判断矩阵的最大特征值

1、项目六 矩阵的特征值与特征向量实验 1 求矩阵的特征值与特征向量; 能利用软件计算方实验目的学习利用 Mathematica 以上版本 ) 命令求方阵的特征值和特征向量阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形 .求方阵的特征值与特征向量 .1 0 2 例 ( 教材 例 求矩阵 A 1 2 1 . 的特征值与特值向量 130(1) 求矩阵A的特征值.输入A=-1,0,2,1,2,-1,1,3,0MatrixFormAEigenvaluesA则输出A的特征值-1,1,1(2) 求矩阵A的特征向量.输入A=-1,0,2,1,2,-1,1,3,0MatrixFormAEigenvectorsA则输出 -

2、3,1,0,1,0,1,0,0,03 1即A的特征向量为 1,0.0 1(3) 利用命令Eigensystem同时矩阵A的所有特征值与特征向量.输入A=-1,0,2,1,2,-1,1,3,0MatrixFormAEigensystemA则输岀矩阵A的特征值及其对应的特征向量.2 34例 求矩阵A345的特征值与特征向量.4 56输入A=Tablei+j,i,3,j,3MatrixFormA(1) 计算矩阵A的全部(准确解)特征值，输入EigenvaluesA则输出0,6 . 42 , 6 , 42(2) 计算矩阵A的全部(数值解)特征值，输入EigenvaluesNA则输出, , 10 16(

3、3) 计算矩阵A的全部(准确解)特征向量，输入172422344217242234_42EigenvectorsA203422344220342234_420.4303620.5665420.7027220.805060.111190.5826790.4082480.8164970.408248输入vvLinearAlgebra Orthogonalization0.4303620.5665420.7027220.805060.111190.582679GramSchmidtEigenvectorsNA0.4082480.8164970.408248123M 2 13输入3 3 6ClearM

4、;M=1,2,3,2,1,33,3,6;EigenvaluesMEigenvectorsMEigensystemM则分别输出-1,0,9-1,1,0,-1,-1,11,1,2-1,0,9,-1,1,0,-1,-1,11,1,21/3 1/31/2例（教材例求矩阵A 1/511/3的特征值和特征向量的近似值612输入A=1/3,1/3,-1/2,1/5,1,-1/3,6,1,-2;EigensystemA则屏幕输出的结果很复杂，原因是矩阵A的特征值中有复数且其精确解太复杂.此时，可采用近似形式输入矩阵 A, 则输出结果也采用近似形式来表达 .输入A=1/3，1/3，-1/2，1/5，1，-1/3

5、，1，-2;EigensystemA则输出+,从中可以看到A有两个复特征值与一个实特征值.属于复特征值的特征向量也是复的属于实 特征值的特征向量是实的 .300例（教材例已知2是方阵A 1 t 3的特征值,求t12 3输入ClearA,q;A=2-3,0,0,-1,2-t,-3,-1,-2,2-3;q=DetASolveq=0,t则输出t 8即当t 8时,2是方阵A的特征值.2 1 2例(教材例已知x (1,1, 1)是方阵A 5 a 3的一个特征向量，求参数a,b及1 b 2特征向量x所属的特征值.设所求特征值为 t , 输入ClearA,B,v,a,b,t;A=t-2,1,-2,-5,t-

6、a,-3,1,-b,t+2; v=1,1,-1;B=;SolveB1=0,B2=0,B3=0,a,b,t则输出a-3, b 0, t -1即a 3,b0时，向量x (1,1, 1)是方阵A的属于特征值-1和特征向量矩阵的相似变换411例(教材例设矩阵A 222,求一可逆矩阵P ,使P 1AP为对角矩阵222方法 1 输入ClearA,P;A=4,1,1,2,2,2,2,2,2;EigenvaluesA0110 1 1P=EigenvectorsA 征向量为1J1与 1 , 矩阵 P1 1 1 .1111 1 1可验证P 1AP为对角阵，事实上，输入InverseP.则输出0，0，0，0，2，0

7、，0，0，6因此，矩阵A在相似变换矩阵P的作用下，可化作对角阵.方法 2 直接使用 JordanDecomposition 命令 ， 输入 jor=JordanDecompositionA则输出0，-1，1，-1，1，1，1，1，1，0，0，0，0，2，0，0，0，6可取出第一个矩阵 S 和第二个矩阵 ， 事实上 ， 输入jor1jor2则输出0，-1，1，-1，1，1，1，1，10，0，0，0，2，0，0，0，6输出结果与方法 1 的得到的结果完全相同 .10例 方阵 A 1 0 是否与对角阵相似21输入ClearA;A=1，0，2，1;EigensystemA输出为1,1,0,10,0于是

8、,1是二重特征值，但是只有向量0,1是特征向量，因此,矩阵A不与对角阵相似200100例 （教材 例 已知方阵 A2 x2与B020 相似 ,求 x,y31100y注意矩阵B是对角矩阵，特征值是1,2, y .又矩阵A是分块下三角矩阵，-2是矩阵A的 特征值.矩阵A与B相似,则y 2,且-1,2也是矩阵A的特征值.输入Clearc,v;v=4,0,0,-2,2-x,-2,-3,-1,1;SolveDetv=0,x则输出x 0所以 , 在题设条件 , x0,y2.0110例 对实对称矩阵 A1010 , 求一个正交阵 P, 使 P 1AP 为对角阵11000002输入LinearAlgebraO

9、rthogonalizationClearA,PA=0,1,1,0 ,1,0,1,0,1,1,0,0,0,0,0,2;EigenvaluesAEigenvectorsA输岀的特征值与特征向量为-1,-122-1,0,1,0,-1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,1,0再输入P=GramSchmidtEigenvectorsAPAAA1 QAAAA, ,0, , 0, ,0, , ,0, , 0,0,1, P P 1APpTAP2、63 3.32 一 63lnverseP./SimplifyTransposeP./simplify则输出1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,

10、0,1 -1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,2,0,0,0,0,2 -1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,2,0,0,0,0,2第一个结果说明PTP E ,因此P是正交阵；第二个与第三个结果说明1TP AP P AP例求一个正交变换，化二次型f2 一 、2x-)x2 2x-)x3 2x2x3 2x4 为标准型2二次型的矩阵为0 11010 10A110 00 0 0 2这恰好是例的矩阵，因此，用例中的正交矩阵 P ,作正交变换X PY,即%X2X3X4将f化作标准型.输入f=Tablexj,j,4.xj,j,4y【1,y【2,y3,y4表示,输入代换命令f/.Tablexjyj,

11、j,4）j,j,4例（教材例已知二次型f（X1,X2,X3）X2（1）求标准形；（2）求正惯性指数；（3）判断二次型是否正定输入A=1,1,-2,1,-2,1,-2,1,1EigenvaluesA则输岀矩阵A的特征值为-3,0,3所以二次型的标准形为f3y123y2 ;正惯性指数为1;该二次型不是正定的1,21.202x；例（教材例求正交变换将二次型162.3102x.x212 3 4 y y y y 31313.x1,x2,x3,x44x1X3 2x2X32 2 2 2 f(x1,x2 ,x3) x1 x2 x3 x4 2x1x2 2x1x4 2x2x3 2x3x4 化为标准形 .输入A=1

12、,1,0,-1,1,1,1,0,0,1,1,-1,-1,0,-1,1 MatrixFormAX=x1,x2,x3,x4;Expand则输出所求的正交变换矩阵 P与二次型矩阵A标准形.从结果知，所求二次型的标 准型为2222 g y1 y2 y3 y4实验 2 层次分析法实验目的通过应用层次分析法解决一个实际问题 ， 学习层次分析法的基本原理与方法 ; 掌握用层 次 分析法建立数学模型的基本步骤 ; 学会用 Mathematica 解决层次分析法中的数学问题 .基本原理层次分析法是系统分析的重要工具之一 ， 其基本思想是把问题层次化、数量化 ， 并用数 学 方法为分析、决策、预报或控制提供定量依

13、据 . 它特别适用于难以完全量化 ， 又相互关联、 相互制约的众多因素构成的复杂问题 . 它把人的思维过程层次化、数量化 ， 是系统分析的一新型的数学方法运用层次分析法建立数学模型，一般可按如下四个基本步骤进行1. 建立层次结构首先对所面临的问题要掌握足够的信息，搞清楚问题的范围、因素、各因素之间的相互关系，及所要解决问题的目标.把问题条理化、层次化，构造岀一个有层次的结构模型.在 这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分.这些元素又按其属性及关系形成若干层次.层次结构一般分三层：第一层为最高层，它是分析问题的预定目标和结果，也称目标层；第二层为中间层，它是为了实现目标所涉及的中间环节，如：

14、准则、子准则，也称准则层；第三层为最底层，它包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，也称方案层.图2-1注：上述层次结构具有以下特点：(1)从上到下顺序地存在支配关系，并用直线段表示；(2)整个层次结构中层次数不受限制.2. 构造判断矩阵构造判断矩阵是建立层次分析模型的关键.假定以上一层的某元素 y为准则，它所支配的下一层次的元素为 xi,X2, ,xn,这n个元素对上一层次的元素 y有影响，要确定它们在y 中的比重.采用成对比较法.即每次取两个元素xi和Xj,用日表示务与Xj对y的影响之 比，全部比较的结果可用矩阵 A表示，即A (aij )n n, i , j 1,2,n.称矩阵A

15、为判断矩阵.根据上述定义，易见判断矩阵的元素aij满足下列性质：1 .aji(ij),aiih (i j)aij当aij 0时,我们称判断矩阵A为正互反矩阵.怎样确定判断矩阵A的元素aij的取值呢当某层的元素X1,X2, ,Xn对于上一层某元素 y的影响可直接定量表示时，Xi与Xj对y 的影响之比可以直接确定，aij的值也可直接确定.但对于大多数社会经济问题，特别是比 较复杂的问题，元素Xi与Xj对y的重要性不容易直接获得，需要通过适当的量化方法来解决.通常取数字19及其倒数作为aij的取值范围.这是因为在进行定性的成对比较时，通常采用5级制(表1),在每两个等级之间各有一个中间状态，共19个

16、尺度，另外心理学家认为进行成对比较的因素太多，将超岀人们的判断比较能力，降低精确.实践证明，成对比较的尺度以7 2为宜，故aij的取值范围是1,2,9及其倒数.表1比较尺度aij的取值Xi / Xj相等较强强很强绝对强aij135793. 计算层次单排序权重并做一致性检验层次单排序是指同一层次各个元素对于上一层次中的某个元素的相对重要性进行排序.具体做法是：根据同一层n个元素x1, x2 , , xn对上一层某元素 y的判断矩阵 A ,求出它们 对于元素y的相对排序权重，记为W1,W2, ,Wn,写成向量形式w(W1,W2, ,Wn)T ,称其为A的层次单排序权重向量，其中Wi表示第i个元素对

17、上一层中某元素y所占的比重，从而得到层次单排序.层次单排序权重向量有几种求解方法，常用的方法是利用判断矩阵A的特征值与特征向量来计算排序权重向量 W.关于正互反矩阵A,我们不加证明地给出下列结果.(1) 如果一个正互反矩阵 A (aij)nn满足aij ajk aik (i, j,k 1,2,n)则称矩阵A具有一致性，称元素Xi,Xj,Xk的成对比较是一致的；并且称A为一致矩阵.(2) n阶正互反矩阵A的最大特征根max n,当 n时，A是一致的.(3) n阶正互反矩阵是一致矩阵的充分必要条件是最大特征值max n .计算排序权重向量的方法和步骤设W ( !, 2, , n)T是n阶判断矩阵的

18、排序权重向量，当A为一致矩阵时，根据n阶判断矩阵构成的定义，有1n2nCImax nn 11 11 22 21 2因而满足Aw nw,这里n是矩阵A的最大特征根，w是相应的特征向量；当A为一般的 判断矩阵时Aw maxW,其中max是A的最大特征值（也称主特征根）,W是相应的特征 向n量（也称主特征向量）.经归一化（即 i 1）后，可近似作为排序权重向量，这种方法称i 1为特征根法.致性检验这是由客观事物的复杂性在构造判断矩阵时，我们并没有要求判断矩阵具有一致性 与人的认识的多样性所决定的.特别是在规模大、因素多的情况下，对于判断矩阵的每个元 素来说，不可能求岀精确的 i/ j，但要求判断矩阵

19、大体上应该是一致的 .一个经不起推敲 的判断矩阵有可能导致决策的失误 .利用上述方法计算排序权重向量 ，当判断矩阵过于偏 离一致性时，其可靠性也有问题.因此，需要对判断矩阵的一致性进行检验 ，检验可按如下步 骤 进行：（1）计算一致性指标CI当CI 0，即max n时，判断矩阵A是一致的.当CI的值越大，判断矩阵A的不一致的程度就越严重（2）查找相应的平均随机一致性指标RI表2给出了 n（111）阶正互反矩阵的平均随机一致性指标RI，其中数据采用了100150个随机样本矩阵 A计算得到.表2矩阵阶数1234567891011RI00(3) 计算一致性比例CRCRCIRI当CR 0.10时，认为

20、判断矩阵的一致性是可以接受的；否则应对判断矩阵作适当修正4. 计算层次总排序权重并做一致性检验计算岀某层元素对其上一层中某元素的排序权重向量后，还需要得到各层元素，特别是最底层中各方案对于目标层的排序权重，即层次总排序权重向量，再进行方案选择.层次总排序权重通过自上而下地将层次单排序的权重进行合成而得到考虑3个层次的决策问题：第一层只有1个元素，第二层有 n个元素，第三层有 m个素.设第二层对第一层的层次单排序的权重向量为w(2)( 12)，22)(2) )T n丿第三层对第二层的层次单排序的权重向量为wk3)(wk3)，wg)，wk?)T，k1,2, ，n以wk3)为列向量构成矩阵：W(3)

21、(w1/3211/31 13. 计算层次单排序权重向量并做一致性检验先利用Mathematica计算矩阵A的最大特征值及特征值所对应的特征向量输入(*调用只求实数运算的软件包*)A=,5,3,9,3,1/5,1,1/2,2,1/2,1/3,2,1,3,1, 1/9,1/2,1/3,1,1/3,1/3,2,1,3,1;(*以小数形式输入进行近似计算，可避免精确解太长、太复杂 *)T=EigensystemA max 5.00974, x (0.88126,0.167913,0.304926,0.0960557,0.304926)丁w(2)(0.502119,0.0956728,0.173739,

22、0.0547301,0.173739)TCInn 1n 5, max5.00974, Cl0.002435. RI 1.12 CR90.002174 CR(2) 0.1, A wRI下面再求矩阵Bj(j 1,2,5)的最大特征值及特征值所对应的特征向量，输入B1= B3=,1/3,1/5,3,1,1/2,5,2,1;B2=TransposeB1;B4=,5,3,1/5,1,1/2,1/3,2,1;B5=,3,3,1/3,1,1,1/3,1,1;T1=EigensystemB1Bj (j 1,2,5)13.00369, 23.00369, 33.00369, 43.00369, 53.000Xt

23、(0.163954 ,0.46286,0.871137)tx2(0.928119,0.328758,0.174679)TX3 (0.163954,0.46286,0.871137)tXi(刈，Xi2, Xi3),i1,2, ,5.x4(0.928119,0.174679,0.328758)Tx5(0.904534,0.301511,0.301511)tW1(0.109452,0.308996,0.581552)TW2(0.648329,0.229651,0.12202)TW3(0.109452,0.308996,0.581552)TClinn1 (iW4(0.648329,0.12202,0.

24、229651)tW5(0.600000,0.200000,0.200000)TCI10.0018473, Cl 20.0018473, CI30.0018473,Cl 40.0018473, Cl50Cl iCR10.003185,cr2CRiL, i 1,2,5RliCR40.003185,CR5CRi0.1,(i1,2,5),即认为 Bj(j 1,2,5）的一致性程度在容许1,2,5)0.003185, CR30.Rli 0.58 (in 3,1,2,5)0.003185,的范围之内，可以用归一化后的特征向量作为其排序权重向量4. 计算层次总排序权重向量并做一致性检验购买个人电脑问题的第三层对第二层的排序权重计算结果列于表3.表3k12345(3)wkk3以矩阵表示第三层对第二层的排序权重计算结果为0.1094520.6483290.1094520.6483290.6w(3)0.3089960.2296510.3089960.122020.20.5815520.122020.5815520.2296510.2W（3）即是第三层对第二层的权重向量为列向量组成的矩阵.最下层（第三层）对最上层（第层) 的总排序权向量为(3)(3)(2)为了计算上式 , 输入W3=Transposew1,w2,w3,w4,w5;ww3=则从输出结果得到w(3) (0.275728,0.27223