椭圆大题练习解析

1、1、已知椭圆E：1(ab0)过点P，且左焦点为F1(1,0)(1)求椭圆E的方程；(2)若PA，PB，PC为椭圆E的三条弦，PA，PB所在的直线分别与x轴交于点M，N，且|PM|PN|，PCAB，求直线PC的方程解(1)依题意，得又ab0，a2，b，椭圆E的方程为1.(2)由题意知直线PA的斜率存在，设PA：yk(x1)，A(xA，yA)，B(xB，yB)由得(34k2)x24k(2k3)x4k212k30，当0时，xPxA1xA，xA，yAk(xA1)，又|PM|PN|，直线PB的斜率为k.用k代替k，得xB，yB，kAB.又PCAB，直线PC的方程为y(x1)，即x2y20.2、已知椭圆C

2、：1的左焦点为F，已知M(4,0)，过M作斜率不为0的直线l，与椭圆C交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为B.(1)求证：直线AB恒过定点F(椭圆的左焦点)；(2)MAB的面积记为S，求S的取值范围(1)证明设直线l的方程为xmy4，代入1中，得(3m24)y224my360，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则B(x2，y2)，则144m25760，即|m|2，且y1y2，y1y2.直线AB：yy1(xx1)令y0，得x2m42m41，直线AB过定点F(1,0)(2)解S|MF|y1y2|，其中|m|2.令f(t)3t，t2，则f(t)30(t2)，f(t)在(2，)上单调递增，f(t

3、)(8，)，S.3、已知椭圆1(ab0)的离心率为，以椭圆的2 个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为2.(1)求椭圆的方程；(2)如图，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交于A，B两点，以线段AB为直径的圆截直线x1所得的弦的长度为，求直线l的方程解(1)由椭圆1(ab0)的离心率为，得ca，ba，由S2cba22，得a，b，所以椭圆的方程为1.(2)由(1)知，焦点F坐标为(2,0)，设直线lAB：yk(x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)联立方程得(13k2)x212k2x12k260，x1x2，x1x2，所以x0，|AB|x1x2|.点M到直

4、线x1的距离为d|x01|.由以线段AB为直径的圆截直线x1所得的弦的长度为得，2d22，所以222，解得k1，所以直线l的方程为yx2或yx2.4、如图，已知椭圆1(a0，b0)的长轴长为4，焦距为2，以A为圆心的圆(x2)2y2r2(r0)与椭圆相交于B，C两点(1)求椭圆的标准方程；(2)求的取值范围；(3)设P是椭圆C上异于B，C的任一点，直线PB，PC与x轴分别交于点M，N，求SPOMSPON的最大值解(1)由题意知a2，c，所以b2a2c21，所以椭圆的标准方程为y21.(2)设B(x0，y0)，则C(x0，y0)，且y1，又A(2,0)，所以(x02)2y(x02)2x4x032，因为2x01)，过直线l：x2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当点P在x轴上时，切线PA的斜率为.(1)求椭圆的方程；(2)设O为坐标原点，求POA面积的最小值解(1)当点P在x轴上时，P(2,0)，直线PA的方程为y(x2)联立消去y，得x22x10，由0，得a22，所以椭圆的方程为y21.(2)由题意知，切线斜率必存在，设切线为ykxm，P(2，y0)，A(x1，y1)，则由得(12k2)x24kmx2m220，由0，得m22k21，且x1，y1，y02km，则|PO|，直线PO的方程为yx，所以点A到直线PO距离d，则SPOA|PO|d|y0x12y1|km|