导数的概念经典例题

1、经典例题透析类型一：求函数的平均变化率2 1例仁求y 2x 1在X0到X0X之间的平均变化率，并求 X0 1 , X时平均变化率的值思路点拨：求函数的平均变化率，要紧扣定义式一丫 f（X0一x）一进行操作.x解析：当变量从X。变到X。x时，函数的平均变化率为Xf（X。X)2 2f(X)2(X0X)1 2X0 14X02 xXX当X011x 时，平均变化率的值为：4 122 125.总结升华：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，只要求出平均变化率的表达式，其他就迎刃而解举一反三： 2 、 ,【变式1】求函数y=5x +6在区间2，2+ x 内的平均变化率。【答案】y 5（2x）2 6 （5

2、 22 6） 20 x 5 x2，所以平均变化率为丄 20 5 x。x【变式2】已知函数f（x） x2，分别计算f （x）在下列区间上的平均变化率：（1）1，3；（2）1，2；（3）1，；（4）1，【答案】（1）4；（ 2）3；（ 3）；（4）.一 一 1 2【变式3】自由落体运动的运动方程为s gt，计算t从3s到，各段内的平均速度（位移 s的单位为m）。【答案】要求平均速度，就是求的值，为此需求出s、 t。t设在3，内的平均速度为 V1，贝Ut13.1 3 0.1（s）,1 2 12S s（3.1） s（3） -g 3.12 -g 320.305g（m）。所以 v1 s10.305g3.0

3、5g （m / s）。t10.1 t20.03005g0.01同理v23.005g (m / s)。V3昂 0.0030005g 3.0005g(m / 硏。t30.001【变式4】过曲线y3f (x) x 上两点 P(1,1)和 Q(1x,1y)作曲线的割线，求出当x 0.1时割x(1) f(4)x线的斜率【答案】当x 0.1时k(1y) 1PQ(1x) 1f(1 x) f(1)(1x)3 1x3.310.1类型二：利用定义求导数例2、用导数的定义，求函数f(x)在x=1处的导数。解析：y f(1 x)f(i)11 x.1 x1 1 X(11 x)、1二 f(1)总结升华:第一步求函数的增量

4、 y ；第二步求平均变化率亠;第三步取极限得导数。xx(1.1)一 x举一反三:【变式1】已知函数y 1 Gx(1 )求函数在x=4处的导数.(2)求曲线-x上一点P(4, 7)处的切线方程。4【答案】lim f(4x)f(4)x 0xJ 厂 e1 2)x 01 14x4 limx 0(.4 x 2)xxlim 4厂x)4=x2x 0x5,16(2)由导数的几何意义知，曲线在点P(4, 7)处的切线斜率为f (4),所求切线的斜率为所求切线方程为y5。1675 (x4164)，整理得 5x+16y+8=0。(1)f(x)c ；(2)f(x)x ；(3)f(x)2 x;(4)f(x)1c)x【答

5、案】(1)yf(xx)f (x)yf(xx) f(x) cxxylimylim 00。x 0xx 0(2)yf(xx)f(x)yx1,xxylim_y_lim11。x 0xx 0(3)yf(xx)f(x)y2xx(x)2x(xxxcc 0,【变式2】禾U用导数的定义求下列函数的导数:x)2x22x x ( x)2 , ylimlim(2 xx 0 x x 0y f(x x) f(x)厂XX X (x x) x (xXx) xx ,x)2x。11(4)xy 1x (X X)Xy11二 y lim lim2x 0 Xx 0(x x) X X例3、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程思路点拨：3

6、从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x +2x在x=1处的导数值，再由导数的几何意义,得所求切线的斜率，将 x=1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程解析：设 f (x) x9 即 P( 2,4)。 2x.f(1)x) f(1)lim(1 X)32(1 X) (13 2 1 即 P( 2,4)。x oxlim X( X)2 3 X 5x olim( x)2 3 x 55由f(1)=3，故切点为(1，3)，切线方程为 y3=5(x 1)，即y=5x2.总结升华：求函数y f(x)图像上点P(x0,y0)处的切线方程的求解步骤:求出导函数在x Xo处的导数f(Xo)(即过点P的切线的斜率)，用

7、点斜式写出切线方程，再化简整理。 举一反三：【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线：(1) 平行于直线 y=4x5 ；(2) 垂直于直线 2x6y+5=0 ；(3) 与x轴成135的倾斜角。f (x x) f(x)(x x)2 x2【答案】f(x)讥 一讥 一)2x，设所求切点坐标为 P (1 )因为切线与直线 即 P( 2，4)。(xo, yo)，则切线斜率为k=2xoy=4x 5 平行，所以 2xo=4， xo=2,yo=4.(2 )因为切线与直线2x 6y+5=o 垂直，所以 2xo -31，得3Xo- ， yo(3)因为切线与x轴成135。的倾斜角，所以其斜率为一1。即2xo= 1，得

8、 x例4 已知函数f(X)可导，若f(1)3 , f(1)3，求 lXmi2f(x ) 3x 1解析:lim 空口x 1 x 1f(x2) 3x2 1(x 1)(f(1) 3)f(x2)f(1)x21f(x2)f(1)2x1c f(t)f(1)啊(x1tixm11)x 1)(令 t=x2, xt 1, t t 1)2f (1) 2举一反三:【变式】已知函数f(x)可导，若f (3)2 , f(3)2 ,求 lim2x 3f(x)x 3 x 3【答案】lim空x 3 x 33f(x) |im (2x 6) 6 3f(x)x 332 f(x)x 33lim 些f)x 3 x 33lim f(x)

9、f(3)x 3类型三：利用公式及运算法则求导数例5 求下列函数的导数：(1)y1x4 ；(2)(3)ylog 2 x2log 2 x；(4)解析：(1)y心x(x4)4x 4(2)y(5 臣)3(x5)3 3 155(3) ylog 2x2 log 2x log(4)y32( x )3( x2)5( x)3f(3)2 3213x52X ,(2) 83 c 2_,y=2x 3x +5x + 44x_3_57 y(log2 x)1x In2(4)6x2 6x 5总结升华： 熟练掌握导数基本公式，仔细观察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导； 不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，

10、再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决 问题水到渠成举一反三：【变式】求下列函数的导数：（1）y xx ；x2 x(2) y 2sin (1 2cos -)24(3) y=6x3 4x2+9x 6【答案】(1)3(x/x) (x)3x323g2x2s%(12cos;jxx2sin3(2cost1)2sin -cos- sinx2 2(3)(4) ycosx.(3)6( x3) 4( x2) 9( x)(6)18x2 8x 9求下列各函数的导函数(1)f(x) (x2 1)(2x 3);2 .(2) y=x sinx;(3)ex 1yR ；(4)x cosx y=x sin x解析:(

11、1)法一：去掉括号后求导.f(x) 2x3 3x2 2x2f(x) 6x 6x 2法二：利用两个函数乘积的求导法则f(x) (x2 1)(2x 3) (x2 1) (2x3)2=2x(2x 3)+(x +1) X 2=6x 6x+222y = (x ) sinx + x (sinx ) =2xsinx2+ x cosxYYYYy、 (e 1)(e1) (e 1)(e1) _(ex 1)22exx2(e 1)(x cosx)(x sinx) (x cosx)(x sin x)(x sin x)2(1 sin x)(x sin x) (x cosx)(1 cosx)(x sin x)2xcosx

12、xsin x sin x cosx 1(x sin x)2举一反三：【变式1】函数y(x 1)2(x1）在x 1处的导数等于（）A. 1B.2C.3D. 4【答案】D法一：y (x21) (x 1)(x21) (x 1)2(x1) (x 1)(x2 21) 3x 2x 1二 ylxi 4.法二：y (x 1)2(x 1)(x21)(x 1)x3x2x 1y (x3) (x2)x 13x2 2x1 ylx1 4.【变式2】下列函数的导数22x33x . x 1(1) y(x 1)(2 x 3x1)；(2) yx、x【答案】（1）法一:y 2x3 3x2x 2x2 3x 12x35x2 2x 1y

13、 6x210x2法二：y(x 1)(2x2 3x 1) (x 1)(2x2 3x 1)2x2 3x 1 + (x 1) (4x 3)26x 10x2313(2) y 2x2 3x 21 2xx 21352 32 23 2y 3xxxx22【变式3】求下列函数的导数x(1) yx(x21丄)xx3)1宀 1)( x 1)；(3) yx5x sin x2x【答案】(1) y3x22x(3y- y1xx(2) y- y12x3x33x2sin x ,3x22(x )sin x2x (sinx)3x22x 3 sin x x2cosx.类型四：复合函数的求导 例7.求下列函数导数.(1)(3)4 ，(

14、1 3x)(2) y ln(x2);2x 1e ；(4) y cos(2 x 1).思路点拨解析：:求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的,然后再按复合函数的求导法则求导(1) yu41 3x.yxyuux(u4) (1 3x)(2) y4u123)512u(1 3x)5In u， uyxyu ux (In u)(x 2)丄1丄u x 2u(3) y eu 2x 1.yx yu ux(eu)(2x 1)2e2e2x 1(4) y cosu, u 2x 1,- yx yu ux (cosu) (2x 1)2sin u2sin(2 x 1).总结升华: 复合函数的求导，一定要抓住“中间变

15、量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注 意不要漏层。熟练以后，可以摆脱引入中间变量的字母，只要心中记住就行，这样可以使书写简单； 求复合函数的导数的方法步骤：（1） 分清复合函数的复合关系，选好中间变量；（2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数并把中间变量换成自变量的函数（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数, 举一反三：(2) y【变式1】求下列函数的导数： y (1 2x2) 2、yxyuux (u ) (1 2x )；(3) y=ln ( x + 1 x2 ) ；(4) f (x) e x(cosx sin

16、x)【答案】(1)令 u 1 2x2, y u8,72 78u 4x 32x(1 2x ).(2)令 ux x3,y u3,yx(u3) (x x3)2 23 u3(1 3x) 1 xx3(3) y1AiA (x -1 x2) =(1 =)x J x2x V 1 x21 x2(4) f (x)e x ( x)(cos x sin x)e x (cosxsin x)e x(cosx sinx)e x( sinx cosx)e x( sinx cosx cosx sin x) e x( 2sin x)2e x sin x类型五：求曲线的切线方程例8 .求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.解析

17、：y 3x22,2ylxi 3 125x=1 时，y=3,切点为(1, 3),切线斜率为5切线方程为 y3=5(x 1)，即y=5x2.总结升华：求函数y f(x)图像上点P (x0,y0)处的切线方程的求解步骤： 求出函数y f(x)的导函数y f(x) 求出导函数在x X。处的导数f(Xo)(即过点P的切线的斜率)， 用点斜式写出切线方程，再化简整理。举一反三：1 1【变式1】求曲线y 丄在点(；2)处的切线的斜率，并写出切线方程.解析：T y(丄)2xx切线的斜率k y | 14 .X 21切线方程为y 24(x)，即4x y 40.x2的切线方【变式2】已知P( 1,1), Q(2,4

18、)是曲线y x2上的两点，则与直线 PQ平行的曲线y 程是.【答案】y x2的导数为y 2x.设切点 M(X。, y)，则 y|x x 2X0.4 1 PQ的斜率kPQ1，又切线平行于 PQ ,PQ 2 11 1 1k y|xx0 2xo 1, Xo，切点 M (一，),022 4、 1 1切线方程为y x ，即4x 4y 10.42【变式3】已知曲线C : y x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；(2 )第(1)小题中的切线与曲线 C是否还有其他的公共点？【答案】P(1,1).过点23xy |x 13.P的切线方程为3(x 1)，即3x y 20.3x 1 2可得(xx1)(

19、x2x 2)0 ,解得x 1或x 2.(1 )将x 1代入曲线C的方程得y 1 ,切点从而求得公共点为 P(1,1)，或P( 2, 8).切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的点2已知直线11为曲线y x x 2在点(1, 0)处的切线，12为该曲线的另一条切线，且 11 12.(1)求直线12的方程;求由直线11、12和x轴所围成的三角形的面积解析:(1)y 2x 1 , y|X1直线11的方程为y3x3.设直线12过曲线yx2x 2上的点B(b,b2 b 2),则12的方程为y (b22)(2 b(x2b),即 y (2 b 1)x b 2 .因为11I2，则有2b所以直线12的方程为y3，b1x3229解方程组y 3x 3,1 22y - x 一3 91652所以直线一 15h和12的交点坐标为(6 , _).11、12与x轴交点的坐标分别为(1, 0)、(22 c、22,0)，12512 .【答案】y 3x21设切点坐标为 M