空间向量在立体几何中的应用教学设计

1、空间向量在立体几何中的应用教学设计一. 教学目标（一）知识与技能1. 理解并会用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值；2. 理解并会用空间向量解决平行与垂直问题.（二）过程与方法1. 体验用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值的过程；2. 体验用空间向量解决平行与垂直问题的过程.（三）情感态度与价值观1. 通过理解并用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值，用空间向量 解决平行与垂直问题的过程，让学生体会几何问题代数化，领悟解析几何的思想;2. 培养学生向量的代数运算推理能力；3. 培养学生理解、运用知识的能力.二. 教学重、难点重点：用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值及解决

2、平行与垂直问 题.难点：用空间向量求二面角的余弦值.三. 教学方法：情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法.四. 教学用具：电脑、投影仪.五. 教学设计（一）新课导入1. 提问学生：（1）怎样找空间中线线角、线面角和二面角的平面角（2）能否用代数运算来解决平行与垂直问题（二）新课学习1. 用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值 .（1）设hh是两条异面直线，A,B是11上的任意两点，C,D是直线12上的任意两点，则11,12所成的角的余弦值为AB?CD|（2）设AB是平面 的斜线，且B ,BC是斜线AB在平面 内的射影，则AB?BC r斜线AB与平面 所成的角的余弦值为 一:r .设n是

3、平面 的法向量，ABAB ? BC是平面AB ?n 的一条斜线，则AB与平面 所成的角的余弦值为|.|ab| 期n1 ? n2n1?n2就是二面角的平面角或补角的余弦值.ir uu(3) 设n,n2是二面角丨 的面，的法向量，则2 ，2分析：启发学生找出三条两两垂直的直线AB,AD,AA，建立空间直角坐标系A-xyz，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算 就可以得到所求的结果.解：(1)如图建立坐标系，则 A(0,0,a),C(a,a,0), D(0,a,0), E(a,|,0).UUUa(a,a, a), DE (a, |,0).1515cosuur uult AC

4、?DEucuAC?LUir DEuuu UULT AC, DEuirAC15故AC与DE所成的角的余弦值为 15(2) Q ADE ADF ,所以AD在平面BEDF内的射影在 EDF的平分线上，又BEDF为菱形， DB为EDF的平分线，故直线AD与平面BEDF所成的角为 ADB ,建立如图所示坐标系，则A(0,0,0), B(a,0,a),D(0,a,0),UUUUULUuuu UULUDA (0, a,0), DB (a, a, a)， cos DA, DBuur uuii DA?DBuurDA?ULUU db故AD与平面BEDF所成角的余弦值为 .3(3)aA(0,0,0), A (0,0

5、, a), B (a,0, a), D(0,a,0), E(a,-,0),所以平面 ABCD 的法向量为irmuurAAuurED (uuir(0,0,a),下面求平面 BEDFr uur n?ED r uur n?EB的法向量,设 n (1,y, z)，由(0,詁n (1,2,1).irrcosn, mm ? n 64=P 6所以，平面BEDF与平面ABCD所成的角的余弦值为课堂练习:1.如图，PA 平面 ABC，AC BC,PA AC 1,BCA PB C的余弦值. 2，求二面角AP2AB2uuu1E分PB的比为丄，3E（汀 3）uur EA123(3, T,；urnr1、2 1DC（ ,

6、宁？），uui uur i EA?DC1 uuu-,EA参考答案:解：建立如图所示空间直角坐标系 C xyz，取PB的中点D，连DC,可证uur uuiDC PB，作AE PB于E，则向量DC与EA的夹角的大小为二面角 A PB C的大小。Q A(1,0,0), B(0.2,0), C(0,0,0), P(1,0,1)，D 为 PB的中点,12 1PE(?,)，在 RtVPAB 中, EEiurn uuri,cos EA, DC2三i23uuurDC二面角A PC C的余弦值为仝.3引导学生归纳：用空间向量求二面角的余弦值时，是将求二面角的余弦值问题转化为求两平 面的法向量的夹角的余弦值问题，

7、这里要明确：（1）当法向量懵与儘的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等ir in于法向量口与阳的夹角的大小；ur uu（2）当法向量山与rn，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小ur uu- r ui等于法向量厲与r2的夹角的补角ri,r2 .2. 利用向量向量解决平行与垂直问题例2:如图,在直三棱柱 ABC- ABiC中，AO3，BO4，AA= 4，AB 5,点D 是AB的中点，（I ）求证：AC丄BC;（II ）求证：AiC分析：启发学生找出三条两两垂直的直线CA,CB,CC,建立空间直角坐标系C-xyz，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就

8、 可以得到两条直线垂直或平行.解：直三棱柱 ABC-AiBiCi底面三边长 AO3，BO4, A吐5,二AC BC GC 两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA CB GC分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系，则 C （0,0，0），A（ 3,0，0），G （0,0，4），B （0,4，0），3Bi （0,4，4），D （ 3，2,0 ）2（1） v AC =（ 3,0，0），BCi =（ 0，-4,0 ），a AC ?而=0,二 ACLBC.（2）设 CB与 CB的交战为 E,则 E （0,2，2） . v DE =（ 3，0,2 ），ACi =2uuir i uuu（3,0 ,

9、4）, a DE 丄 AG , a DE/ AC. v DE 平面 CDB, AC 平面 CDB2a ACi引导学生归纳：（1）垂直问题转化为：判定空间向量的数量积是否为零；（2）平行问题转化为：面面平行线面平行线线平行.课堂练习:2.在直三棱柱 ABC ABQj 中，AC 3,BC 4, AB 5,AA 4,参考答案：解：直三棱柱 ABC A1B1C1 , AC 3, BC 4, AB 5,AC,BC,CC1 两两垂直，以 C为坐标原点，直线CA,CB,CCi分别为x轴y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则 C(0,0, 4), A(3,0,0), Ci(O,O, 4)，B(0,4,0), Bi

10、(0, 4,4).uurumr(1)Q AC ( 3,0,0), BG (0, 4,4)，uur uuuuAC ? BC10,uu uuurAC BC1AC BC.uuuuuu(2)假设在AB上存在点D，使得AC1CD，则ADAB ( 3 ,4 ,0)uuruuur其中01，则D(3 3 ,4 ,0)，于是CD(3 3 ,4,0)由于 AG ( 3,0,4)，且 AC1 CD .，且这时点D与uuuAB ( 3 ,4,0)所以9 9 0得1，所以在AB上存在点D使得ACi CD点B重合.一一uuur(3) 假设在AB上存在点D使得AC1/平面CDB1，则AD其中 01 则 D(3 3 ,4 ,0)，uuunmirB1D(3 3 ,44, 4)又 B1C(0, 4, 4).ujuu由于 AC1( 3,0,4)，ACi/平面CDBi ， 所以存在实uuuuujuuuurm, n,使 AC1 mB1D nBC 成立,m(3 3 )3,m(44) 4n0, 4m 4n4,1所以 ，所以在AB上存在点D使得AC1 /平面CDB1，且D使AB的中点.引导学生感悟:空间向量有一套良好的运算性质，它可以把几何图形的性质转化为向量运 算，实现了数与形的结合，在解决立体几何的夹角、平行与垂直等问题中体现出 巨大的优越性(二)课外作业1.如图,在直三棱柱ABC- A1B1C1中, 为侧