(完整)2016年高考北京卷理数试题(含答案),推荐文档

1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共 5 页，150 分考试时长 120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，则（1） 已知集合 a=| y o，则1 1 0（a）-（b）sin- sin 011( ) 0(6) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为1（a）61（b）31（c）2（d）1y = sin （2）34(7) 将函数图像上的点 p（，t ）向左平移 s（s0） 个单位

2、长度得到1点 p.若 p位于函数y = sin （2）的图3像上，则（a）t=21（c）t=2，s 的最小值为6，s 的最小值为3（b）t= 23（d）t= 2，s 的最小值为6，s 的最小值为3（8） 袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（a） 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（b） 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（c） 乙盒中红球不多于丙盒中红球（d） 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空

3、题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分（9） 设 a r，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=。(1 2)62.（用数字作答）（10） 在的展开式中， 的系数为（11） 在极坐标系中，直线cos 3sin 1 = 0与圆 = 2cos 交于 a，b 两点， 则 |=.（12） 已知为等差数列，为其前 n 项和，若1 = 66 =.，3 +5 = 0，则2 2（13） 双曲线2= 1 ( 0, 0)的渐近线为正方形 oabc 的边 oa，oc 所2在的直线，点 b 为该双曲线的焦点。若正方形 oabc 的边长为 2，则 a=.() = 3 3， ，（14） 设函数

4、 2， 。若 a=0，则 f(x)的最大值为；若 f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是。三、解答题（共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题 13 分）在d abc 中， a3 + c3 = b3 +2ac（i） 求b2（ii） 求的大小cos a + cos c 的最大值（16）（本小题 13 分）a、b、c 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；a 班66.577.58b 班6789101112c 班34.567.5910.51213.5（i） 试估计 c 班

5、的学生人数；（ii） 从 a 班和 c 班抽出的学生中，各随机选取一人，a 班选出的人记为甲，c 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（iii） 再从 a、b、c 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1 ，表格中数据的平均数记为，试判断和1的大小，（结论不要求证明）00（17）（本小题 14 分）如图，在四棱锥 p-abcd中，平面 pad 5,pa=pd,ab ad,ab=1,ad=2,ac=cd=,平面 abcd，pa pd（i） 求证

6、：pd 平面 pab;（ii） 求直线 pb 与平面 pcd 所成角的正弦值；am（ii i）在棱 pa 上是否存在点 m，使得 bmll 平面 pcd?若存在，求的值；若不存在，ap说明理由。（18）（本小题 13 分）设函数 f(x)=xe ea-x +bx，曲线 y=f(x)d hko (2,f(2)处的切线方程为 y=(e-1)x+4，（i）求 a,b 的值；(i i) 求 f(x)的单调区间。（19）（本小题 14 分）+x 2y2已知椭圆 c：a2b2oab 的面积为 1.= 1 （ab0）的离心率为 32，a（a,0）,b(0,b)，o（0，0），（i）求椭圆 c 的方程；(i

7、i)设 p 的椭圆 c 上一点，直线 pa 与 y 轴交于点 m，直线 pb 与 x 轴交于点 n。求证：lanl a lbml 为定值。（20）（本小题 13 分）设数列 a： a1 ， a2 , an (n2)。如果对小于 n(2nn)的每个正整数 k 都有 akan，则称 n 是数列 a 的一个“g 时刻”。记“g（a）是数列 a 的所有“g 时刻”组成的集合。（i）对数列 a：-2，2，-1，1，3，写出 g（a）的所有元素；(i i)证明：若数列 a 中存在 an 使得 an a1 ，则 g（a） ；(i i i）证明：若数列 a 满足 an - an-1 1（n=2,3, ,n）,

8、则 g（a）的元素个数不小于 an- a1 。2016 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）c（2）c（3）b（4）d（5）c（6）a（7）a（8）b二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9） -1（11) 2（13） 2（10） 60（12） 6（14） 2(-,-1)三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15）（共 13 分）解：（）由余弦定理及题设得cos b =la2 + c2 -b2 =2ac2ac =2 .2ac2又因为0 b l，所以b =.3l4（）由（）知a + c =

9、.2-42 cos a + cos c =cos a + cos(3l a)42=cos a- 2 cos a + 2 sin a = 2 cos a + 2 sin a = cos( a - l ) ,2222243ll因为0 a ，所以当a =时，44（16）（共 13 分）cos a + cos c 取得最大值1.解：（）由题意知，抽出的20 名学生中，来自c 班的学生有8 名.根据分层抽样方法，c 班的学生人数估计为100 820= 40 .（）设事件 ai 为“甲是现有样本中 a 班的第i 个人”， i = 1,2,5 ，事件cj 为“乙是现有样本中c 班的第 j 个人”， j =

10、1,2,8 ，11由题意可知， p( ai ) = 5 ， i = 1,2,5 ； p(cj ) = 8 ， j = 1,2,8 .p( ac ) = p( a )p(c ) 1 1 = 1 , i = 1,2,5 , j = 1,2,8 .i jij 5840设事件 e 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知， e = a1c1 u a1c2 u a2c1 u a2c2 u a2c3 u a3c1 u a3c2 u a3c3 u a4c1 u a4c2 u a4c3 u a5c1 u a5c2 u a5c3 u a5c4因此p(e) = p( a1c1) + p( a1c2 ) +

11、 p( a2c1) + p( a2c2 ) + p( a2c3 ) + p( a3c1) + p( a3c2 ) + p( a3c3 )+ p( a c ) + p( a c ) + p( a c ) + p( a c ) + p( a c ) + p( a c ) + p( a c ) = 15 1 = 34 14 24 35 15 25 35 4408（） l1 l0 .（17）（共 14 分）解：（）因为平面 pad 平面 abcd ， ab ad ， 所以 ab 平面 pad .所以 ab pd .又 因 为 pa pd ， 所以 pd 平面 pab .（）取 ad 的中点o ，连结

12、po, co .因为 pa = pd ，所以 po ad .又因为 po 平面 pad ，平面 pad 平面 abcd ， 所以 po 平面 abcd .因为co 平面 abcd ，所以 po co .因为 ac = cd ，所以co ad .如图建立空间直角坐标系o - xyz .由题意得，a(0,1,0), b(1,1,0), c(2,0,0), d(0,-1,0), p(0,0,1) .设平面 pcd 的法向量为 n = (x, y, z) ，则n pd = 0,- y - z = 0,n pc = 0, 即 2x - z = 0,令 z = 2 ，则 x = 1, y = -2 .所以

13、 n = (1,-2,2) .n pb3又 pb = (1,1,-1)，所以cos = -.n pb33所以直线 pb 与平面 pcd 所成角的正弦值为.3（）设 m 是棱 pa 上一点，则存在l0,1 使得 am = lap .因此点 m (0,1-l,l), bm = (-1,-l,l) .因为 bm 平面 pcd ，所以 bm 平面 pcd 当且仅当 bm n = 0 ，1即(-1,-l,l)(1,-2,2) = 0 ，解得l=.4所以在棱 pa 上存在点 m 使得 bm 平面 pcd ，此时 am = 1 .ap4（18）（共 13 分）解：（）因为 f (x) = xea-x + b

14、x ，所以 f (x) = (1- x)ea-x + b . f (2) = 2e + 2,2ea-2 + 2b = 2e + 2,依题设， f (2) = -即- ea-2 + b = e -1,e 1,解得 a = 2, b = e .（）由（）知 f (x) = xe2-x + ex .由 f (x) = e2-x (1- x + ex-1) 即e2-x 0 知， f (x) 与1- x + ex-1 同号. 令 g(x) = 1- x + ex-1 ， 则 g(x) = -1+ ex-1 .所以，当 x (-,1) 时， g(x) 0 ， g(x) 在区间(1,+) 上单调递增.故 g

15、(1) = 1是 g(x) 在区间(-,+) 上的最小值， 从 而 g(x) 0, x (-,+) .综上可知， f (x) 0 ， x (-,+) ，故 f (x) 的单调递增区间为(-,+) .（19）（共 14 分）3c=,a22解：（）由题意得1 ab = 1,解得 a = 2, b = 1.a2 = b2 + c2 ,x2所以椭圆c 的方程为+ y2 = 1.4（）由（）知， a(2,0), b(0,1) ，设 p(x , y ) ， 则 x2 + 4 y2 = 4 .0000当 x0 0 时，直线 pa 的方程为 y = y0 (x - 2) .x - 20m令 x = 0 ，得

16、y= - 2 y0 .从而 bm= 1- y= 1+ 2 y0 .x0 - 2x0 - 2m直线 pb 的方程为 y = y0 -1 x +1.nx0n令 y = 0 ，得 x = -x0.从而 an= 2 - x= 2 + x0 .y0 -1y0 -1所以 an bm= 2 + x0 1+ 2 y0 y0 -1x0 - 24x y - 4x - 8 y + 80 000x0 y0 - x0 - 2 y0 + 2x2 + 4 y2 + 4x y - 4x - 8 y + 4=000 000=x0 y0 - x0 - 2 y0 + 2= 4 .当 x0 = 0 时， y0 = -1 ， bm =

17、 2, an = 2,所以 an bm = 4 .综上，an bm为定值.（20）（共 13 分）解：（） g( a) 的元素为2 和5 .（）因为存在 a 使得 a a ，所以i n * 2 i n , a a .nn1i1i记 m = mini n * 2 i n , a a1 ，则 m 2 ，且对任意正整数 k m, ak a1 a1 .由（）知g( a) .设g( a) = n , n , n , n n n ，记 n = 1.12p12p0nnn则 a a a012 a .npi对i = 0,1, p ，记gi = k n * ni an .ii如果gi ，取 mi = min gi

18、 ，则对任何1 k mi , ak an am .从而 mi g( a) 且 mi = ni+1 .又因为 np 是g( a) 中的最大元素，所以gp = .pp从而对任意 np k n ， ak an ，特别地， an an .n -1n对i = 0,1, p -1, a a .i+1inn -1nn -1n因此 a= a+ (a- a) a +1.i+1i+1i+1i+1ip所以 an - a1 anp - a1 = (ani - ani-1 ) p .i=1因此g( a) 的元素个数 p 不小于 an - a1 .“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very