初中教育几何辅助线做法大全

1、实用标准线、角、相交线、平行线n (n规律1.如果平面上有n(n2)个点，其中任何三点都不在同一直线上， 那么每两点画一条直线， 一共可以画出-21)条.规律2.平面上的n条直线最多可把平面分成 丄n(n+1)+1 个部分.21规律3.如果一条直线上有 n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n 1)条.2规律4.线段(或延长线)上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半 例：如图，求证:证明:B在线段AC 上, M是AB的中点，N1MN = AC2/ M是AB的中点，N是BC的中点1AM = BM = AB ,BN = CN =21AB +2/MN = MB+BN =1

2、/MN =AC2练习：1.如图，点C是线段AB1上的一点,求证：AM = (AB + BC)2是BC的中点.1BC2BC =M是线段2.如图，点B在线段AC 上, M是AB的中点,1求证：MN = BC23.如图，点B在线段AC 上, N是AC的中点,1AB2求证：MN =规律5有公共端点的规律6.如果平面内有1(AB + BC)2BC的中点.是AC的中点.是BC的中点.1n(n 1)个.2条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n (n 1)个.条射线所构成的交点的个数一共有规律7.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成 n ( n 1 )对对顶角.规律8.平面上若有n(n 3)个

3、点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作岀1n(n 1)( n6规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90.规律规律1n(n 1)个.211.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半10.平面上有n条直线相交，最多交点的个数为文档规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂们自己证明.直.例：如图，以下三种情况请同学实用标准规律13.已知AB /DE,如图，规律如下:1ABC+BCD+CDE=3602BCD= ABC+ CDE3BCD= CDE- ABC4BCD= ABC- CDECABCDE=

4、BCD+ ABCED、C5ABC= BCD+ CDE6规律14.成“ 8 ”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半 例：已知，BE、DE分别平分/ ABC和/ADC，若/A = 45 ,/C = 55 o,求/E的度数.解: ZA + /ABE = ZE+ /ADE /C+ /CDE = /E+ ZCBE +得/ + /ABE + /C+ /CDE = /E+ /ADE + /E+ ZCBEVBE 平分/ABC、DE 平分/ADC ,/ABE = ZCBE,/CDE = ZADE：2 ZE = / + /C1/E =(ZA + ZC)2v/A =45 ,/C =55

5、/ZE =50 三角形部分规律15 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不岀来，可连结两点或延长某边构造三角形，使 结论中岀现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题例：如图，已知 D、E为ABC内两点，求证： AB + AC BD + DE + CE.证法（一）：将DE向两边延长，分别交 AB、AC于M、N文档AMDGFNB实用标准AD90加上第三个内角的一半1Z BDC = 90 +ZA290减去第三个内角的一半1Z BDC = 90 -ZA2在AMN 中， AM + AN MD + DE +NE 在ABDM 中，MB + MD BD在 ACEN 中，C

6、N + NE CE+得AM + AN + MB + MD + CN + NE MD + DE+ NE + BD + CE /AB + AC BD + DE + CE证法(二)延长 BD交AC于F,延长CE交BF于G,在ABF和A3FC和AGDE中有， AB + AF BD + DG + GF GF+ FC GE + CE DG + GE DE+有AB + AF + GF+ FC+ DG + GE BD + DG +GF + GE+ CE+ DE /AB + AC BD + DE+ CE注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或 几个三角

7、形中去然后再证题.练习：已知：如图P为ABC内任一点，1求证:(AB + BC + AC) V PA+ PB + PC ZB , AD丄BC于D , AE平分ZBAC.1求证：Z EAD =(ZC -ZB)ABC2证明：TAE平分ZBAC1 Z3AE = ZCAE =ZBAC2VZ3AC =180 - (/B+ ZC)1 ZEAC = 180 - ( ZB + ZC)2TAD 丄 BC ZDAC = 90 -ZC /ZEAD = ZEAC -ZDAC1 ZEAD = 180 -(/B +ZC)丨一(90 -ZC)21=90 -(ZB +/C) - 90 + /C21=(ZC-ZB)21如果把A

8、D平移可以得到如下两图，FD丄BC其它条件不变，结论为Z EFD =( ZC-ZB).注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自 己举一反三、灵活应变的能力 .规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或 延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角 定理证题.例：已知 D为ABC内任一点，求证：Z BDC ZBAC证法(一)：延长BD交AC于E，TZBDC 是EDC 的外角,C Z3DC ZDEC同理：Z DEC ZBAC Z3DC

9、 ZBAC证法（二）：连结AD，并延长交BC于FVZBDF是ABD的外角，/ZBDF /BAD同理ZCDF ZCAD/ZBDF + ZCDF ZBAD + /CAD即：ZBDC ZBAC规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形例：已知，如图， AD为ABC的中线且Z 1 = Z, Z3 = Z4,求证：BE+ CF EF证明：在 DA上截取DN = DB ，连结NE、NF，_则DN = DC 在BDE和ANDE中，DN = DBZ1 = Z2ED = EDDE 幻JNDEBE = NE同理可证：CF = NF在EFN 中，EN +FN EFBE + CF EF规律22.有

10、以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形 例：已知，如图， AD为AABC的中线，且Z 1 = Z2，Z3 = Z4，求证：BE+ CF EF证明：延长 ED到M，使DM = DE，连结CM、FM BDE 和ACDM 中，BD = CDZ1 = Z5ED = MD ZBDE 幻DMCM = BE又 t/1 = Z，Z3 = Z4Z1 + Z2+Z3 + Z4 = 180 0z3 +Z2 = 90 0即ZEDF = 90 0 zFDM = ZEDF = 90 0EDF 和MDF 中ED = MDZFDM = ZEDFDF = DF ZEDF 幻JMDFEF = MFt在:MF 中

11、，CF + CM MFBE+ CF EF（此题也可加倍FD，证法同上）规律23.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形 例：已知，如图， AD为AABC的中线，求证：AB + AC2AD证明：延长 AD至E，使DE = AD，连结BETAD为AABC的中线2DBD = CD在ACD 和AEBD 中BD = CDZ1 = Z2AD = EDCD 幻zEBDvzABE 中有 AB + BEAEAB + AC 2AD规律24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段;补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段 a、b、

12、c、d有下列情况之一时用此种方法: a b ab = c ab = c d例：已知，如图，在 ABC中，AB AC , Z1 = Z2 , P为AD上任一点,求证：AB - AC PB - PC连结PN证明：截长法：在AB上截取AN = AC在AAPN 和AAPC中，连结PMMAN = ACZ1 = Z2AP = AP.ZAPN zAPCPC = PN vzBPN 中有 PB - PC v BN PB - PCv AB - AC补短法：延长AC至M，使AM = AB 在AABP和AMP中AB = AMZ1 = Z2AP = AP/.ZABP 幻AMPPB = PM又丁在ACM 中有 CM PM

13、 - PCAB - AC PB - PC练习：1.已知，在 ABC中，/B = 60 ,AD、CE是AABC的角平分线，并且它们交于点 0求证：AC = AE + CD2.已知，如图，AB /CD Z1 = Z2 , Z3 = Z4.求证：BC = AB + CD规律25.证明两条线段相等的步骤: 观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。 若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等 如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形例:如图，已知，BE、CD相交于F,/B =证明：t/ADF = ZB + /3ZAEF = ZC

14、 +/4又T/3 = 也ZB = ZCSDF = ZAEF在adf和AAEF中zadf = zaefZ1 = Z2af = afzADF 幻zAEF/DF = EFZC ,Z1 = Z，求证：DF = EF规律26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等例：已知，如图 Rt AABC中，AB = AC，ZBAC = 90 ，过A作任一条直线 AN，作BD丄AN于D，CE丄AN于E， 求证：DE = BD - CE证明:v/BAC = 90,BD 丄AN/Z +Z2 = 90 0Z1 +Z3 = 90 0VBD 丄 ANCE 丄 AN/zBDA = ZAEC

15、= 90 0 在AABD和acae中， zbda= zaecZ2 = Z3AB = AC/zABD 幻zCAEBD = AE 且 AD = CE/AE - AD = BD - CE/DE = BD - CEC规律27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.例：AD为AABC的中线，且 CF丄AD于F，BE丄AD的延长线于 E求证：BE = CF规律28.条件不足时延长已知边构造三角形 .例：已知 AC = BD，AD丄AC于A，BCBD于B 求证：AD = BC证明：分别延长 da、CB交于点ETAD 丄 ACBC 丄 BD/zCAE = ZDBE = 90 0在adbe 和 a

16、cae 中ZDBE = /CAEBD = ACE证明：（略）ZE = ZE /ZDBE zCAEED = EC , EB = EAED - EA = EC - EBAD = BC规律29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题 例：已知，如图，AB /CD , AD /BC求证：AB = CD证明：连结AC （或BD ）TAB /CD , AD /BCZ = Z在ABC和CDA中，Z1 = Z2AC = CAZ3 = Z4/ABC 幻/CDAAB = CD练习：已知，如图，AB = DC，AD = BC，DE = BF，求证：BE = DF规律30.有和角平分线垂直的线段时，通

17、常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”例：已知，如图，在 Rt /ABC中，AB = AC，ZBAC = 90 0，Z1 = Z2，CE丄BD的延长线于 E求证：BD = 2CE证明：分别延长 BA、CE交于FTBE 丄 CFFZ3EF = ZBEC = 90 0 在 ABEF 和 ABEC 中Z1 = Z2BE = BEZBEF = ZBEC /ZBEFzBEC1CE = FE =CF2TZBAC = 90 0 , BE 丄 CF ZBAC = ZCAF = 90 0 Z1 + ZBDA = 90 0Z1 + ZBFC = 90 0ZBDA= ZBFC 在AABD和AACF中 ZBAC

18、= ZCAF ZBDA= ZBFC AB = ACBD 幻ACFBD = CFBD = 2CE练习：已知，如图，/ ACB = 3 ZB,Z1 = Z2,CD丄AD于D ,求证：AB - AC = 2CD文档规律31.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形例：已知，如图， AC、BD相交于0，且AB = DC，AC = BD， 求证：/ A = ZD证明：（连结BC，过程略）规律32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件例：已知，如图，AB = DC，ZA = ZD求证：Z ABC = ZDCBAD证明：分别取AD、BC中点N、M，连结N

19、B、NM、NC （过程略）规律33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题 例：已知，如图，Z 1 = Z2 ，P为BN上一点，且 PD丄BC于D，AB + BC = 2BD，求证：Z BAP + ZBCP = 180 证明：过P作PE丄BA于EVPD 丄 BC，Z1 = Z2PE = PD在Rt少PE和Rt少PD中BP = BPPE = PDRt BPERt 比PDBE = BDAB + BC = 2BD，BC = CD + BD，AB = BE - AEAE = CDPE 丄 BE，PD 丄 BCZPEB = ZPDC = 90 在EA 和A

20、PDC 中 PE = PDZPEB = ZPDCAE =CD /PEA 幻zBDC zPCB = ZEAP ZBAP + ZEAP = 180 Z3AP + ZBCP = 180 练习：1.已知，如图，PA、PC分别是 ABC外角Z MAC与ZNCA的平分线，它们交于 P，PD丄BM于M，PF丄BN于F，求证：BP为ZMBN 的平分线2.已知，如图，在 ABC中，/ABC =100 0MNZACB = 20 0, CE 是 ZACB 的平分线,D是AC上一点，若/CBD = 20 0,求/CED 的度数。规律34.有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图， A

21、B = AC，BD丄AC于D，求证：/ BAC = 2 ZDBC1ZBAC2证明：（方法一）作/ BAC的平分线AE，交BC于E,则/1 = Z2 =又TAB = ACAE 丄 BC/z2 + ZACB = 90 0VBD 丄 AC/ZDBC + ZACB = 90 0Z = ZDBC/ZBAC = 2 ZDBC（方法二）过 A作AE丄BC于E （过程略）（方法三）取 BC中点E,连结AE （过程略）有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图， ABC中，AB = AC , D为BC中点，DE丄AB于E, DF丄AC于F,求证：DE = DF 证明：连结AD.TD为BC中点，BD = CD又TA

22、B =ACAD 平分Z BACVDE 丄 AB , DF 丄 ACDE = DF将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图， ABC中，AB = AC，在BA延长线和 AC上各取一点 E、F,使AE = AF，求证：EF丄BC 证明：延长 BE 至U N , 使 AN = AB,连结 CN, _则 AB = AN = AC/ZB = ZACB, ZACN = ZANCFTZB + ZACB + ZACN + ZANC = 180 0/2 ZBCA + 2 ZACN = 180 0/ZBCA + ZACN = 90 0即ZBCN = 90 NC 丄 BCTAE = AF /zAEF = ZA

23、FE又v/BAC = ZAEF + ZAFEZBAC = /ACN +/ANC/zBAC =2 /AEF = 2 ZANC SEF = ZANCEF/NCEFI BC常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知,如图，在 ABC中，AB = AC，D在AB 上, E在AC延长线上，且 BD = CE，连结DE交BC于F求证:DF = EF证明:（证法一）过 D作DN /AE，交BC 于 N，UZDNB = ZACB，ZNDE = ZE，AB = AC ， zB = ZACB zB = ZDNBBD = DN又TBD = CEDN = EC在DNF和ECF中ZNDF = ZEDN = EC /

24、./DNF 幻CFDF = EF（证法二）过 E作EM /AB交BC延长线于M,贝U/EMB = ZB（过程略）常过一腰上的某一已知点做底的平行线D在BA延长线上，且 AD = AE，连结DE例：已知，如图， ABC中，AB =AC，E在AC 上,NFA IeB C求证：DE丄BC证明：（证法一）过点 E作EF/BC交AB于F,则ZAFE = ZBZAEF = ZCTAB = AC ZB = ZC ZAFE = ZAEFTAD = AE JAED = ZADE又v/AFE + ZAEF +ZAED + ZADE = 180 2 ZAEF + 2 ZAED = 90 即/FED = 90 DE

25、丄 FE又TEF/BCDE 丄 BC（证法二）过点 D作DN /BC交CA的延长线于N，（过程略）（证法三）过点 A作AM /BC交DE于M ，（过程略）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形-等边三角形例：已知，如图， ABC 中，AB = AC，/BAC = 80 0 ,P 为形内一点，若/ PBC = 10 0 ZPCB = 30 0PAB的度数.解法一：以AB为一边作等边三角形，连结 CE贝U/BAE = /ABE = 60 0AE = AB = BEAB = ACAE = ACZABC = ZACBSEC = ZACE zEAC = ZBAC -ZBAE=80 0 -60 0 = 20

26、 01C zACE =(180 0 -ZEAC)= 80 021 zACB=(180 0 -ZBAC)= 50 02 zBCE = ZACE -ZACB=80 0 - 500 = 30 0 zPCB = 30 0/zPCB = /BCE ZABC = ZACB = 50 0, ZABE = 60 0 ZEBC = ZABE-ZABC = 60 0 -500 =10 0 zPBC = 10 0SBC = ZEBC在BC 和EBC 中ZPBC = ZEBCBC = BCZPCB = ZBCE BC 幻BCBP = BEAB = BEAB = BP Z3AP = ZBPA ZABP = ZABC -

27、 ZPBC = 50 0 - 100 = 40 01/PAB =(180ZABP)= 70 02解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。解法三：以BC为一边作等边三角形 BCE，连结AE,则60 0EB = EC = BC，ZBEC = ZEBC =VEB = ECE/E在BC的中垂线上同理A在BC的中垂线上A所在的直线是BC的中垂线/EA 丄 BC1ZAEB =ZBEC = 30 0 = ZPCB2由解法一知：Z ABC = 50 0/ABE = ZEBC/ABC = 10 0 = ZPBCv/ABE = /PBC,BE = BC, /AEB = ZPCB/BE 幻/PBC AB = B

28、P/BAP =ZBPAv/ABP =ZABC ZPBC = 50 0 10 = 40 0/PAB =-(180 0ZABP) =1(180。 40。)= 70 02 2规律35.有二倍角时常用的辅助线构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角例：已知，如图，在 ABC中，/1 = /，/ABC = 2/C,求证：AB + BD = AC证明：延长 AB至U E，使 BE = BD，连结DE贝 U/BED= ZBDEv/ABD = ZE+ ZBDE/ABC =2 ZEv/ABC = 2 ZC/zE = ZC在AED 和ACD平分二倍角ZE = ZC/1 = Z2AD = AD/ZAED zA

29、CDAC = AEVAE = AB + BE/AC = AB + BE即 AB + BD = AC例：已知，如图，在 ABC中,BD丄AC于D，ZBAC = 2ZDBC求证：Z ABC = ZACB证明：作Z BAC的平分线AE交BC于E，贝 UZBAE =ZCAE =ZDBCVBD 丄 AC /zCBD +/C = 90 0 /ZCAE + ZC= 90 0 v/AEC= 180 0 ZCAE ZC= 90 /AE 丄 BC /ABC + ZBAE = 90 0 v/CAE + ZC= 90 0 /BAE = ZCAE /ZABC = ZACB加倍小角例：已知，如图，在 ABC中，BD丄AC

30、于D，ZBAC = 2ZDBC求证：Z ABC = ZACB证明：作Z FBD = ZDBC,BF交AC于F （过程略）规律36.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来例：已知，如图， ABC中，AB = AC，/BAC = 120 0, EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F,交AB于1求证：BF = FC2证明：连结AF ,_则AF = BF/zB = /FABTAB = AC /zB = ZCTzBAC = 120 01/ZB = ZCZBAC =(180 0 ZBAC) = 30 0C2/FAB = 30 0/FAC = ZBAC ZFAB = 120 0 300 =9

31、0 0又 t/C = 30 01AF =FC21BF =FC2练习：已知，如图，在 ABC中，ZCAB的平分线 ADAC延长线于N求证：BM = CN与BC的垂直平分线 DE交于点D，DM丄AB于M ，DN丄规律37.有垂直时常构造垂直平分线.例：已知，如图，在 ABC中，ZB =2 ZC，AD丄BC于D求证：CD = AB + BD证明：（一）在CD上截取DE = DB，连结AE，_KU AB =/ZB = ZAEBTZB = 2 ZC/ZAEB = 2 ZC又TZAEB = /C+ ZEAC/ZC = ZEACAE/AE = CE又TCD = DE + CE/CD = BD + AB(二)

32、延长 CB 至U F，使 DF = DC，连结 AF则AF=AC（过程略）规律38.有中点时常构造垂直平分线.例：已知，如图，在 ABC 中，BC = 2AB, ZABC = 2 /C,BD = CD求证：AABC为直角三角形证明：过 D作DE丄BC，交AC于E,连结BE,_KU BE = CE ,/zC = ZEBCvzABC = 2 ZC/ABE = ZEBCVBC = 2AB，BD = CD/BD = AB在ABE和DBE中AB = BDZABE = ZEBCBE = BE /ZABE zDBE /Z3AE = ZBDEVZ3DE = 90 0/Z3AE = 90 0即ZABC为直角三角

33、形规律39.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题 例：已知，如图，在 ABC中，ZA = 90 0，DE为BC的垂直平分线求证：BE2 - AE2 = AC 2证明：连结 CE，_KU BE = CEvZA = 90 0AE2 + AC2 = EC 2AE2 + AC2= BE2BE2 AE2 = AC 2练习：已知，如图，在 ABC中，Z BAC = 90 0，AB = AC，P为BC上一点求证：PB2 + PC2= 2PA 2C规律40.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中例：已知，如图，在 ABC 中，ZB = 45 0，ZC = 30 0，AB =.

34、2，求 AC 的长.解：过A作AD丄BC于D/Z3+ ZBAD = 90 0，VZ3 = 45 0，ZB = ZBAD = 45 0TAB2 = AD 2+ BD2，AB =/AD = BDAD = 1 /ZC = 30 0，AD 丄 BCAC = 2AD = 2四边形部分规律41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半例：已知，DKBCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点OMOB的周长比厶BOC的周长多8cm，求这个四 边形各边长.解：丁四边形ABCD为平行四边形/AB = CD , AD = CB , AO = COTAB + CD + DA + CB = 60AO + A

35、B + OB - (OB + BC + OC) = 8AB + BC = 30 , AB - BC =8.AB = CD = 19, BC = AD = 11答：这个四边形各边长分别为19cm、11cm、19cm、11cm.规律42.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差 （例题如上）规律43.有平行线时常作平行线构造平行四边形 例：已知，如图， Rt AABC , ZACB = 90 , CD丄AB于D , AE平分ZCAB交CD于F,过F作FH /AB交BC于H求证：CE = BHB四边形证明：过F作FP/BC交AB于P,则四边形FPBH为平行/zB = Z

36、FPA, BH = FP/zACB = 90 , CD 丄 AB/z5 + ZCAB = 45 ，/B +/CAB = 90 /z5 = ZB/z5 = ZFPA又 t/1 = Z, AF = AF/ZCAF 幻/PAF/CF = FP也=Z1 +Z5 , Z3 = Z2 +ZB/z3 = Z4/CF = CECE = BH练习：已知，如图， AB /EF/GH , BE = GC求证：AB = EF + GH规律44.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段例：已知，如图，在 DKBCD中，AB = 2BC，M为AB中点求证：CM丄DM证明：延长DM、CB交于N丁四边形ABCD为平行

37、四边形 AD = BC , AD /BCZADN= ZN又 VAM = BM /AMD 幻MN AD = BNTAB = 2BC , AM = BMBN = BCBM = BC = BN/Z = Z2, Z3 = ZNVZ +Z2+Z3 + /N = 180 /Z +Z3 = 90 CM 丄 DM规律45.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等如图:OE = OF规律46.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半1女口图：S/BEC =SDKBCD2规律47.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相

38、邻的两个三角形的面积之和等于平 行四边形面积的一半.如图：S/AOB + SADOC = S /3OC + S/AOD =1SDKBCD2规律48.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相等 如图：AO2 + 0C2 = BO 2 + DO2D规律49.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形如图：四边形GHMN是矩形（规律45 规律49请同学们自己证明） 规律50.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线例：已知，如图，E为矩形ABCD的边AD上一点，且BE = ED , P为对角线BD上一点，PF丄BE于F, PG丄AD求证：PF+ PG = AB证明：证法一：过 P

39、作PH丄AB于H ,则四边形AHPG为矩形AH = GPPH /AD/zADB =ZHPBVBE = DE/zEBD =ZADB/zHPB =ZEBD又TZPFB = ZBHP = 90 /ZPFB 幻HP/HB = FPAH + HB = PG + PF即 AB = PG + PF证法二：延长GP交BC于N，则四边形 规律51.直角三角形常用辅助线方法：ABNG为矩形，（证明略）作斜边上的高例：已知，如图，若从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与/ BAD的平分线交于点 E求证：AC = CE证明：过A作AF丄BD，垂足为尸，_则AF/EG/zFAE = ZAEG丁四边形ABCD为矩形/

40、BAD = 90 OA = OD/zBDA = /CADAF 丄 BD/ABD + /ADB =/ABD + /BAF = 90 /zBAF = /ADB = /CADAE为/BAD的平分线/BAE = /DAE/BAE-/BAF = /DAE -/DAC即 ZFAE = /CAE/CAE = ZAEGAC = EC作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线:有斜边中点时例：已知，如图， AD、BE是ABC的高，F是DE的中点，G是AB的中点求证：GF丄DE证明：连结GE、GDTAD、BE是ABC的高，G是AB的中点11/GE = AB，GD = AB22/GE = GDVF是DE的中点GF 丄

41、DE有和斜边倍分关系的线段时1例：已知，如图，在 ABC中，D是BC延长线上一点，且 DA丄BA于A，AC = BD2求证：/ ACB = 2 ZB证明：取BD中点E，连结AE，_则AE = BE =1BD2/Z = ZB1VAC =BD2AC = AE/ZACB = Z2VZ = Z1 + ZBD/Z = 2 ZB/ZACB = 2 ZB规律52.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等例：已知，如图，过正方形 ABCD对角线BD上一点 求证：AP = EF 证明：连结AC、PCV四边形ABCD为正方形/BD 垂直平分 AC，/BCD = 90 0/AP = CPVPE BC，P

42、F 丄CD，ZBCD = 90 0/四边形PECF为矩形PC = EF/AP = EF规律53.有正方形一边中点时常取另一边中点例：已知，如图，正方形 ABCD中，M为AB的中点， 求证：MD = MN证明：取AD的中点P，连结PM，则DP = PA =V四边形ABCD为正方形P，作 PE丄BC 于 E，作 PF丄 CD 于 FMN丄MD，BN平分ZCBE并交MN 于N1AD2/AD = AB, ZA = ZABC = 90 0/Z + ZAMD = 90 0，又 DM 丄 MN/Z + ZAMD = 90 0/Z = Z2VM为AB中点NAMB1AM = MB =AB2DP = MBAP =

43、 AM/zAPM = ZAMP = 45 /DPM =1350TBN 平分ZCBE/CBN = 45 0ZIBN = ZMBC + /CBN = 90。+ 45= 135 0即ZDPM = ZMBNZDPM 幻JMBNDM = MN注意：把M改为AB上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。练习：已知，Q为正方形ABCD的CD边的中点，P为CQ上一点，且 AP = PC + BC求证：/BAP = 2 ZQAD规律54.利用正方形进行旋转变换可以把图形的某部分绕相等邻边的公共端点旋转到另一位置旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时, 的引辅助线方法.旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，

44、从而为证题创造必要的条件旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中例：已知，如图，在 ABC中，AB = AC，ZBAC = 90 ，D为BC边上任一点求证：2AD 2 = BD 2 + CD2证明：把厶ABD绕点A逆时针旋转90得ACE/BD = CEZB = ZACET/BAC = 90 ECZDAE = 90 DE2 = AD 2 + AE2 = 2AD 2TZ3+ ZACB = 90 ZDCE = 90 CD2 + CE2 = DE 2/2AD 2 = BD 2+ CD2注意：把厶ADC绕点A顺时针旋转90也可，方法同上。练习：已知，如图，在正方形 ABCD中，E为AD上一点，B

45、F平分Z CBE交CD于F求证：BE = CF + AE规律55.有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三角形例：如图，在正方形 ABCD中，E、F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点求证：AP = AB证明：延长 CF交BA的延长线于 K丁四边形ABCD为正方形BC = AB = CD = DA/BCD = ZD = /BAD = 90 TE、F分别是CD、DA的中点11/CE =CD DF = AF = AD22/CE = DF /ZBCECDF/ZCBE = /DCFTZBCF + ZDCF = 90 0/Z3CF + ZCBE = 90 0BE 丄 CFDF

46、 = AF/1 = /又t/d = /DAK = 90 0 /ZCDF 幻zKAF CD = KABA = KA又TBE丄CFAP = AB练习：如图，在正方形ABCD 中，Q 在 CD 上，且 DQ = QC , P 在 BC 上，且 AP = CD + CP求证：AQ平分/ DAP规律56.从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形例：已知，如图，等腰梯形 ABCD中，AD /BC，AD = 3，AB = 4，BC = 7 求/B的度数解：过A作AE /CD交BC于E,则四边形AECD为平行四边形/AD = EC， CD = AE.Ab = CD = 4,AD = 3, BC = 7BE = AE = AB = 4 BE为等边三角形/zB = 60 0规律57.从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个三角形例：已知，如图，在梯形 ABCD 中，AD /BC，AB = AC，ZBAC = 90 0，BD = BC，BD 交 AC 于 O 求证：CO = CD证明：过A、D分别作AE丄BC，DF丄