(完整版)排列组合知识总结+经典题型(2),推荐文档

1、(1) 知 识 梳 理 1分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类中有 m1 种有不同的方法，在第 2 类中有 m2 种不同的方法在第 n 类型有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。 2分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法，做第 n 步有 mn 种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法。特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行

2、正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。3. 排列：从 n 个不同的元素中任取 m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.4. 排列数：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素排成一列， 称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数，用符号 表示.5. 排列数公式：特别提醒：（1）规定 0! = 1（2）含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集 s 有 k 个不同元素 a1，a2, .an 其中限重复数为 n1、n2nk，且 n =n1+n2+nk , 则 s 的

3、排列个数等于.例如：已知数字 3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数.6. 组合：从 n 个不同的元素中任取 m(mn)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.7. 组合数公式：8. 两个公式：特别提醒：排列与组合的联系与区别.联系：都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.(2) 典型例题考点一:排列问题例 1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1） 甲不站两端；（2） 甲、乙必须相邻；（3） 甲、乙不相邻；（4） 甲、乙之间间隔两人；（

4、5） 甲、乙站在两端；（6） 甲不站左端，乙不站右端.考点二:组合问题例 2. 男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 人.选派 5 人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1） 男运动员 3 名，女运动员 2 名；（2） 至少有 1 名女运动员；（3） 队长中至少有 1 人参加；（4） 既要有队长，又要有女运动员.考点三:综合问题例 3.4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1） 恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？（2） 恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？（3） 恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？当堂测试1. 从 5 名男医生、4 名女医生

5、中选 3 名医生组成一个医疗小分队， 要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）a.70 种b.80 种c.100 种d.140 种2. 亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿 者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作， 若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这 四项工作，则不同的选派方案共有（）a.48 种b.12 种c.18 种d.36 种3. 从 0，1，2，3，4，5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数， 组成没有重复数字的四位数的个数为（）a.48b.12c.180d.1624. 甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学

6、，2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（ ）a.150 种b.180 种c.300 种d.345 种5. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有（ ）a.6b.12c.30d.366. 用 0 到 9 这 10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个 数 为 （ ）a324b.328c.360d.6487. 从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理，则甲、乙 至少有 1 人入选，而丙 没有入选的不同选法的总数为（）a.85b.56c.49d.288. 将甲、乙、丙、

7、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（ ）a.18 b.24 c.30 d.309.3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）a.360b.288c.216d.96参考答案：例 1 解：（1）方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4 个位置上任选 1 个，有种站法，然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有 种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余 5 个人中选2 个人站，有种站法，然后中间 4

8、人有 种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：方法三：若对甲没有限制条件共有种站法，甲在两端共有种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：（2） 方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余 4 人进行全排列有种站法，再把甲、乙进行全排列，有种站法，根据分步乘法计数原理，共有方法二：先把甲、乙以外的 4 个人作全排列，有种站法，再 在 5 个空档中选出一个供甲、乙放入，有种方法，最后让甲、乙全排列，有种方法，共有（3） 因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的 4 个人站队，有种站法；第二步再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档（含两端）中，有

9、 种站法，故共有站法为也可用“间接法”，6 个人全排列有种站法，由（2）知甲、乙相邻有种站法，所以不相邻的站法有.（4） 方法一：先将甲、乙以外的 4 个人作全排列，有种，然后将甲、乙按条件插入站队，有种，故共有站法.方法二：先从甲、乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲、乙之间的两个位置上，有种，然后把甲、乙及中间 2 人看作一个“大” 元素与余下 2 人作全排列有 种方法，最后对甲、乙进行排列， 有种方法，故共有站法.（5） 方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有种， 再让其他 4 人在中间位置作全排列，有种，根据分步乘法计数原理，共有站法.方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去

10、站有种站法，然后考虑中间 4 个位置，由剩下的 4 人去站，有种站法，由分步乘法计数原理共有站法.（6） 方法一：甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种， 且甲在左端而乙在右端的站法有 a种，共有站法.方法二：以元素甲分类可分为两类：甲站右端有种站法，甲在中间 4 个位置之一，而乙不在右端有种，故共有站法.例 2 解（1）第一步：选 3 名男运动员，有种选法. 第二步：选 2 名女运动员，有种选法.共有种选法.（2） 方法一 至少 1 名女运动员包括以下几种情况： 1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男.由分类加法计数原理可得总选法数为.方法二 “至少 1 名女运动员”

11、的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.从 10 人中任选 5 人有种选法，其中全是男运动员的选法有种.所以“至少有 1 名女运动员”的选法为.（3） 方法一：可分类求解：“只有男队长”的选法为；“只有女队长”的选法为；“男、女队长都入选”的选法为； 所以共有种选法.9 分方法二：间接法：从 10 人中任选 5 人有种选法.其中不选队长的方法有种.所以“至少 1 名队长”的选法为种. 9 分（4） 当有女队长时，其他人任意选，共有种选法.不选女队长时，必选男队长，共有种选法.其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时的选法共有种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有种.例 3 解（1）为保

12、证“恰有 1 个盒不放球”，先从 4 个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4 个球，3 个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把 4 个球分成 2，1，1 的三组，然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球，其余 2 个球放在另外 2 个盒子内，由分步乘法计数原理，共有（2） “恰有 1 个盒内有 2 个球”，即另外 3 个盒子放 2 个球，每个盒子至多放 1 个球，也即另外 3 个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有 1 个盒不放球”是同一件事，所以共有 144 种放法.（3） 确定 2 个空盒有种方法.4 个球放进 2 个盒子可分成（3，1）、（2，

13、2）两类，第一类有序不均匀分组有种方法；第二类有序均匀分组有种方法.故共有种.当堂检测答案1. 从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队， 要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）a.70 种b.80 种c.100 种d.140 种解析：分为 2 男 1 女，和 1 男 2 女两大类，共有=70 种，解题策略：合理分类与准确分步的策略。2. 亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿 者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作， 若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这 四项工作，则不同的选派方案共有 （）a.48 种b.12

14、 种c.18 种d.36 种解析：合理分类，通过分析分为（1）小张和小王恰有 1 人入选， 先从两人中选 1 人，然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有种选法。（2）小张和小赵都入选，首先安排这两个人，然后再剩余的 3 人中选 2 人排列有种方法。共有 24+12=36 种选法。解题策略：1.特殊元素优先安排的策略。2. 合理分类与准确分步的策略。3. 排列、组合混合问题先选后排的策略。3. 从 0，1，2，3，4，5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数， 组成没有重复数字的四位数的个数为（）a.48b.12c.180d.162解析：分为两大类：（1）含有 0，分步 1

15、，从另外两个偶数中选一个， 种方法，2.从 3 个奇数中选两个，有种方法；3.给0 安排一个位置，只能在个、十、百位上选，有种方法；4.其他的 3 个数字进行全排列，有种排法，根据乘法原理共种方法。（2）不含 0，分步，偶数必然是 2，4 ； 奇数有种不同的选法，然后把 4 个元素全排列，共种排法， 不含 0 的排法有种。根据加法原理把两部分加一块得解题策略：1.特殊元素优先安排的策略。2. 合理分类与准确分步的策略。3. 排列、组合混合问题先选后排的策略。4. 甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学，2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有

16、1 名女同学的不同选法共有（ ）a.150 种b.180 种c.300 种d.345 种解析：4 人中恰有 1 名女同学的情况分为两种，即这 1 名女同学或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的选法共有 种选法。解题策略：合理分类与准确分步的策略。5. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有（）a.6b.12c.30d.36解析：可以先让甲、乙任意选择两门，有种选择方法，然后再把两个人全不相同的情况去掉，两个人全不相同，可以让甲选两门有 种选法，然后乙从剩余的两门选，有种不同的选法，全不相同的选法是种方法，所以至少有一门不相同的选法为种不同的选

17、法。解题策略：正难则反，等价转化的策略。6. 用 0 到 9 这 10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）a.324b.328 c.360 d.648解析： 第一类个位是零，共 种不同的排法。第二类个位不是零，共种不同的解法。解题策略：合理分类与准确分步的策略.7. 从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理，则甲、乙 至少有 1 人入选，而丙 没有入选的不同选法的总数为（）a.85b.56c.49d.28解析：合理分类，甲乙全被选中，有种 选 法，甲乙有一个被选中，有种不同的选法，共+=49 种不同的 选 法 。解题策略：（1） 特殊元素优先安排的策略，（2） 合理分类

18、与准确分步的策略.8. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（ ）a.18 b.24 c.30 d.30将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有种不同的分法， 然后三组进行全排列共种不同的方法；然后再把甲、乙分到 一个班的情况排除掉，共种不同的排法。所以总的排法为种注意:这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题。这里分为有序分组和无序分组，有兴趣的同学可以继续研究 ， 这里不再详述。解题策略：1. 正难则反、等价转化的策略2. 相邻问题捆绑处理的策略3. 排列、组合混合问题先选后排的策略；9

19、.3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）a.360b.288c.216d.96解析：分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则，先考虑女生的问题，先从 3 个女生中选两位，有种方法， 然后再考虑顺序，即先选后排，有种方法；这样选出两名女 生后，再考虑男生的问题，先把三个男生任意排列，有 中不同的排法，然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成两个元素插入 4 个位置中。有种不同的排法，共有种不同的排法。然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉。甲可能站左端，也可能是右端，有种不同的方法，然后其他两个男生

20、排列有种排法，最后把女生在剩余的三个位置中排列，有 种不同的排法。共种不同的排法， 故总的排法为种不同的方法。本题难度大，体现的排列组合的解题策略多：（1） 特殊元素优先安排的策略：（2） 合理分类与准确分步的策略；（3） 排列、组合混合问题先选后排的策略；（4） 正难则反、等价转化的策略；（5） 相邻问题捆绑处理的策略；（6） 不相邻问题插空处理的策略。解排列组合的应用题要注意以下几点：仔细审题，判断是排列还是组合问题，要按元素的性质分类， 按事件发生的过程进行分步。深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑。对限制条件较复杂的排列组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决。“”“”at the end, xiao bian gives y