二阶线性递推数列的通项公式的求法(1)_第1页
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文档简介

1、二阶线性递推数列的通项公式的求法课程背景：二阶线性递推数列的通项公式的求法是高考中数列的一个高频考点，由于其递推数列的特殊性和复杂性，很多学生感到无从下手，是学生高考中较大的一个失分点，其实本题来源于课本习题，本课就这个问题以课本习题为载体来深入的探讨和研究一下二阶线性递推数列的通项公式的求法课程内容：真题再现：1.（2015广东文19）设数列的前项和为，已知，且当时，（1）求的值；（2）求证：为等比数列；（3）求数列的通项公式2.在数列中，（），求数列的通项公式问题呈现：第一题中的第三问是难点，当时，易得，即，实际上就是已知，求的通项公式。第2题更是典型的已知（），求数列的通项公式这两题的共

2、同特点是：已知数列求的通项公式，即二阶线性递推数列的通项公式的求法。这是学生的一个难点，同时也是高考重点考查的知识，很多学生感到很繁琐，无从下手。实质，此类题型来源于我们的课本习题课本例题呈现：例13 已知数列，（），求数列的通项公式。（人教版高中数学必修5第二章数列复习参考题B组第6题）解法1：（归纳猜想）由已知可得：猜想(用数学归纳法证明略)解法2：（构造法）将变形，若即或者3,则是一个等比数列,公比为2-.时，是一个首项为7,公比为3的数列, 时，是一个首项为-13,公比为的等比数列 由两式消去得：解法3：（待定系数转化法），设，其中是待定的常数，则。得，比较系数显然是方程的两根，即方程

3、的两根。，得： ，以下与解法2相同可得我们发现解法2与3本质相同，都是构造等比数列，再利用方程思想得到通项公式。这种解法可以推广到一般：揭示结论：设数列,() ，求设：是待定系数，整理得：比较系数得：，所以是方程的两根。I.当时，设其实根为，从而有或得或。所以，数列分别是和的等比数列故得：当时，由消去得令，则常数由确定当=时，由得，两边同除得。数列是公差为首项为的等差数列。得：得令，得，常数由共同决定。所以，遇到此类题求通项公式只需考查方程递推方程的特征方程，运用特征根方程特点解题，是非常简单的。结论运用对于文中所涉及的第一小题（2015广东文19）的第三小问我们便可以运用此法解答.题目中已经求出递推方程，所以其特征方程为，解得方程只有两个相等的实根即：，所以，可得： 第（2）小题的递推公式（），其特征方程为.解得,.可设.，可得：解得,代入可得由此可见遇到此类求通项公式的题,用特征根方程通过待定系数法解决此类问题是很简单的.回头梳理整个通项公式的探究过程,我最大的感触是不要轻易放过教材中的任何一道题目.教材是专家经验的积累、智慧的结晶，所以每道例题、习题都有其存在价值。教

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