椭圆专题复习讲义全

1、1.短轴长为 5，离心率eA.3B.6椭圆专题复习知识梳理1. 椭圆定义：(1 )第一定义：平面内与两个定点FF2的距离之和为常数 2a(2a | F2F21)的动点P的轨迹叫椭圆，其中两个定点F、F2叫椭圆的焦点(2 )椭圆的第二定义：平面内到定点 匸与定直线1(定点匸不在定直线I上)的距离之比是常数 e_(0 e 1)的点的 轨迹为椭圆(利用第二定义，可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化)2. 椭圆的方程与几何性质：标准方程2 2xyp -r 1(a b 0) ab2 2yx孑孑 1(a b 0)性质参数关系a2b2 c2隹占八、八、(c,0), ( c,0)(0,c

2、),(0, c)焦距2c范围|x| a,| y | b|y| a,|x| b顶点(a,0),(a,0),(0, b),(0,b)(0, a),(0,a),( b,0),(b,0)对称性关于x轴、y轴抽和原点对称离心率ce (0,1)a准线2 a xc2 a y 一 c考点1椭圆定义及标准方程题型1：椭圆定义的运用例1 (湖北部分重点中学 2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射 后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为 2a，焦距为2c,静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反

3、弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是A. 4a B. 2(a c) C. 2(a+c) D.以上答案均有可能解析按小球的运行路径分三种情况：(1) A CA,此时小球经过的路程为2(a c);ABDBA,此时小球经过的路程为 2(a+c);(3) APBQA此时小球经过的路程为4a,故选D【名师指引】考虑小球的运行路径要全面2的椭圆两焦点为 R, F2，过F1作直线交椭圆于 A B两点，则 ABF的周长为(32 22.已知P为椭圆x L25 161上的一点，M ,N分别为圆(x 3)2 2 2y 1 和圆(x 3) y4上的点，则C.12D.24PM PN的最小值为（）A. 5B. 7 C

4、. 13 D .153 .设k 1,则关于x, y的方程（1 - k） x2+y2=k2- 1所表示的曲线是（）A.长轴在x轴上的椭圆 B. 实轴在y轴上的双曲线C.实轴在x轴上的双曲线D.长轴在y轴上的椭圆4. 椭圆9x2 y29的长轴长为（）A. 2B.3C.6 D. 9x2 y25. 已知椭圆2 1 （ a b 0）的两个焦点为FF2,以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的a b另外两条边，且 F1F24，则a等于.题型2求椭圆的标准方程例2设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的 端点距离为2 4,求此椭圆方程.【解题思

5、路】将题中所给条件用关于参数a,b,c的式子“描述”出来2解析设椭圆的方程为笃a2 y2 a1(a b 0),b c4( 21),.22b c解之得：a4 . 2 , b=c= 4.则所求的椭圆的方程为2y_1621或16【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数2x32a, b, c的数量关系.2I 1.32警示易漏焦点在 y轴上的情况.1.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数 k的取值范围是 2.已知F11,0 , F2 1,0是椭圆的两个焦点，过 F1的直线I交椭圆于M ,N两点，若 MF2N的周长为8，则椭圆方程为（）2A.x_2y 12 2B.yX1C.2 2yX

6、12fxD.2y11615161543433.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为1，它的长轴长等于圆2 2x y2x150的半径，则椭圆的标准方程是2()2222 222A.xy_.x21B .y1C . 01D .xy116124164434.已知方程x2cosy2s in1,(0,）,讨论方程表示的曲线的形状5.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是.3 ,求这个椭圆方程.考点2椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）例3 在厶ABC中， A 30,|AB| 2,Sabc 、3 若以A, B为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心率

7、e 【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率1 _解析S abc I AB | | AC |si nA ,3 ,2I AC | 2、3 , |BC| . | AB I2| AC |22| AB| AC | cosA 2e | AB|23 1e |AC| |BC| 23 22【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定（2）只要列出a、b、c的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）（3） “焦点三角形”应给予足够关注【新题导练】,那么这个椭圆的离心率为C 二21.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍b 0）相交于A, B,离心

8、率为（）A. B若M是线段AB的中点，则椭圆C的8 椭圆C的两个焦点分别是Fi, F2 ，若C上的点P满足| PFi |FiF2 I，则椭圆C的离心率e的取值范围是A. e2x9 椭圆+a2y_b21（ab0）的两顶点为A(a,O)，B（0，b），且左焦点为 F， FAB是以角B为直角的直角三角形,则椭圆的离心率e为（）1 34题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例4 已知实数x, y满足21,求 x22x的最大值与最小值【解题思路】 把x2y2x看作x的函数解析2.x由42 1x2,2x21 时，x2y2扣1）223x取得最小值一，当x23,x22,22时，x2y2 x取得最大

9、值【新题导练】1.已知点代B是椭圆2x2mn2n 0）上两点，且AO BO,则22.如图，把椭圆y 125 16R, l2 ,P4, Rj, P6, p 七个点，则RF的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于F是椭圆的一个焦点P2F2xF3FP4FP5F RF PF2L 1上存在两点 A、B关于直线y 4x m对称，求m的取值范围.33 .已知椭圆一4考点3椭圆的最值问题16X2例5椭圆一161上的点到直线l: x y 90的距离的最小值为【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数解析在椭圆上任取一点P,设P(4cos ,3sin ).那么点P到直线I的距离为:L

10、4cxrs2 运【名师指引】也可以直接设点P(x,y)，用x表示y后，把动点到直线的距离表示为x的函数，关键是要具有“函数思想”【新题导练】2 21.椭圆 壬 1的内接矩形的面积的最大值为1692 2x y2. P是椭圆2 1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，求IPF1IIPF2I的最大值与最小值a b23.已知点P是椭圆 y2 1上的在第一象限内的点，又A(2,0)、B(0,1)，4O是原点，则四边形 OAPB的面积的最大值是 .2y的最大值为24.已知P(x, y)是曲线C: 421上的动点，贝y z x3A. 4B.C.D.35.点P(x, y)是椭圆222x 3y12上的一个动点，则

11、 x2y的最大值为().11226 .若点O和点2F分别为椭圆1的中心和右焦点,占八、P为椭圆上的任意一点,uur uuuOP FP的最小值为A . 2,2.2 ,27.动点P(x,y)在椭圆25uuuuuuiu uuuu1上,若A点坐标为(3,0) , | AM | 1,且PM AM 0,则| PM |的最小值是()uuuuB.C.D.28在椭圆丄361上有两个动点P,Q ,uuuE 3,0为定点，EP EQ，则EPuuuQP的最小值为(A.6B.,.3C.9 D.12 639 . 2014 福建调研若点x2O和点F分别为椭圆42=1的中心和左焦点,3占八、P为椭圆上的任意一点，则uuu O

12、Puuu-FP的最大值为A.2B.3C.6D.8中点弦问题1.已知1椭圆xy_1，则以点M( 1,1)为中点的弦所在直线方程为 ()43A.3x4y70B. 3x 4y 10C.4x3y70D. 4x 3y 102.已知i椭圆2x2y_1，则以点M( 1,2)为中点的弦所在直线方程为()1216A.3x8y190B. 3x 8y 13 0C.2x3y80D. 2x 3y 4 03. 7椭圆x22 y1的一条弦被 A(4, 2)平分,那么这条弦所在的直线方程是369A.x2y0B . 2x y 10 0C. 2x y 2 0 D . x222y焦点弦问题1.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一

13、个端点，线段 BF的延长线交uuu uuuC于点D,且BF = 2 FD，则C的离心率为2 . (2011?浙江)=5;则点A的坐标是2设F1, F2分别为椭圆+y =1的焦点，点A, B在椭圆上，若考点4椭圆的综合应用 题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题例6 已知椭圆c的中心为坐标原点 O, 个长轴端点为 0,1 ,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y轴交于点P (0, m ,与椭圆C交于相异两点 A B,且AP 3PB .(1)求椭圆方程；(2)求m的取值范围.【解题思路】通过 AP 3PB，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等解析(1)

14、由题意可知椭圆 C为焦点在y轴上的椭圆，可设2C：y2x1 (a b 0) b2由条件知a又有a2b22c，解得a 1 , b故椭圆C的离心率为e，其标准方程为:a 22X12(2)设I与椭圆C交点为A(xi, yi)，B(X2,肿y = kx + m2x2 + y2= 1得(k2+ 2) x2+ 2kmx+(卅1)2 =( 2 km 42 2 2 2(k+ 2) ( m 1)= 4 (k 2m+ 2)0(*)2kmX1 + X2 =齐，2m 1X1X2=2k2+ 2X1 + X2= 2x2AP = 3 PB . X1 = 3x22X1X2= 3x2消去 X2,得 3 (X1+ X2) 2+

15、4x1X2= 0,2 km 2 3 (齐)+ 42 m 12 = 0k + 2整理得 4k2m + 2mi k2 2= 0m=4时，1上式不成立；4时，k22 - 2m4 mi 1，22 2 2m1 亠 1kM 0k =20,. 1IK 或 一IT2ni 2成立，所以(* )成立即所求m的取值范围为(一1, 1)【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能【新题导练】1.设过点P x,y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点,点Q与点P关于y轴对称，0为坐标原点，若BPA. 3X222PA，且 OQ AB1，则C. 3x23y21x 0,y0B.

16、P点的轨迹方程是3 2x23y21 x 0, y1 x 0,y0D.3x21 x 0, y33解析AB ( 2 x,3y),OQ ( x, y) |x2 3y2 1，选 A.J22.如图，在Rt ABC中, / CAB=90 , AB=2, AC。 一曲线E过点C动点P在曲线E上运动，且保持| PA+| PB 2的值不变，直线l经过A与曲线E交于M N两点。(1) 建立适当的坐标系，求曲线 E的方程；(2) 设直线l的斜率为k,若/ MBF为钝角，求k的取值范围。解：(1 )以AB所在直线为x轴，AB的中点0为原点建立直角坐标系， 由题设可得2匚V2 2423匹 厂|PA| |PB| |CA|

17、 |CB| - 22(2)22.22 2动点P的轨迹方程为 笃爲 1(a b 0),a b则 a 、2,c 1.b a2 c212曲线E方程为-y21(2)直线MN的方程为y2k(x 1),设M (为，yj,设M(X1, y“ )，N(X2, y2)1) 0由 y2 k(X2 1)得(1 2k2)x2 4k2x 2(k2 x2 2y22028k 80方程有两个不等的实数根x1x24k2k2 必 x22(k21)1 2k2BM (捲 1, yJ,BN (x?1)BMBN (x11)(X21)yy化 1)(X2 1)k2(x, 1)(人 1)(1k2) x1 x2(k21)(X1X2)1 k22,

18、2、2(k21)24k2、27k21(1k )-2(k1)(2)1 k21 2k12k1 2k/ MBN是钝角BM BN 07k211 2k2解得:又MB N三点不共线综上所述，k的取值范围是(兰7 0) (0 )77基础巩固训练如图所示，椭圆中心在原点,F是左焦点，直线AB1与BF交于D,且 BDB1 90 ,则椭圆的离心率为()21.3 1号 C -.521 D2x 22.A、设F1、F2为椭圆+y =1的两焦点，P在椭圆上，当 F1PF2面积为1时，PF1 PF2的值为4D、334.心ABC中，A 90。, tanB 4 .若以A B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e .5.已知F

19、F2为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点，若 PF1F2： PF2F1： F1PF2 1:2:3,贝吐匕椭圆的离心率 为.6.在平面直角坐标系中，椭圆2 x2a2 27 1( a b 0)的焦距为2,以O为圆心，a为半径的圆，过点,0作圆bc的两切线互相垂直,则离心率综合提高训练21、已知椭圆二a21 (ab 0)与过点A2 , 0),B(0 , 1)的直线I有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e 4 .求椭圆方程2、已知A、B分别是椭圆2x2a2与 1的左右两个焦点, b一 b 0)和直线| : y = bx + 2，椭圆的离心率 e =，坐标原点到直线l的距离为,2 3(1 )求椭圆的方程；(

20、2)已知定点 E (- 1,CD为直径的圆过定点 E?0),若直线y = kx + 2 (20)与椭圆相交于 C, D两点，试判断是否存在实数k，使得以若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.2已知椭圆C的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率等于 1，它的一个顶点恰好是抛物线 x2 &3y的焦点2(I)求椭圆C的方程；(n)点P(2，3)，Q (2，-3 )在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线 PQ两恻的动点，1 若直线AB的斜率为一，求四边形APBQ面积的最大值；2 当A B运动时，满足于/ APQ=Z BPQ试问直线 AB的斜率是否为定值，请说明理由 0的离心率为2，且过点2(2)四边形ABC

21、D勺顶点在椭圆上，且对角线AC, BD过原点 0,若 kAC kBD2 23 已知椭圆X2 y1, a ba b(1)求椭圆的标准方程:uuv uuv(i)求0A OB的最值:(ii)求证：四边形 ABCD勺面积为定值2 24 已知椭圆E：笃与 1 aa b0,b0的离心率e，并且经过定点2吨)(1)求椭圆E的方程;(2)问是否存在直线y=-x+m,使直线与椭圆交于 A, B两点，满足OA 0B ,若存在求m值，若不存在说明理由.2x5 已知椭圆G的方程为y2 1，双曲线C2的左、右焦点分别是 G的左、右顶点，而 C2的4左、右顶点分别是 G的左、右焦点.(1 )求双曲线C2的方程;uir ur(2)若直线I: y kx 、2与双曲线C2恒有两个不同的交点 A和B,且OA 0B 2 (其中0为原点)，求实数k的 范围.X226设Fi, F2分别是椭圆y2 1的左，右焦点45，求P点坐标;4umr UULU(1 )若P是椭圆在第一象限上一点，且 PF1 PF2(2)设过定点(0,2)的直线I与椭圆交于不同两点 A, B，且 AOB为锐角(其中O为原点)，求直线I的斜率k的取值范围7 .已知椭圆2x21(a b 0)的离心率