导数与定积分知识汇总

1、高考数学-导数、定积分知识清单、导数的概念(一)导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在Xo处有增量厶x,那么函数y相应地有增量 y y=f( Xo+Ax)- f (X0),比值 &x叫做函数y=f (X)在Xo到xo+A x之间的平均变化率，即刍f(皿tx- f(。如果当0时，吕三有极限，我们就说函数y=f(x)在点xo处可导,并把这个极限叫做f ( X)在点Xo处的导数，记作f ( Xo )或yx = xolim丄lim便即 f (xo) = x o x = x ox) f(Xo)X说明:(1)函数f (x)在点xo处可导，是指 Xyy0时，x有极限。如果 X不存在极限，就说函数在点x

2、o处不可导，或说无导数。(例如：函数y = |x|在x = o处得左极限与右极限不相等，所以函 数y = |x|在x = o处不存在极限，所以在x = o处不可导)(2) X是自变量x在xo处的改变量， X 时，而 y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f (x)在点x o处的导数的步骤:yf (XoX) f(Xo)求平均变化率X =X；limy取极限，得导数f(X)= x oX。求函数的增量y=f (xo+ x )- f (xo )；(二)导数的几何意义函数y=f (x)在点xo处的导数的几何意义是曲线y=f (x)在点p (xo, f (xo)处的切线的斜率k切f(xo

3、)lim fXo勺一。也就是说，曲线y=f (x)在点p (xo, f (xo)x ox处的切线的斜率是 f (Xo)。相应地，切线方程为 y yo =f (xo) (x xo)。13 / 81 3例题：1、已知曲线y x3 m的一条切线方程是 y 4x 4，贝U m的值为 ()3A 428小 4 十282十 13A. B. C. 一 或 D. - 或-3333332 、若曲线1，_ h的一条切线:与直线 一； 垂直，则！的方程为()A 4卞一尹一2=0 b忙+4一:5 = 0 c4 兀一尹+3 = 0 + 4p+3 = 0(三)几种常见函数的导数 C ；(xn)nxn 1 (sinx)COS

4、X .(cosx) sinx./ XXXX(e ) e ;(a ) a In a(In x)(loga X)1In a(四)两个函数的和、差、积、商的求导法则1. 函数和(或差)的求导法则f (x) g (x).设 f(x)、g(x)是可导的，则f(x)g(x)即两个函数的和(或差)的导数等于这两个函数的导数的和(或差) 到任意有限个函数，即(f1(X)f2(X)f3(X)2.函数积的求导法则fn(x)f/(x)f2(X)，该法则也可以推广fn(X):即两个函数的积的导设 f(x)、g x 是可导的，则f (x)g(x) f (x) g(x) f(x)g(x),数等于第一个函数的导数乘第二个函

5、数加上第一个函数乘第二个函数的导数C f (x).特例：若 C 为常数，则(C f(x) C f(x) C f (x)0 C f (x)即常数与函数的积的导数等于常数乘以这个函数的导数：(C f (x) C f (x)3.函数商的求导法则设 f(x)、g(x)是可导的，且 g(x) 0，则他f(x)g(x) f2(x)g(x) g(x)g(x)u u v v u(简记为2( v 0)vv即两个函数的商的导数等于等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方、导数的应用(一)确定函数的单调性(求单调区间)1.在某个区间(a,b)内，如果f(x) 0，那么函数y f(x)在这

6、个区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数y f (x)在这个区间内单调递减。I2.如果在某区间内恒有f(X)0，则f(x)为常数；注：f (x)0是f (x)递增的充分条件，但不是必要条件，如y 2x3在(，) 上并不是都有f (x) 0,有一个点例外即x=0时f (x) =0,同样f (x)v0是f (x) 递减的充分非必要条件一般地，如果f (x)在某区间内有限个点处导数为零，在其余各点导数值均为正 (或负)，那么f (x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的 .例题：求f(x) 3x3 4x24的单调区间(二)极点与极值：1.曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为 0;曲线

7、在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；2.极值的判别方法：(极值是在X0附近所有的点，都有f(x) v f(Xo)，则f(Xo)是函数f(x) 的极大值，极小值同理)求函数f (x)极值的步骤：求导数f (x)求方程f/(x)0的根 列表 下结论。3.当函数f(x)在点X。处连续时，II 如果在X0附近的左侧f(X)0，右侧f (x) v 0，那么f(Xo)是极大值；II 如果在X0附近的左侧f (x)v 0，右侧f (x) 0，那么f(xo)是极小值I也就是说X0是极值点的充分条件是 X0点两侧的导数异号，而不是 f (x)=0 (1)亦即X。是

8、极值点f(X。) 0 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点 (2)当然，极值是一个局部概念， 极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同).注(1)若点x0是可导函数f(x)的极值点，贝U f (Xo) 0，但反过来不一定成立。 例如：函数y = x3在x =0处的导数为0，但是函数在R上单调递增，则x =0 不是函数的极值点(2) 例如：y f( |x|，在点x=0处不可导，但点x=0是函数的极小值点例题：1、函数 f(x) ax3(2a 1)x22，若 x1是y f (x)的一个极值点，则a值为A. 2B.-2C.27D.423、设函数f(x)=2x

9、3(a 1)x2 1,其中 a1.(I)求f(x)的单调区间；(n)讨论f(x)的极值。解:由已知得f(x) 6xx (a 1)，令 f (x)0，解得禺0, X2a 1。 2(I)当a 1时，f (x) 6x，f(x)在(，)上单调递增；当a 1时，f(x) 6x x a 1， f (x), f (x)随x的变化情况如下表:x(,0)0(0,a 1)a 1(a 1,)f(x)+00f(x)Z极大值极小值Z从上表可知，函数f (x)在(，0)上单调递增；在(0, a 1)上单调递减；在(a 1,)上 单调递增。()由(I)知，当 a 1时，函数f (x)没有极值；当a 1时，函数f (x)在x

10、 0处取得极大值，在 x a 1处取得极小值1 (a 1)3。 (三)最值：最值定理：一般地，在区间a，b上连续的函数f (x)在a，b上必有最大值与最小值。 求函数f (x)在闭区间a，b上的最值的步骤： 求函数f (x)在(a，b)内的极值； 求函数f (x)在区间端点的值？ (a)、？(b); 将函数f (x)的各极值与？(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。三、定积分的知识梳理 (一)定积分1. 概念：设函数f(x)在区间a, b上连续，用分点 a= xOx1xi 1xixn = b把区间b-aa, b等分成n个小区间，在每个小区间xi 1,刈上取任一点E i

11、(i = 1, 2,n)作和式：f ( E i) x (其中 x为小区间长度。在等分情况下，i 1和式的极限叫做函数f(x)在区间a, b上的定积分，记作:bf (x)dxa，即f ( Ex。f (x)dx_=limn这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a, b叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。2. 基本的定积分公式:b nI n 1 b(1 ) ax dxx |a (n 1)n 1(3) : si nxdxcosxl：(2): cdx ex I： (C 为常数)(4) : cosxdx si nx|：(5)a1 dx Inxx I(6)

12、b x iae dx练习(1)1x2dx(2)1 dx(3)02V3 1“3八3-解:(1)1x2dxx10 10亍0333e弋(7)42xdxxaaxdx ia (a0且a 1)In a11 1(2) -dx Inx 2 In1 In 22 x404(3) 2 xdx 2( x)dx o xdx3. 定积分的性质(1)b kf (x)dx k f (x)dx ;(2)In 21 2-x0 W42 8 102220:g)f2(x)dx:(x)dx；f2(x)dx(3)a f (x)dx b f (x)dxb f (x)dx(a c b)。(二)定积分的应用要点一：求平面图形的面积1.由直线x

13、a,x b(a b) , x轴及曲线y f (x)所围成的曲边梯形的面积 s :f(x)dx.b若在a,b上，f(x) 0,如下左图，则S f (x)dx ；a此时，定积分的几何意义：直线x a,x b(ab)， x轴及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积。(如下左图)上, f (x)0,如上中间图，贝V S f (x)dx;ax a, x b(a b), x轴及曲线yf (x)所围成的曲边梯形的面积的相反数。(如上中间图)如上右图，由曲线 yfi (x), yf2(x), fi(x)f2(x)，及直线 x=a, x=b (av b),围成图形的面积公式为：$二3心磁-Z (工妙-f h (协

14、此时，定积分的几何意义：直线2. 由直线x a,x b(a b)及曲线y f (x), y g(x)( f (x)g(x)围成的平面图形的面积:bbS f (x)dx g(x)dx (同 1 条中的)aa3. 任意平面图形的面积由任意曲线围成的平面图形总可以分割成若干个曲边梯形，应用定积分解决了求曲边梯形的面积问题，在理论上就解决了求任意平面图形的面积问题 4.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤(1 )画出图形(2) 确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限(3) 确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置(积分变量为x)或左、右位置(积分变量为 y) (4)

15、写出平面图形面积的定积分表达式.(5) 运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积o例1:计算由曲线y22x和直线y x 4所围成的图形的面积.(I) 解法一解得交点坐标为(2, -2 ), ( 8,4 )画图如下左图,画图如上右图,4)dx1841(仙/_y+4 ;o(2,-2)S X解得交点坐标为(2, -2 ), ( 8,4 )(4 1 22(y 4 于丫 )dy18例2:计算由曲线2y x ,y解：画图，求得交点3 2,2x 3 x )dx3o例3.计算由曲线y 4(x(-1 , 1)32的面积.解法一 ：S2 2(o 4 2xdx解法2 1 220【2戸(1以y为积分变量)要点

16、二：定积分在物理中的应用1.物体做变速直线运动的位移：做变速直线运动的物体所经过的位移bv(t)(v(t)0)在时间区间a,b上的定积分，即s v(t)dt.a等于其速度2.变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从a移动到x b，可以得到变力 F(x)做的功WbF(x)dx.ao例4: 一辆汽车的速度-时间曲线如图所示,求汽车在这 1min内行驶的路程叩卜：和13t + 9Q1040解：s 3tdt 30tdt01060(1.5t90)dt1350(m)40O例5：如右图，阴影部分面积为(B )bcbA f (x) g(x)dx B.g(x) f(

17、x)dx f (x)ca)g(x)dxbg（x）f(x)dxD a【g（x）。例6:求函数f（a）0（6x2 4ax a2）dx的最小值f(x) dx解： 0(6x2 4ax a26xdX4ax(2x3dx 2ax22a2a；x)|0)2 2a a222f (a) a 2a 2 (a 1)1 当 a = -1 时 f 有最小值 1 练习题1.若点P是曲线y= x2 In x上任意一点，则点 P到直线y= x 2的最小距离为A 1 B. .2C. 2 D. 3解析：过点P作y= x 2的平行直线，且与曲线y= x2 ln x相切，设P（x, x2 ln x。），则,丄k=y|x= x0= 2x0 1 12x0眉1，x0= 1 或x0一 2(舍去)|1 1 2| P(1,1)， d=y1 + 12. 若曲线y= x4的一条切线I与直线x+ 4y 8 = 0垂直，则I的方程为（）A 4x y 3= 0 B x+ 4y 5 = 0C 4x y+ 3 = 0 D. x+ 4y+ 3 = 0解析：y = 4x3= 4,得x= 1,即切点为（1,1）