二阶电路的定义二阶电路是含有两个独立储能元件的线性定常电路

1、二阶电路的定义 二阶电路是含有两个独立储能元件的线性定常电路。描述这种电路的方程是二阶线性常微分方程。由电阻器、电感器和电容器串联或并联而成的电路是最简单的二阶电路。这里将通过RLC串联电路（见图6.1）来讨论二阶电路的零输入响应。图6.1 RLC串联电路电容器的周期性放电的物理解释 假设图6.1所示电路中的电容器已被充过电，vC(0)=V0。在t=0时将开关合上后，电容器就开始放电。起初，电容器正极板上的正电荷通过电阻器、电感器流向负极板，形成放电电流入i，而电压vC因正负极板上电荷的互相抵消将逐渐减小；与此同时，其内储存的电场能量也将向外释放而逐渐下降。减小的能量一部分是用来补偿放电电流i

2、流经电阻器所产生的损耗，另一都分是作为磁场能量储存在电感器中。这样一直持续到vC0和电容器中的电场能量全部放完，或者说放电完毕。但这并不意味着整个电磁过程的结束，因为现在电感器内已储有磁场能量，这部分能量将紧接着释放出来继续维持电路中的电流，并使其保持原来方向不变。于是，电容器现在开始被反方向充电，其两个极板的极性互换。另外，在此期间电感器放出的磁场能量除少量消耗于电阻器中，其余的都变成了电容器中的电场能量。这样又一直持续到电感器的磁场能量全部放光和电流i变为零。此时又因电容器内有电场能量和vC0，电路内的电磁过程仍将继续进行，不过现在是电容器开始反方向放电。以后放电完毕又将充电，反复进行，循

3、环不已。但因电流i通过电阻器时总耗费掉一部分能量，所以在每次充电过程结束时，电压vC的最高值总要比前一次低，而且到最后能量将被电阻器耗尽，电路中的全部电流、电压也都衰减为零。至此，过程才告结束。在上述的放电过程中，vC及i等的方向是不断改变的，称这种放电过程为电容器的周期性放电或振荡性放电。电容器的非周期性放电的物理解释 若电阻器的电阻值比较大，则电容器放电时消耗于电阻器中的能量就比较多，而转入电感器中的磁场能量也就比较少。可以设想，当电阻器的电阻值超过某一限度时，电容器在第一次放电过程的初期，所放出的能量就会只有极小的一部分转变为磁场能量，而大部分是被电阻器消耗掉，致使在第一次放电过程的后期

4、电容器中剩下的能量不足以补偿电阻器的消耗，而必须把储存于电感器中的磁场能量也全部放出才能满足电阻器的消耗。在这种情况下，电容器不会再被反方向充电，vC和i等直到衰减为零也不改变方向。这种放电过程称为电容器的非周期性放电或非振荡性放电。上面对零输入下RLC串联电路内部出现的电磁过程进行的物理解释，定性地说明了电路的零输入响应i和vC等的变化情况。定量分析 下面再对零输入响应作数学上的定量分析。对图6.1所示电路列出KVL方程 (6.1)若取电流i作为要讨论的零输入响应，则将立式对t求导一次，并注意到便有 t0 (6.2)给定的初始条件是vC(0)=V0 (6.3)i(0)=iL(0)=0 (6.

5、4)将t0代入式(6.1)，得= (6.5)以式(6.4)和(6.5)为初始条件的微分方程(6.2)的解便是零输入响应i。令此解为 (6.6)于是有 (6.7)和 (6.8)将它们代人式(6.2)便知式(6.2)的特征方程为 (6.9)特征根为 (6.10)特征根又称固有频率。若令 (6.11) (6.12)则特征根又可写成 (6.13) (6.14)二阶齐次常微分方程的通解即零输入响应为 (6.15)上面所引入的参数a和w0分别称为电路的阻尼常数和谐振（角）频率，参数w0是以rads（弧度秒）为度量单位。其中s1和s2的表达式见式(6.13)和式(6.14)。零输入响应i的形式将取决于固有频

6、率s1和s2是实数还是复数，而s1和s2又依赖于参数a和w0(或者说R、L和C)的相对大小。其相对大小可分为，、和 a=0(R=0)四种情况。与此四种情况相对应的固有频率s1和s2将是：不等负实数、相等负实数、共轭复数和共轭虚数。同时，零输入响应也相应地被分为过阻尼、临界阻尼、欠阻尼和无阻尼（或无损耗）四种类型。下面讨论这四种不同情况的零输入响应i、vC、vL和由i（或vC）所表征的电容器放电过程。过阻尼(1) aw0，即的情况此时两个固有频率s1和s2为不等负实根，响应i为两个衰减指数函数之和，即 t0将初始条件i(0)=0代入上式，有k1+k2=0 (6.16)将i的表达式对t求导，有(6

7、.17)再将初始条件代入，得 (6.18)由式(6.16)和(6.18)可定出k1和k2 (6.19) (6.20)将k1和k2代入i的表达式便得RLC串联电路的零输入响应t0(6.21)根据可以求出电感器的端电压 t0 (6.22)根据式(6.1)可知 将已知的vL和i代入上式可得电容器上的端电压 t0 (6.23)根据关系式也可求出上式。由于固有频率s10、s20及|s2|s1|，当t从0变到时，es1t比es2t衰减得慢，差值es1t-es2t永远为正（见图6.2），结果使得电流i永不改变方向，而且在V00的条件下永远是负的。由此可见，电容器在全部时间内一直是在放电。电容器的这种单向放电

8、称为非周期性（非振荡）放电或者称为过阻尼放电。 图6.2指数曲线es1t、es2t以及两者之差 图6.3 RLC申联电路中电容器非周期性放电 时电流、电压的变化曲线对式(6.21)微分，并令，得由此可知，在时，电流i的绝对值达到最大，而电感器的端电压vL此时为零。从式(6.22)也很容易求得vL达到最大值的时刻i、vL、vC及vR的波形均画在图6.3中。根据图6.3可以分析电路中的能量过程。由图可见，在0ttm的期间内，vC为正，vL和vR以及电路中的电流i都是负的，它们的实际方向如图6.4所示，这说明电容器的电压vC一部分是用来平衡电感器上的电压vL，另一部分是用来平衡电阻器上的电压vR，而

9、且由于电流i与电压vC反方向，pC=vCi0，表明电容器放出电场能量；电流i与电压vL及vR同方向，pL=vLi0，及pR=vRi0,表明二者都在吸收能量，二者所吸收的能量之和等于电容器放出的能量。能量的这种转换关系见图6.4，图上以箭头之首表示能量的去处，箭头之尾表示能量的来处。图6.4 0ttm期间电流、电压的实际方向及能量转换关系图6.5 tmt期间电流、电压的实际方向及能量转换关系在t=tm时，vL变为零，vC与vR相平衡。在这一瞬间电感器不吸收功率，即pL=vLi=0，电容器放出的能量全被电阻器吸收。过此瞬间后，在tmt的期间内除了电感器的电压vL变更了符号外，其余各量均维持原有的符

10、号不变，此时各量的实际方向如图6.5所示。按照当前vC、vL和vR的方向，有vC+vL=vR即由电容器的电压和电感器的电压共同来平衡电阻器的电压。由于电流i和电压vC、vL的方向相反，所以在这段时间内一直是pL=vLi0及pC=vCi0，至于电流i电压vR却永远同向，故pR仍旧大于零。这种情况说明从t=tm以后，电阻器消耗的能量是由电容器和电感器共同供应的此时能量的转换关系见图6.5，图上箭头之首尾分别表示能量的去处与来处。在此电路中，若减小L的值，电流i的绝对值的上升会加快，电压vC的减小也要加快。当L的值减为零时，则成为电容器对电阻器放电的情况。临界尼性(2) a =w0即的情况此时，两个

11、固有频率s1及s2为相等的负实数，即s1=s2=-a。响应i为 (6.24)式中的常数k3和k4可以根据已给定的初始条件来确定。将t=0和i(0)=0代入上式，有i(0)= k3=0 (6.25)对式(6.24)微分后，再代入t=0和初始条件，又有 (6.26)将k3、k4代入式(6.24)便求出 t0 (6.27)由上式可见，此时电容器的放电过程也是非周期性的，基本上与上面所讨论的情况相似。因为R或a再减小时，固有频率将由负实数变为复数，并使得放电过程变为周期性的，所以，现在所讨论的电容器放电是一种临界情况。正因为如此，称这种放电过程为临界非周期性放电和临界过阻尼性放电，并把此时的电阻值称为

12、临界电阻。在这种情况下的电感器电压 t0 (6.28)电容器电压 t0 (6.29)若令,即可知在 时，电流i达到负的最大值。至于vL达到最大值的时刻可由定出。由上式可得此时刻为在这种情况下，电流i和电压vC以及vL的波形与图6.3中的诸波形相类似，能量过程与上一种情况下的相同。欠阻尼(3) 0，即的情况此时是负的，因此两个固有频率s1及s2是一对共轭复数。若令则有 (6.30a)和 (6.30b)响应i为 (6.31)待定常数k5和k6可根据给定的初始条件式(6.4)和(6.5)定出。将t=0及i(0)代入式(6.31)，得k5+k6=0 (6.32)对式(6.31)微分，有 再将t=0及代

13、入，得 (6.33)由式(6.32)和(6.33)解得 (6.34) (6.35)于是 t0 (6.36)根据可得 t0 (6.37)其中 (6.38) (6.39) (6.40)根据KVL可得 t0 (6.41)从i、vL和vC的表达式中都含有可以看出，i、vL和vC的放电情况是一种周期性（振荡性）的衰减放电，或者说欠阻尼放电。电流i、电压vC及vL的变化曲线均画在图6.6中。至于电阻器上的电压vR的变化曲线，因vR=Ri，故可通过选取适当的标尺用i的变化曲线来代表。由图可见，i及vR在wdt=kp(k=0，1，2，)时通过零点；vL在时通过零点和vC在时通过零点。在图6.7上表示出在第一个

14、半周期的三段时间内i、vC、vL和vR的实际方向以及电路内能量的转换关系。在0tt1这段时间相当于图6.6上的区间(0,wdt1)内，i与vC反向，但与vL以及vR同向，因此，PC=vCi0，pL=vLi0和pR=vR0这说明电容器在放出电场能量，电感器和电阻器在吸取能量，前者将所得能量储存于磁场中，后者将所得能量变为热量而消耗掉。在t1tt2这段时间相当于图 6.6中的区间(wdt1，wdt2)内，i与vC和vL均反向，只与vR同向，因此PC=vCi0和pL=vLi0而pR=vR0,这说明此时除电容器继续放出电场能量外，电感器也在放出磁场能量，二者共同供电阻策来消耗。当t=t2（相当于图6.

15、6中的wdt2）时，vC=0，电容器中的电场能量已放完，但由于电感器中磁场能量的支持,i得以继续流通，且不改变方向。于是，从此开始，在t2tt3这段时间相当于图6.6中的区间(wdt2，wdt3)内，电容器被反方向充电。电感器继续放出磁场能量，其中除一部分被电阻器消耗掉外，余下的部分全为电容器吸收，变成电场能量。至t=t3（相当于图6.6中的wdt3）时，i为零，表明电感器中的磁场能量已经放完，电容器也反方向充电完毕。过了t3以后。电容器因储有电场能量又要开始进行反方向放电，于是上述电磁过程又要在反方向上进行。显然这种循环不已的电磁过程直至电路中的电磁能量全被电阻器耗尽才告结束。图6.6 在有

16、阻尼周期性振荡性放电时，电路的电流、电压波形在L和C不变的情况下，R的变化（即a的变化将影响到振荡的角频率和周期。R越大（即a越大），wd便越小和周期T也越长，当（即a=w0）时，wd =0，T=，于是过程将失去振荡的性质而转化）变成非振荡性的或者说非周期性的。反之，R越小（即a越小），过程就衰减得越慢。当R=0时，就成为无阻尼的第四种情况。图6.7 在三段不同的时间内电流、电压由实际方向和电路中能量转换关系无阻尼(4) a=0，即R=0的情况此时因a=0，而wd=w0，所以电路的两个固有频率s1和s2是一对共轭虚根，即s1=jw0 和 s2=-jw0因为a=0，此时的将a、wd和b的值代入式

17、(6.36)、(6.37)和(6.41)，可得 t0 (6.42) t0 (6.43) t0 (6.44)由上列诸式可知,i、vL和vC都是在按正弦规律振荡，并不衰减，所以振荡是无阻尼的。振荡的角频率是w0，称之为无阻尼振荡的角额率（在正弦稳态分析中还称之为RLC串联电路的谐振频率），显然在这种情况下的放电过程是无阻尼的或者说是不衰减的，因此我们称现在的放电过程为无阻尼周期性（振荡性）放电。固有频率在s平面上的分布和相应的零输入响应在上述四种情况下，电路的固有频率（即特征根）在s平面上的位置是不同的。当在s平面上取横轴为实轴、纵轴为虚轴，则在过阻尼的情况下（aw0，即时），两个固有频率将因是不

18、同的负实数而位于负实轴的两个点上；在临界阻尼的情况下（a=w0，即时），两个固有频率将因相等，且皆为负实数而共处于负实轴的一个点上；在欠阻尼的情况下（aw0，即时），两个固有频率将因是共轭复数-a+jwd 和-a-jwd而位于虚轴之左侧，且对实轴互为镜像的两点上；在无阻尼的情况下（a=0，即R=0时），两个固有频率将因是共轭虚数+jw0和-jw0，而位于虚轴上两个与原点对称的点上。现将上述四种情况下固有频率在s平面上的分布图和与之相应的零输入响应i的波形图分别画在图6.8(a)，(b)，(c)和(d)中。从这种图中能清晰地看出因固有频率在s平面上位置的改变对零输入响应波形所产生的影响，并且可以

19、明确地作出以下的结论：（1）当电路的固有频率位于s平面的负实轴上，电路的零输入响应必是衰减非周期性（非振荡性）类型的，或者说，是过阻尼型的（其中包括临界阻尼型的）。（2）当电路的固有频率位于左半s平面内，但不包括位于负实轴上，电路的零输入响应必是衰减周期性（振荡性）类型的，或者说，是欠阻尼型的。（3）当电路的固有频率位于s平面的虚轴上，电路的零输入响应必是无衰减周期性（振荡性）类型的，或者说，是无阻尼型的。经过以上讨论，可知由电路元件的参数R、L、C和电路拓扑结构决定的两个辅助参数a及w0影响着电路零输入响应的波形。a代表零输入响应的衰减特性，它的大小决定了衰减的快慢；w0代表零输入响应无阻尼振荡时的角频率，它的大小决定了振荡的快慢。另外w0与a共同组成的代表零输入响应有阻尼振荡时的角频率，其大小也决定着振荡的快慢。图 6.8 固有频率在s平面上的分布及与之相应的零输入响应波形图品质因数现在再定义一个辅助参数Q (6.45)通过量纲分析可知Q是一个纯数，称为品质因数。不难看出，Q值