t 1t 2D. tl=t 2=t 3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图定律得，2，由牛顿第二mg cosma 由几何关系，细杆长度 L 2Rcos设下滑时间为t，贝U L-at22R由以上三式得，t 2.一可见下滑时间与细杆倾角无 g以D正确。若将图1倒置成图3的形式，同样可以证明物体从最高点关，所止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑,到达圆周最低点的时间相等。物体沿着位于同一竖直圆上的过顶

10、点的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周低端的时间相等。我们把这两种圆叫做“等时圆”，下面举例说明“等时圆”的应用。图4例1 :如图4所示，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定解：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一 “等时圆”上，所以A正确。例2 :两光滑斜面的高度都为h,甲、乙两斜面的总长度都为I,只是乙斜面由两部分组成，如图5所示，将两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球先到达斜面底端？解：构想一辅助圆

11、如图6所示：在AF上取一点0,使0A=0C，以0点为圆心，以 0A为半径画圆，此圆交 AD于E点。由“等时圆”可知，tAc tAE，由机械能守恒定律可知：VcVe，Vb Vd，所以VbcVed。又因为两斜面的总长度相等，所以SbcSde，根据Vt 得, tBCtED，所以有t甲t乙，即乙球先到达斜面底端。图11图122在离坡底B为10cm的山坡面上竖直地固定一 根直杆，杆高 0A也是10cm。杆的上端 A到坡底B 之间有钢绳，一穿心于钢绳上的物体(如图11 )从A点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，求它在钢绳上滑 行时间(g=10m/s 2)答案：如图12，把A0延长到C，使0C=0A=10cm，

12、则点0到A、B、C三点的距离相等。以0为圆心，0A为半径作圆，则B、C一定在该圆的圆周上，由结论可知，物体间与从 A 到t AB t AC _ 2 AC / g2 20/102s。【例1】倾角为30的长斜坡上有C、O、B三点，CO =BC 的时间在C点竖直地固定一长10 m的直杆AO。A端与C点间和坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳 末端，如图1所示，则小球在钢绳上滑行的时间tAC和tAB分别为（取g = 10m/s 2）A. 2s 和 2sB.、2s 和 2s解析：由于 CO = OB =OA ，故A、B、C三点共圆，O

13、为圆图2C., 2s 和 4sD . 4s 和2s1 22r cos g cos ?t2a解得：t借，钢球滑到斜坡时间t跟钢绳与竖直方向夹角“无选项A正确。关，且都等于由 A到D的自由落体运动时间。代入数值得t=2s ,2、运用等效、类比自建“等时圆”例3 :如图5所示，在同一竖直线上有 A、B两点，相距为h , B点离地高度为 H，现在要在地面上寻找一点P,使得从A、B两点分别向点 P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求 O、P两点之间的距离OP。图5点处于等时圆的最低点时,图6解析：由“等时圆”特征可知，当 即能满足题设要求。如图6所示，此时等时圆的

14、半径为:hR O,P H -2所以 OP Jr2 （h）2 JH7Hh）例2 :如图2 ,在斜坡上有一根旗杆长为L,现有一个小 环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB滑至斜坡底部，又知 OB=L。求小环从A滑到B的时间。图2到底端D的时间，所以有例2、在一竖直墙面上固定一光滑的杆ABD三点在同一竖直平面内，且连线端滑到B端的时间为：（BA 0.1sB 0.2sC10平地面，杆上自 A【解析】：可以以0为圆心，以L为半径画一个圆。根据“等时圆”的规律可知，从 A滑到B的时间等于从A点沿直径解析：以C为圆心作一个参考园。由结论知，小球自 A到B运动的时间与自A到B自由落体运动的时间相等。即AE=2R=0.

15、2mAE= 2 gt 2t=0.2sAE滑行的时间技术人员通过测量4、如图4所示，在离坡底15m的山坡上竖直固定一长15m的直杆AO，A端与坡底B间连有一钢绳，一穿于钢绳上的小球从 A点由静 止开始沿钢绳无摩擦地滑下，求其在钢绳上滑行的时间t O例5、图甲是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道直线部分绘制出如图乙所示的示意图.AC是滑道的竖直高度， D点是AC竖直线上的一点，且有 AD = DE = 10 m ,滑道AE可视为光滑，滑行者从坡顶 A点由静止开始沿滑道 AE向下做直线滑动，g取10 m/s2，则滑行者在滑道AE上滑行的时间为（）A. sB. 2 sC. sD . 2 s【解

16、析】AE两点在以D为圆心、半径为 R= 10 m的圆上，在 AE上的滑行时间与沿 AD所在的直径自4R由下落的时间相同，t= J = 2 s，选B.1例4、如图所示，圆弧AB是半径为R的-圆弧，在AB上放置一光滑木板 BD, 一质量为 m的小物体在BD4板的D端由静止下滑,然后冲向水平面 BC,在BC上滑行L后停下.不计小物体在 B点的能量损失,已知卜求：小物体在 BD上下滑过程中重力做功的平均功率.【解析】由动能定理可知小物体从 D到C有Wg呵gL = 0,所以 Wg= pmgL由等时圆知识可知小物体从D到B的时间等于物体从圆周的最高点下落到B点的时间，即为，所以小物体在木板BD上下滑过程中

17、，重力做功的平均功率为Wg图7例3 :如图7, 质点自倾角为的斜面上方的定点 0沿光滑斜槽 0P从静止开始下滑，为使质点从 0点滑到斜面的时间最短，则斜槽与竖直方向的夹角应为多大？解：如图7,作以0P为弦的辅助圆，使圆心 O与0的连线在竖直线上，且与斜面相 切于P点。由“等时圆”可知，唯有在 0点与切点P点架设的斜槽满足题设条件，质点沿 其它斜槽滑至斜面的时间都大于此时间。由图可知，P0A，又OOP为等腰三角形，所以 一2例4 :如图7 , AB是一倾角为B的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假使光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方

18、向的夹角应为多大？P解析：借助“等时圆”，可以过P点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带AB相切,如图所示，C为切点，0为圆心。显然，沿着 PC弦建立管道，原料从 P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。因而，要使原料从P处到达输送带上所用时间最短，需沿着PC建立管道。由几何关系可得：PC与竖直方向间的夹角等于B / 2 。【例4】如图7所示，在同一竖直平面内，从定点 P到固定斜 面（倾角为B ）搭建一条光滑轨道 PM，使物体从P点释放后，沿轨道 下滑到斜面的时间最短，则此轨道与竖直线的夹角a为多少？图7解析：先用解析法求解。从定点P向斜面作垂线，垂足为 D ,如图8

19、所示，设P到斜面距离为h，则轨道长度为PMhcos( )物体沿轨道下滑的加速度a g cos由于PM 1at222h联立解得：tV g cos ?cos( )令根式中分母y cos ? cos（），利用积化和差得:y cos2cos(2）,0一定，当2时，分母y取得最大值，物体沿轨道下滑的时间t最小。再用“等时圆”作图求解。以定点P为“等时圆”最高点，作出系列半径r不同（动态的）“等时圆”，所有轨道的末端均落在对应的“等时圆”圆周上，如图9中甲所示，则轨道长度均可表示为 PM 2Rcos 物体沿轨道下滑的加速度 a g cos由于PM2川，故得：t叮，欲t最小，则须“等时圆”的半径 r最小。

20、显然，半径最小的“等时圆”在图中与斜面 相切于M2点，如图9中乙所示。再根据几 何关系可知：2图9在这里，用了转化的思想，把求最短时间转化为求作半径最小的“等时圆”，避免了用 解析法求解的复杂计算。例4 :如图5所示，在倾角为 的传送带的正上 方，有一发货口 A。为了使货物从静止开始，由A点 沿光滑斜槽以最短的时间到达传送带， 则斜槽与竖直 方向的夹角 应为多少？图10【解析】：如图6所示，首先以发货口 A点为最高 点作一个圆0与传送带相切，切点为B，然后过圆心0 画一条竖直线AB/，而连接A、B的直线，就是既过发 货口 A，又过切点B的惟一的弦。根据“等时圆”的规律，货物沿 AB弦到达传送带

21、的时间最短。因此，斜槽应沿AB方向安装。AB所对的圆周角B为圆心角的一半，而圆心角又等于a，所1以 2。如图3所示，在一个坡面与水平面成B =40 角的山坡AB的脚下A处有一个高塔，为防止意外，需要在塔顶 0与山坡之间搭一个滑道，以便塔上的人能尽快沿滑道滑到山坡上假设滑道光滑，试求滑道与山坡坡面AB的夹角 多大？解析 如图4所示，过0点作一条水平线与山坡交于 B点，过B点作/ABO的角平分 线，交过0点作的竖直线于点 C,以点C为圆心、0C为半径作圆与山坡相切于点 D，连 接 0D、CD.根据上述结论可知：人从0点出发沿滑道到达圆上的时间是相等的，沿滑道 0已到达山坡，沿其他滑道还要再走一段距

22、离才能到达山坡，所以人沿滑道0D到达山坡所用时间最短，此时夹角B =90 9=70 另解如图5所示，过点0作山坡的垂线 0D，设其长度为X.过点0画直线0E,作为 滑道，设其与竖直方向的夹角为9 由几何知识可知滑道的长度 0E=xcos (a 9),由牛顿 第二运动定律得人运动的加速度为 a=gsin (90 9,由运动学公式有xcos (a 9) =12gcos 92 ,解得 t=2xgcos 9cos (a 9),其中 cos 9 cos (a 9) =12cos a+cos ( 2 9a),所以当2 9= a=40 时，时间取得最小值，此时夹角=90 970.三、“形似质异”问题的区分如

23、图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆， a、b、c、d位于同一圆 周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环(图中未画出)，三个滑环分别从 a、b、c处释放(初速为 0),用t1、t2、t3依次表示各滑环到达 d所用的时间，则()B.t1 t 2t 3C.t3t 1t 2受力分析并建立坐标如图所示,图1A.t 1 t 2Of, Ocv Og ,故可推知t1 t2 t3,正确的选项是B。【例3】如图5所示，在竖直面内有一圆，圆内 OD为水平线， 圆周上有三根互成 300的光滑杆OA、OB、OC，每根杆上套着一个 小球（图中未画出）。现让一个小球分别沿三根杆

24、顶端无初速下滑到 O,所用的时间分别为tA、tB、tc，则（）A tA tB tc B tA tB tc C tA tB tc D 无法确定解析：题设图中 O点不在圆的最低点，故不是“等时圆”。延长OA，过B作B/B丄BO，贝U O、B、B/在同一圆周上， B处自由下落到图5图6O的时间和小球沿光滑杆由 B无初速滑到 O的时间相同。同理，过 C 作C/CCO,贝y O、C、C/在同一圆周上，C/处自由下落到 O的时间 和小球沿光滑杆由 C无初速滑到O的时间相同。C/、B/、A自由下落 到O的时间依次递减，故选项 B正确。3延伸如图6所示，AB、AC、AD是竖直面内三根固定的光滑细杆，A、B、C

25、、D位于同一圆周上，0点为圆周的圆心，A点不是圆的最高点每根杆上都套着一个光滑小滑环(图中 未画出)，三个滑环分别从 A处从静止开始释放，用t1、t2、t3依次表示滑环到达 B、C、D所用的时间，则三个时间的关系是什么？解析A不在圆的最高点，前面的结论直接用是不行的可以采用如下的方法解决如图7 所示，过点A作竖直线交 AB的垂直平分线于点 01，以01为圆心、01A为半径画圆交 AB于B、分别交AC、AD的延长线于 C1、D1.在圆ABC1D1中用前面的结论可知，所以t1t2.不可以根据 CC1 另解 假设圆的半径为 R,建立如图8所示的直角坐标系连接 A0并假设其与x轴的夹角为a,贝y A点

26、的坐标为(Rcos a, Rsin a).设直线AB与x轴的 夹角为B,则直线AB的斜率为k=tan直线AB的方程为y sin a=tan 0(x cos a),整理变形有xtan 0y+sin atan 0cos a=0 ,由数学知识可知，坐标原点到直线AB的距离为 OE=|sin atan 0cos a|1+tan2 0,由几何知识解得BE2=R2 (1 sin2 a+tan2 0cos2 a2sin acos atan 01+tan2 0),整理得 BE= (cos 0cos a+sin as in 0) R,由牛顿第二运动定律有环的加速度a=gsin 0,由运动学公式有2BE=12gs

27、in 02 ,解得小环运动时间为t=4R (cos acos 0+sin久sin 0) gsin 0=4Rg (cos acot 0+sin a),所以0增大，时间减小，t1t2t3.当式中a =90。时，t=2Rg，与倾角、杆长无关，就是前面推导的等时圆规律说明2如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为卩.环处于加速下滑的条件是卩2BE=12 ( gsin 0 gcos 0) t2 ,解得环运动时间t=4R (cos a cos 0+s in %sin 0) gsin Bgcos 0, 变形为 t=4Rg (cos atan 0+sin al tan 0), 由此式可知：0增大，时间t减

28、小，艮卩t1t2t3.当式中a =90。或a 90 、=0时，时间t=2Rg.可见等时圆规律适用的条件是：细杆 光滑、A点为圆周的最高点或最低点 四、比较应用等时圆模型解典型例题如图9，底边为定长 b的直角斜面中，球从光滑直角斜面顶端由静止滑到底端，至少需要多少时间？答案：用作图求解。如图 10 ,以b为半径、O为圆心作一个圆，作 出圆的一条竖直切线 MN，于圆切于D点。A点为所作圆的最低点。由 图可看出：从MN上不同的点由静止滑到 A点，以DA时间为最短。（由 “等时圆”可知，图中 E、D、C各点到达A的时间相等。）所以小球从底边b为定长的光滑直角斜面上滑下时以45。的时间为最少，而且此时间

29、与球从P点自由下落到圆最低点的时间相等。所以tmin:一 g2.有三个光滑斜轨道 1、2、3，它们的倾角依次是 60, 450和30,图9图10这些轨道交于 O点现有位于同一竖直线上的3个小物体甲、乙、丙，分别沿这3个轨道同时从静止自由下滑，如图，物体滑到O点的先后顺序是 BC.甲、乙、丙同时到达D.乙最先，甲稍后，丙最后A.甲最先，乙稍后，丙最后B.乙最先，然后甲和丙同时到达解析：设斜面底边长为I，倾角为，则物体沿光滑斜面下滑时加速度为ag sin，物2g si nt ， cos 245 时，tmin 匹V g2、如图9，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO,其下端都固定于底部

30、圆心0,而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为30、45、60。若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则 （）A、a处小孩最先到 O点B、b处小孩最先到 O点C、c处小孩最先到 O点D、a、c处小孩同时到 O点解析：三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但a、b、c三点不可能在同一竖直圆周上，所以下滑时间不一定相等。设圆柱底面半径r 14 R为 R,贝U= gsin 0t2, t2=,当 0=45 0 时，t 最小，当 0=30 0 和 600 时，sin2cos 2g sin 20的值相等。例3 :如图3，在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水是

31、从静止开始由屋顶无摩擦地流动。试分析和解：在屋顶宽度（21） 一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少？【解析】：方法一：如图所示，设斜面底边长为I，倾角为则雨滴沿光滑斜面下淌时加速度为a gsi n ，雨滴的位移为x I cos 。雨滴由斜面顶端由静止开始运动到底端，由运动学公式得1 g sin t2 ,cos 2体的位移为X I.COS 。物体由斜面顶端由静止开始运动到底端，由运动学公式得得t一2141， I、g 一定，所以当 g sin cos V gsin 221得tgsin cos”gsin 24l , I、g 一定，所以当45 时，tt m in方法二（等时圆）：

32、如图4所示，通过屋顶作垂线 AC与水平线BD相垂直；并以L为半径、0为圆心画一个圆与 AC、BC相切。然后，画倾角不同的屋顶A1B、A2B、A3B月C从图4可以看出：在不同倾角的屋顶中，只有A2B是圆的弦，而其余均为圆的割线。根据“等时圆”规律，雨水沿A2B运动的时间最短，且最短时间为tmilmin而屋顶的倾角则为tan2 2LL2 -gL 1L45【例6】在竖直平面内，固定一个半径为R的大圆环，其圆心为0,在圆内与圆心 0同一水平面上的 P点搭一光滑斜轨道 PM到大环上，如图13所示,OP =d v R。欲使物体从P点释放后，沿轨道滑到大环的时间最短，求M点位置（用OM与水平面的夹角a的三角

33、函数表达）解析：若用解析法求解，轨道长度由余弦定理求得PMd2 R2 2dRcos设轨道PM与水平面夹角为B,则物体沿轨道下滑的加速度a g sin由正弦定理得:dsin(Rsin( )又 PM lat22联立以上四个方程，有a、BPM、a和t五个变量，可以建立起下滑时间t与OM倾角a之间的函数关系，再利用数学工具求极值，但计算相当复杂。最小的“等时圆”，物体沿轨道由P滑到M点的时间也最短。几何关系有汀2 d2 R r，得r则OM与水平面的夹角a满足tanR2 d22Rr2 2R d 亠2 2R d或arcta nd2dRdR【例5】如图10所示，在同一竖直平面内，地面上高H的定点P,到半径为R的定圆的水平距离为L,从P搭建一条光滑轨道到定圆的圆周上。现使物体从P点释放后，沿轨道下滑到定圆的时间最短，该轨道与竖直方向夹角应多大?H和L满足题设要求。解析：先用解析法求解。如图11所示，延长PMPD相交于K,则物体沿光滑轨道下滑的加速度为gsin又PM -at22与定圆相交于B,即