(完整版)2019年高考试题汇编理科数学--数列,推荐文档

1、（2019 全国 1 理）9.记 sn 为等差数列an的前 n 项和.已知 s4 = 0 ， a5 = 5 ，则（）13 / 13a. an = 2n - 5b. an = 3n -10c. sn = 2n2 -8nd. sn =答案：a解析：1 n22- 2ns4 = 4a1 + 6d = 0a1 = -3a n = 2n - 5 ， sn = n2 - 4n .依题意有a = a + 4d = 5，可得d = 2 ， 51sa a = 1a 2 = as =nnn3 ， 46 ，则（2019 全国1 理）14.记答案：121s5 = 3解答：a = 121为等比数列的前项和，若5. 13

2、， a4= a6设等比数列公比为 q(a q3 )2 = a q5 11 q = 3 s5 =12132019 全国 2 理)19. 已知数列an 和bn 满足 a1 = 1， b1 = 0 ， 4an+1 = 3an - bn + 4 ， 4bn+1 = 3bn - an - 4 .（1） 证明： an + bn 是等比数列， an - bn 是等差数列；（2） 求an 和bn 的通项公式.答案：=（1） 见解析1 n（2） a+ n -1 ， b =1 n - n + 1 .n( )解析：2n( )222(1)将4an+1 = 3an - bn + 4 ， 4bn+1 = 3bn - an

3、 - 4 相加可得4an+1 + 4bn+1 = 3an + 3bn - an - bn ， 整理可得 a+ b= 1 (a + b ) ，又 a + b = 1 ，故a+ b 是首项为1，公比为 1 的等比数列.n+1n+12nn11nn2将4an+1 = 3an - bn + 4 ， 4bn+1 = 3bn - an - 4 作差可得4an+1 - 4bn+1 = 3an - 3bn + an - bn + 8 ，整理可得 an+1 - bn+1 = an - bn + 2 ，又 a1 - b1 = 1，故an - bn 是首项为1，公差为2 的等差数列.（2） 由a+ b 是首项为1，公

4、比为 1 的等比数列可得 a + b =1 n-1；2nn2nn( )由an - bn 是首项为1，公差为2 的等差数列可得 an - bn = 2n -1；相加化简得 a = 1 n + n - 1 ，相减化简得b =1 n - n + 1 。n( ) 22n( )22(2019 全国 3 理)5.已知各项均为正数的等比数列an的前4 项和为15 ，且 a5 = 3a3 + 4a1 ，则 a3 = （）a. 16答案：c解答：b. 8c. 4d. 2设该等比数列的首项 a ，公比 q ，由已知得， a q4 = 3a q2 + 4a ，1111因为a 0 且q 0 ，则可解得q = 2 ，又

5、因为 a (1+ q + q2 + q3 ) = 15 ，11即可解得 a = 1，则 a = a q2 = 4 .131s(2019 全国 3 理)14.记 s 为等差数列a 的前 n 项和，若a 0 ， a = 3a ，则 s10 =.nn答案：4解析：1215设该等差数列的公差为 d ， a2 = 3a1 ， a1 + d = 3a1 ，故 d = 2a1 (a1 0, d 0)，10 (a1 + a10 ) s10 = 2 = 2 (2a1 + 9d ) = 2 10d = 4 .s55(a1 + a5 )2a1 + 4d5d2（2019 北京理）10.设等差数列an的前 n 项和为

6、sn，若 a2=3，s5=10，则 a5=，sn 的最小值为 【答案】(1). 0.(2). -10.【解析】【分析】首先确定公差,然后由通项公式可得 a5 的值，进一步研究数列中正项负项的变化规律,得到和的最小值.【详解】等差数列an中, s5 = 5a3 = -10 ,得 a3 = -2, a2 = -3 ,公差 d = a3 - a2 = 1, a5 = a3 + 2d = 0 ,由等差数列an 的性质得 n 5 时, an 0 , n 6 时, an 大于 0,所以 sn 的最小值为 s4 或 s5 ,即为-10 .【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式等差数列的性质,难度不大,注

7、重重要知识基础知识基本运算能力的考查.（2019 北京理）20.已知数列a ，从中选取第 i 项、第 i 项、第 i 项(i i i )，若 ai a a，iin12m1 2m12ma ，ai 为a 的长度为 m 的递增子列规定：数列a 的任意一项都是a 的长度为 1 的1则称新数列 ii2mnnn递增子列（）写出数列 1，8，3，7，5，6，9 的一个长度为 4 的递增子列；00（）已知数列an的长度为 p 的递增子列的末项的最小值为 am ，长度为 q 的递增子列的末项的最小值为 an .00若 pq，求证： am an ；（）设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若an的长

8、度为 s 的递增子列末项的最小值为2s1，且长度为 s 末项为 2s1 的递增子列恰有 2s-1 个（s=1，2，），求数列an的通项公式【答案】() 1,3,5,6. ()见解析；()见解析.【解析】【分析】()由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可； ()利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可；()观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可.【详解】()满足题意的一个长度为 4 的递增子列为：1,3,5,6.()对于每一个长度为 q 的递增子列 a1 , a2 ,laq ，都能从其中找到若干个长度为 p 的递增子列 a1

9、 , a2 ,lap ，此时 ap aq ，q aq1 , aq2, aq,3 l设所有长度为 的子列的末项分别为：，p ap1 , ap2, a p,3 l所有长度为 的子列的末项分别为：，则，an0 = min aq1 , aq2 , aq3 ,l注意到长度为 p 的子列可能无法进一步找到长度为 q 的子列，故，am0 min ap1 , ap2 , ap3 ,l据此可得： am an00an()满足题意的一个数列的通项公式可以是下面说明此数列满足题意.n -1, n为偶数= 2,1, 4, 3, 6, 5,8, 7,ln +1, n为奇数，很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项

10、均不相等. 长度为 s 的递增子列末项的最小值为 2s-1，下面用数学归纳法证明长度为 s 末项为 2s-1 的递增子列恰有2s-1 个(s = 1, 2,l)： 当 n = 1 时命题显然成立，假设当 n = k 时命题成立，即长度为 k 末项为 2k-1 的递增子列恰有2k -1 个，则当 n = k + 1 时，对于 n = k 时得到的每一个子列 as1 , as2 ,l, ask -1 , 2k -1，as , as ,l, as, 2k -1, 2 (k +1)-1as , as ,l, as, 2k, 2 (k +1)-1可构造： 12k -1和 12k -1两个满足题意的递增子

11、列，则长度为 k+1 末项为 2k+1 的递增子列恰有2 2k -1 = 2k = 2(k +1)-1 个，an综上可得，数列= n -1, n为偶数= 2,1, 4, 3, 6, 5,8, 7,ln +1, n为奇数是一个满足题意的数列的通项公式.注：当 s = 3 时，所有满足题意的数列为：2, 3, 5,1, 3, 5,2, 4, 5,1, 4, 5，当 s = 4 时，数列2, 3, 5对应的两个递增子列为：2, 3, 5, 7和2, 3, 6, 7.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新

12、的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.（2019 天津理）19.设an 是等差数列，bn 是等比数列.已知 a1 = 4, b1 = 6 ，b2 = 2a2 - 2, b3 = 2a3 + 4 .（）求an 和bn 的通项公式；c c1 = 1, cn1,2k n 2k+1,=kb , n = 2 ,其中 k n* .（）设数列n 满足 ka2n (c2n -1)（i） 求数列的通项公式；2n aici（ii） 求 i=1(n n* ).【答案】（） an= 3n +1； b

13、n= 3 2n（）（i）a n (c n -1)= 9 4n -1（ii）222n aici(n n* )= 27 22n-1 + 5 2n-1 - n -12(n n* )i=1【解析】【分析】()由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；a n c(n -1()结合()中的结论可得数列)2的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等2n aici价变形，结合等比数列前 n 项和公式可得 i=1的值.【详解】()设等差数列an 的公差为 d ，等比数列bn 的公比为 q .6q = 2 (4 + d )- 2 = 6 + 2d依题意得6q2 = 2 (4 + 2d )

14、+ 4 = 12 + 4dd = 3，解得q = 2 ，故 an = 4 + (n -1) 3 = 3n +1 ， bn = 6 2n-1 = 3 2n.所以，an 的通项公式为 an = 3n +1 ，bn 的通项公式为 bn= 3 2n .nnna n (c n -1)= a n (b -1)= (3 2 +1)(3 2 -1)= 9 4 -1()(i) 222na n (c n -1).a n (c n -1)= 9 4n -1所以，数列 22的通项公式为 22.2n2n2n2n aici = ai + ai (ci -1) = ai + a2i (c2i -1)ii( ) i=1i=1

15、2n (2n -1)ni=1i=12= 2n 4 + 3 +(9 4i -1)i=14 (1- 4n )-= (3 22n-1 + 5 2n-1)+ 9 - n1 4.= 27 22n-1 + 5 2n-1 - n -12(n n * )【点睛】本题主要考查等差数列等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.（2019 上海）18已知数列an ， a1 = 3 ，前 n 项和为 sn （1） 若an 为等差数列，且 a4 = 15 ，求 sn ；（2） 若a 为等比数列，且 lim s 12 ，求公比 q 的取值范围nn n【解答】

16、解：（1） q a4 = a1+ 3d = 3 + 3d = 15 ， d = 4 ， sn= 3n + n(n - 1) 4 = 2n2 + n ；2= 3(1 - qn )- （2） sn， q lim sn 存在，1n=1- qnq 1 ， lim sn存在， -1 q 1 且 q 0 ， lim s= lim 3(1 - qn )3 ，nnn1 -q1 - q3 12 ， q 3 ， -1 q 0 或0 q 7 ，不符合条件7当 k = 2 时，因为 b1 b7 对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，必然有 am - an = 2p，d = 2pm - n= 4p ，

17、 m - n 不是整数，不符合条件7当 k = 3 时，因为 b1 b7 对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，必然有 am - an = 2p或者4p，d = 2pm - n= 6p ，或者 d =74pm - n= 6p ，此时， m - n 均不是整数，不符合题意7综上， t = 3 ，4，5，6(n *a a + a = 0, s = 27s(2019 江苏)8.已知数列ann )是等差数列，sn是其前 n 项和.若2 589，则 8 的值是.【答案】16【解析】【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前 8 项和即可.a2a5 + a8 = (a1 + d )(a

18、1 + 4d )+ (a1 + 7d )= 0+ 98【详解】由题意可得： a1 = -5s98 7= 9a1 d = 272，解得： d = 2s8 = 8a1 +，则d = -40 + 28 2 = 16 2.【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建 a1, d 的方程组.(2019 江苏)20.定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“m数列”.（1） 已知等比数列an满足： a2 a4 = a5 , a3 - 4a2 + 4a1 = 0 ，求证:数列an为“m数列”

19、；1,b =1 = 2 - 2 1（2） 已知数列bn满足:snbnbn+1 ，其中 sn 为数列bn的前 n 项和求数列bn的通项公式；设 m 为正整数，若存在“m数列”cn(nn*)，对任意正整数 k，当 km 时，都有ck bk ck +1 成立，求 m的最大值【答案】（1）见解析；()n n*（2）bn=n；5.【解析】【分析】（1） 由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；（2） 由题意利用递推关系式讨论可得数列bn是等差数列，据此即可确定其通项公式；由确定bk 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得 m 的最大值【详解】（1）设等比数列an

20、的公比为 q，所以 a10，q0.a2a4 = a5a2q4 = a q4a = 1a - 4a + 4a = 0a1q2 - 4a1 q + 4a = 0q1= 2由 321，得111，解得因此数列an 为“m数列”.1（2）因为 sn= 2 -bn2bn+1 ，所以bn 0 1 = 2 - 2由b1 = 1, s1 = b1 得11b2 ，则b2 = 2 .n 1 = 2 - 2s =bnbn+12 (b- b2 b - b)()由 snbnbn+1 ，得2(bn+1- bn ) ，b = s - sbn =bnbn+1-bn-1bn当 n 2 时，由 nnn-1 ，得n+1nnn-1 ，

21、整理得bn+1 + bn-1 = 2bn 所以数列bn是首项和公差均为 1 的等差数列.(n n *)因此，数列bn的通项公式为 bn=n.k由知，b =k， k n * .因为数列cn为“m数列”，设公比为 q，所以 c1=1，q0.q k qk -1k因为 ckbkck+1，所以，其中 k=1，2，3，m.当 k=1 时，有 q1；当 k=2，3，m 时，有ln x (x 1)ln k ln q ln kkk -1 f (x) = 1- ln x设 f（x）= x，则x2令 f (x) = 0 ，得 x=e.列表如下：x（1，e）e(e，+)f (x)+0f（x）极大值ln 2 = ln

22、8 10b = 1 ,a 10241010a. 当b. 当c. 当b = -2, a10 10d. 当b = -4, a10 10【答案】a【解析】【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.x2 - x +2a1 = 1 x -= 042= a 0, 1 a 1,12 n2【详解】选项 b：不动点满足排除时，如图，若，1a = 1如图，若 a 为不动点 2 则 n21 29ax -1x2 - x - 2 = x - -= 0 选项 c：不动点满足令a = 2 ，则 an = 2 10 ，2 4，不动点为 2，排除x

23、2 - x - 4 = x -1 - 17 = 0x = 17 1a = 17 1 2选项 d：不动点满足2 4，不动点为22 ，令22 ，则an = 1 2 loga loga 2n-1+n 4n+1n2n17 n 117 n17 n 1处理二：当时，则161616则a 17 2 17 21 646464 63 1n+116(n 4)a10 16 = 1+ 16 = 1+ 16 + 1+ 4 + 7 102162故选 a，则.【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论 a 的可能取值，利用“排除法”求解.20.设等差数列an 的前 n 项和为

24、 sn ， a3 = 4 ， a4 = s3 ，数列bn 满足：对每n n*, sn + bn , sn+1 + bn , sn+2 + bn 成等比数列.（1） 求数列an ,bn 的通项公式；an2bncn =, n n*,c + c +l+ c 2n, n n*.（2） 记证明： 12n【答案】（1） an = 2 (n -1)， bn = n (n +1)；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1) 首先求得数列an 的首项和公差确定数列an 的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列bn 的通项公式；cn (2) 结合(1)的结果对数列的通项公式进行放缩，然后

25、利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式.a + 2d = 41a = 0a + 3d = 3a + 3 2 d 1【详解】(1)由题意可得： 112，解得： d = 2 ，则数列an 的通项公式为.ns = (0 + 2n - 2) n = n (n -1)其前 n 项和2.则 n (n -1)+ bn , n (n +1)+ bn , (n +1)(n + 2)+ bn 成等比数列，即：n (n +1)+ b 2 = n (n -1)+ b (n +1)(n + 2)+ b n n n ， 据此有：n2 (n +1)2 + 2n (n +1)b + b2 = n (n -1)(n +1)(n + 2)+ (n +1)(n + 2)b + n (n -1)b + b2nnnnn ，b =n2 (n +1)2 - n(n -1)(n +1)(n + 2)= n n +1n()故(n +1)(n + 2)+ n (n -1)- 2n (n +1). (2)结合(1)中的通项公式可得：an2bnn -1n(n +1)1nnnnn -