必修二立体几何复习+经典例题

1、实用标准文案、判定两线平行的方法1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个 平面平行3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面5、平面外的一条直线和两个平行

2、平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行3 垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂

3、直于该平面4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法1、定义：成90角2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法1、定义：两面成直二面角，则两面垂直2、一个平面经过

4、另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质1、二面角的平面角为902、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九、各种角的范围1、异面直线所成的角的取值范围是：0900 ,902、直线与平面所成的角的取值范围是:0900 ,903、斜线与平面所成的角的取值范围是:0900 ,904、一面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是:01800 ,180十、三角形的心1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点3、重心：中线的交点4、垂心：高的交点【例题分析】M , N分别是AB, PC

5、的例2 在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是平行四边形,【分析】要证明“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造（添加）中位线辅助证明.证明：方法一，取 PD中点E,连接 AE, NE.底面ABCD是平行四边形， M , N分别是AB, PC的中点,1MA /CD, MA CD.2E是PD的中点，1NE /CD, NE CD.2MA /NE,且 MA = NE ,AENM是平行四边形，MN /AE.又AE 平面PAD, MN 平面PAD,MN /平面 PAD .方法二取CD中点F,连接MF, NF .MF /AD , NF /PD ,平面M

6、NF /平面PAD,MN / 平面 PAD .【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线平行：ac, b /c,a / a, a 卩a / 3a丄a, b丄aa n 3= bn a= a,n 3=ba /ba II ba II ba II b(2)证明线面平行:a A a=a II ba / 3ba, aaa 卩a /aa / aa / a(3)证明面面平行:aCl 0=a / 3, b / 3a丄a, a丄3a /,3 /a, ba, a Ab = Aa/ 3a/ 3a / 3a / 3例3 在直三棱柱 ABC AiBiCi中，AAi = AC, AB丄AC,求证：Ai

7、C丄BCi.【分析】要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明AiC垂直于经过BCi的平面即可.证明：连接ACi.ABC AiBiCi是直三棱柱，AAi丄平面ABC,AB 丄 AAi.又AB丄AC,AB 丄平面 AiACCi,AC丄AB .又 AAi = AC,侧面AiACCi是正方形，AC丄 ACi.由，得 AiC丄平面ABCi,AC丄 BCi.【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以线面垂直”为核心展开的.如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“AB丄AC ”都要将其向“线面垂直”进行转化.例4 在三棱锥 P ABC中，平面 PAB丄平面 ABC, AB丄BC, AP

8、I PB，求证：平面PAC丄平面PBC.【分析】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又 可 以通过“线线垂直”进行转化.证明：平面PAB丄平面 ABC，平面PABA平面ABC = AB，且AB丄BC,BC丄平面PAB,AP 丄 BC.又AP丄PB,AP丄平面PBC,又AP 平面PAC,平面PAC丄平面PBC.【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法:(1)证明面面垂直:ABC A1B1C1中，侧面AiABBi是菱形,且垂直于底面ABC,(1)证明线线垂直:a丄 c, b c.a丄abaa丄ba丄b(1)证明线面垂直:a丄m, a丄na b , b 丄 aa /

9、 3, a丄卩a丄3, a n 3= 1m , n a, m Qn = Aa3, a 丄 1a丄aa丄aa丄aa丄a文档ZA1AB = 60 ,E, F 分别是 AB1, BC 的中点.(I )求证：直线EF/平面A1ACC1 ；(H )在线段AB上确定一点 G,使平面EFG丄平面ABC，并给出证明.证明：(I )连接A1C, A1E.侧面AiABBi是菱形，E是ABi的中点，E也是AiB的中点，又F是BC的中点， EF/AiC.Ai C 平面 Ai ACCi, EF 平面 Ai ACCi,直线EF/平面AiACCi.BG i解：当时，平面 EFG丄平面ABC，证明如下：GA 3连接EG, F

10、G.侧面AiABBi是菱形，且/ AiAB = 60 ,.AiAB是等边三角形.BG iE是AiB的中点，.EG丄AB.GA 3平面AiABBi丄平面 ABC，且平面 AiABBi门平面ABC= AB,EG丄平面ABC.又EG 平面EFG,.平面EFG丄平面 ABC.例6 如图，正三棱柱 ABC Ai BiCi中，E是AC的中点.(I )求证：平面 BECi丄平面 ACCiAi; ( n )求证：ABi /平面BECi.【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考.证明：(I ) /ABC AiBiCi

11、是正三棱柱， AAi丄平面 ABC,BE 丄 AAi.4ABC是正三角形，E是AC的中点， BE丄AC,.BE丄平面 ACCiAi,又BE 平面BECi,平面BECi丄平面ACCiAi.(H )证明：连接 BiC,设 BCi nBiC= D .BCCiBi 是矩形，D 是 BiC 的中点，.-.DE /ABi.又DE 平面BECi, ABi 平面BECi,ABi /平面 BECi.例7 在四棱锥 P ABCD中，平面 PAD丄平面 ABCD , AB /DC ,APAD是等边三角形，已知 BD = 2AD = 8 , AB 2DC 4.5 .(I )设M是PC上的一点，证明：平面MBD丄平面P

12、AD ；M是PC上(H )求四棱锥P ABCD的体积.【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从 的动点分析知，MB , MD随点M的变动而运动，因此可考虑平面 MBD内“不动”的直线BD是否垂直平面PAD .证明：(I )在ZSABD中，由于 AD = 4 , BD = 8, AB 4、5 ,所以 AD2+ BD2 = AB2.故AD丄BD.实用标准文案又平面PAD丄平面 ABCD，平面 PAD门平面ABCD = AD , BD 平面ABCD ,所以BD丄平面PAD,又BD 平面MBD，故平面 MBD丄平面PAD.(H )解：过P作PO丄AD交AD于O,由于平面PAD丄

13、平面 ABCD，所以PO丄平面ABCD .因此PO为四棱锥P-ABCD的高，又APAD是边长为4的等边三角形因此 P0 乎42 3在底面四边形 ABCD中，AB /DC, AB = 2DC ,4 8 8f5所以四边形 ABCD是梯形，在 Rt AADB中，斜边AB边上的高为，即为4/55梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为S 2 5 4 5 攀 24.故 25VP abcd 1 24 2 3 16.3.9.如图4,在边长为1的等边三角形 ABC中，D, E分别是AB, AC边上的点，AD AE ,F是BC的中点，AF与DE交于点G ,将 ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥BCF，

14、其中 BC 二22文档(1)证明：DE /平面BCF ;证明:CF 平面ABF ;当AD时,求三棱锥F3DEG的体积VF deg .C图4实用标准文案9.【答案】在等边三角形ABC中,AD AEAD AEDB EC，在折叠后的三棱锥A BCF中也成立,DE/BC ,Q DE平面BCF ,BC 平面BCFDE / / 平面 BCF .文档1BF CF - 在等边三角形ABC中,F是BC的中点，所以AF BC，2.2BC 222Q在三棱锥A BCF中，2 , BC BF CF CF BFQ BF CF F CF 平面 ABF .由可知GE/CF ,结合可得GE平面DFG .VF DEGVE DFG

15、1 - DG FG GF3 21-1 - J3 1. 33 2 3323324F分别为PC和BD的中点.4.如图，四棱锥 P ABCD中，ABCD为矩形， PAD为等腰直角三角形，/ APD=90面 PAD 丄面 ABCD，且 AB=1 , AD=2 , E、(1) 证明：EF/ 面 PAD ;(2) 证明：面PDC丄面PAD ;(3 )求四棱锥 P ABCD的体积.4.如图，连接AC,ABCD为矩形且F是BD的中点，AC必经过F1分又E是PC的中点，所以，EF/AP2分EF在面PAD夕卜，PA在面内， EF/面PAD(2)面 PAD 丄面 ABCD , CD 丄 AD，面 PAD I 面 A

16、BCD=AD ,.CD 丄面 PAD , 又 AP 面 PAD ,.AP 丄 CD又TAP丄PD, PD和CD是相交直线， AP丄面PCD又AD 面PAD，所以，面 PDC丄面PAD(3 )取AD中点为0,连接PO ,因为面PAD丄面ABCD及APAD为等腰直角三角形，所以 P0丄面ABCD , 即P0为四棱锥P ABCD的高12AD=2 ,.P0=1，所以四棱锥 P ABCD 的体积 V - PO AB AD -3311.如图，三棱柱 ABC AiBiCi中，侧棱垂直底面，/ ACB=90 ,AC=BC= ；AA 1, D是棱 AAi的中点(I )证明：平面 BDC1丄平面BDC(n)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比B1ADA1.【解析】(I )由题设知BC丄C