(完整版)打印版高中数学必修四知识点(非常详细),推荐文档

1、高中数学必修 4 知识点第一章 三角函数正角: 按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负 角: 按顺时针方向旋转形成的角零角: 不作任何旋转形成的角2象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。第一象限角的集合为ak 360o a k 360o + 90o , k z第二象限角的集合为ak 360o + 90o k 360o +180o , k z第三象限角的集合为ak 360o +180o a k 360o + 270o , k z第四象限角的集合为ak 360o + 27

2、0o a 0)，p(x,y)yxyx则 sina= ， cosa=， tana= (x 0)orrx定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 p(x,y)，y那么 v 叫做 的正弦，记作 sin,即 sin = y; u 叫做 的余弦，记作 cos，即 cos=x; 当 的终边不在 y 轴上时，yy叫做 的正切，记作 tan, 即 tan=.xxy+o_（2） 三角函数值在各象限的符号：口诀：全正，s 正，t 正，c 正。p(x,y)oxy_+xox_+ y_+ox+_sina（3） 特殊角的三角函数值cosatana口诀：第一象限全为正；二正三切四余弦.a的角度030456090120

3、135150180a的弧度0a6a4a3a22a33a45a6asina012 2 2 3 21 3 2 2 2120cosa1 3 2 2 2120- 12- 22- 32- 1tana0 3 313不存在-3- 1- 330a的角度210225240270300315330360a的弧度7a5a4a3a5a7a11a2a6432346sina- 12-22-32-1-32-22- 120cosa-32-22- 1201222321tana 3 313不存在-3- 1- 330（4） 三角函数线：如下图（5） 同角三角函数基本关系式（）平方关系： sin 2 a+ cos2 a= 1（）商数

4、关系： tana= sinacosa6、三角函数的诱导公式：(1)sin (2ka+a)= sina， cos(2ka+a)= cosa， tan (2ka+a)= tana(k z) 口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等(2)sin (-a)= -sina， cos(-a)= cosa， tan (-a)= - tana(3)sin(a-a)= sina，cos(a-a)= -cosa， tan(a-a)= - tana(4)sin(a+a)= -sina， cos(a+a)= -cosa， tan(a+a)= tana(5)sin (2a-a)= -sina， cos(2a-a)= co

5、sa， tan (2a-a)= - tana 口诀：函数名称不变，正负看象限6 sin aaa( ) 2 -a = cosa， cos 2 -a = sina， tan 2-a= cota7 sin aaa( ) 2 +a = cosa， cos 2 +a = -sina， tan 2 +a = -cota口诀：正弦与余弦互换，正负看象限诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。即将括号里面的角拆成2a= k a +a的形式。7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数y = sin xy = cos xy = tan x图象定义域值域rrax x ka+ 2 , k z值域： -1,

6、1a当x = 2ka+ (k z)时，2ay= 1；当 x = 2ka- max2(k z)时， ymin = -1值域： -1,1当 x = 2ka(k z)时，ymax =1；当 x = 2ka+a(k z)时， ymin = -1值域： r既无最大值也无最小值周期性y = sin x 是周期函数；周期为t = 2ka,k z 且 k 0 ；最小正周期为2ay = cos x 是周期函数；周期为t = 2ka,k z 且 k 0 ； 最小正周期为2ay = tan x 是周期函数；周期为t = ka, k z 且k 0 ；最小正周期为a奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性aa在 2ka- , 2

7、ka+22 (k z)上是增函数；在2ka+ a , 2ka+3a22 (k z)上是减函数在2ka-a,2ka(k z)上是增函数；在2ka,2ka+a(k z)上是减函数aa在 ka- ,ka+ 22(k z)上是增函数对称性对称中心(ka, 0)(k z)a对称轴 x = ka+ (k z)2对称中心 ka+ a 0 (k z), 2对称中心 ka, 0 (k z) 2无对称轴对称轴 x = ka(k z)8、（1） y = asin (ax +a)+ b 的图象与 y = sin x 图像的关系：图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 a 倍振幅变换： y = sin x图象上每个

8、点的横坐标变为原来的 1 倍，纵坐标不变y = asin x周期变换： y = sin xay = sinax图象整体向左（a 0 ）或向右（a 0 ）或向下（ b 0,a 0) 的性质：振幅： a ；周期： t =2a；频率： f =1 = a；相位：ax +a；初相：aa定义域： r值域： - a + b , a + bat2a当ax+a= 2ka+(k z)时， ymax = a + b ；2当ax+a= 2ka-a (k z)时， ymin = - a + b 22a周期性：函数 y = asin(ax +a) + b( a 0,a 0) 是周期函数；周期为t = aaa单调性：ax

9、+a在2ka-, 2ka+22 (k z)上时是增函数；a3aax +a在2ka+ , 2ka+ 2(k z)上时是减函数2 ka-a a对称性：对称中心为 a , 0 (k z)；对称轴为ax+a= ka+ 2 (k z)第二章 平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示2、零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作0 ；零向量的方向是任意的3、单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量；与向量 a 平行的单位向量：ae = | a |4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作 a / b ；规定0 与任何

10、向量平行5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示， 并且与有向线段的起点无关。6、向量加法运算：三角形法则的特点： 首尾相接- 6 -平行四边形法则的特点：crabrbarruuruuruuura - b = ac - ab = bc起点相同运算性质：rrrr- 10 -rr交换律： a +b =b + a ；rrrrrrrrrr结合律： (a + b )+ c = a +r (b + c )； a + 0 = 0 + a = a 坐标运算：设 a= (x , y )，= (x , y)，则11b22rra

11、 + b = (x + x , y + y )12127、向量减法运算：三角形法则的特r 点：共起点r，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设 a= (x , y )，= (x , y)，则11b22-arr = (x - x , y - y )b1212设a 、b 两点的坐标分别为(x1, y1 )， (x2 , y2 )，则uuurab = (x2 - x1 , y2 - y1 )8、向量数乘运算：rr实数a与向量 a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作aarr aa= a a；rrrr当a 0 时，aa 的方向与 a 的方向相同；当a 0 时，aa 的方向与 a 的方向相反；当a= 0

12、 时，ar = r 0rrarrrrrrr运算律：a(aa )= (aa)a ； (a+ a)a = aa + aa ；a(a +)= aa + a bbrr坐标运算：设 a= (x, y )，则aa= a(x, y )= (ax,ay )r r rrrrr9、向量共线定理：r向量 a(a 0)与 b共线，当且仅当有唯一一个实数a，使 b= aa设 a = (x , y )，= (x , y )， 其中 r r ，则当且仅当 x y - x y = 0 时，向量 ar 、11b22b0r rr1 22 1b (b 0)共线urur10、平面向量基本定理：如果e1 、e2 是同一平面ur内的两u

13、r 个不共线向量，那ur 么对ur 于这一平面内的rr任意向量 a ，有且只有一对实数a、a ，使 a = a + a（不共线的向量、作为这一平12面内所有向量的一组基底）1 e12 e2e1e211、分点坐标公式：设点r 是线段r1r2 上的一点， r1 、r2 的坐标分别是(x1, y1 )， (x2 , y2 )，当uuuruuur x1 + ax2y1 + ay2 r1r = arr2时，点r 的坐标是1+ a,1+ a 12、平面向量的数量积：r rrr rr rrrrro定义： a b =a b cosa(a 0, b 0, 0 a 180o )零向量与任一向量的数量积为0 a与r

14、性质：设 a和rr都是非零向量，则 aa r = 0 当 rrr rr同向时， a=；rrb当与r rr rbr rr2br 2rbba br rr rr rab 反向时rr， a rb r= - ab ； a a = a = a 或 a =a a a b a b 运算律： a rrr rrrrrrr rr rb = b a ； (aa ) b = a(a b r)= a (ab )； (a + br) c = a c + b c rr坐标运算：设两个非零向量 a = (x , y )，= (x , y )，则 a = x x + y y 11b22b1 21 2x2 + y2若 r= (x,

15、 y )， 则 r2 = x2 + y2 ， 或 r = rraaarr设 a= (x , y )，= (x , y )， 则 a x x + y y = 0 11b22rrrb1 21 2rrrar设 a 、b 都是非r 零向量， a = (x1, y1 )， b = (x2 , y2 )，a是与b 的夹角，则a a br rx2 + y2x2 + y21122cosa=b =x1 x2 + y1 y2第三章 三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式（）平方关系： sin 2 a+ cos2 a= 1（）商数关系： tana= sinacosa（）倒数关系： tanacota= 1sin2a=

16、tan2acos2 a=11 + tan2 a；1 + tan2a注意： sina, cosa, tana 按照以上公式可以“知一求二” 2、两角和与差的正弦、余弦、正切s(a+a) ： sin(a+ a) = sinacosa+ cosasin as(a-a) ： sin(a- a) = sinacosa- cosasin a c(a+a) ： cos(a + a) = cosacosa- sinasin a c(a-a)：cos(a -a)= cosacosa+sinasinat(a+a) ：tan(a+ a)=tana+ tan a 1 - tanatan at(a-a)：tan(a-

17、a)=tana- tan a 1 + tanatan a正切和公式： tana+ tan a= tan(a+ a) (1 - tanatan a) 3、辅助角公式： a sin x + b cos x =a2 + b 2a2 + b2sin x +bcos xa2 + b2a2 + b2=a2 + b2 (sin x cosa+ cos x sina) = sin(x +a)（其中a称为辅助角，a的终边过点(a, b) ， tana= b ）a4、二倍角的正弦、余弦和正切公式：s2a ：c2a：sin 2a= 2 sinacosacos 2a= cos2 a- sin 2 a = 1 - 2

18、sin 2 a= 2 cos2 a- 1t2a：tan 2a=2 tana1- tan2 a22*二倍角公式的常用变形：、 1- cos 2a=| sina| ，1+ cos 2a=| cosa| ；、1 - 1 cos 2a=| sina| ，1 + 1 cos 2a=| cosa|22442222sin 2 2a sin a+ cos a= 1- 2sin acos a= 1-；2cos4 a-sin4 a= cos2a；121- cos 2a11*降次公式： sinacosa=sin 2a2sin a= -cos 2a+222cos2 a= 1 + cos 2a = 1 cos 2a+

19、12225、*半角的正弦、余弦和正切公式：sina= 1 - cosa；cosa= 1 + cosa，2222tana= 21- cosa = 1- cosa=sina 1+ cosasina1 + cosa6、同角三角函数的常见变形：（活用“1”） sin 2 a= 1 - cos2 a；sina= 1- cos2a；cos2 a= 1- sin2 a；cosa= 1 - sin2a； tana+ cota=cos2 a+ sin 2 a =sinacosa2，sin 2acota- tana=cos2 a-sin2 a=sinacosa2cos2a = 2 cot 2a sin 2a (s

20、ina cosa)2 = 1 2sinacosa=1 sin 2a；7、补充公式：* 万能公式1 sin 2a =| sina cosa|2 tan asina=2a； 1 + tan2 21 - tan2 a cosa=2 ；1 + tan2 a22 tan atana=2a1 - tan22* 积化和差公式sinacosa= 1sin(a+a)+sin(a-a)2cosasina=1sin(a+a)-sin(a-a)2cosacosa= 1cos(a+a)+cos(a-a)2sinasina=-1cos(a+a)-cos(a-a)2* 和差化积公式sina+ sina= 2sina+a2a- acos2；sina- sina= 2cosa+a2sin a- a2cosa+ cosa= 2cosa+ aa-aa+aaacos；cos-cos= -2sina- asin2222注：带*号的公式表示了解，没带*公式为必记公式“”“”at the end, xiao bian