二次函数性质的再研究

1、4 二次函数性质的再研究1二次函数的图像变换及参数a，b，c，h，k对其图像的影响(1)函数yx2和yax2(a0)的图像之间的关系二次函数yax2(a0)的图像可由yx2的图像各点的纵坐标变为原来的a倍得到，参数a的取值不同，函数及其图像也有区别，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小当a0时，二次函数yax2的图像开口向上，当a0时，图像开口向下而且，当a0时，a的值越大，函数yax2的图像开口越小，a的值越小，函数yax2的图像开口越大；当a0时，a的值越小，函数yax2的图像开口越小，a的值越大，函数yax2图像开口越大也就是说，|a|越大，抛物线的开口越小；反之，|a|

2、越小，抛物线的开口越大(2)函数yax2和ya(xh)2k(a0)的图像之间的关系函数ya(xh)2k(a0)的图像能够由函数yax2(a0)的图像向左(h0)或向右(h0)平移|h|个单位，再向上(k0)或向下(k0)平移|k|个单位得到h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”可简记为“左加右减，上加下减”因为只实行了图像的平移变换，所以函数ya(xh)2k(a0)的图像与函数yax2(a0)的图像形状相同，仅仅位置不同(3)函数yax2和yax2bxc(a0)的图像之间的关系二次函数yax2bxc(a0)通过配方

3、能够得到其恒等形式ya(xh)2k(a0)，从而能够知道，由yax2的图像如何平移就得到yax2bxc(a0)的图像对于二次函数yax2bxc(a0)，即(a0)，二次项系数a决定着函数图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小；b和a共同决定抛物线对称轴的位置，抛物线的对称轴是直线，它是一条平行于y轴或与y轴重合的直线；a，b，c共同决定抛物线顶点的位置，c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置，当c0时，抛物线经过坐标原点，当c0时，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，当c0时，交点在y轴的负半轴【例11】(1)由y2x2的图像，如何得到y2(x1)23的图像？(2)把y2x2的图

4、像，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，能得到哪个函数的图像？(3)将函数y4x22x1写成ya(xh)2k的形式，并说明它的图像是由y4x2 的图像经过怎样的变换得到的？解：(1)把y2x2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度就得到y2(x1)23的图像(2)把y2x2的图像，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，就得到函数y2(x3)24，即y2x212x22的图像(3)y4x22x1.把y4x2的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，就可得到函数y4x22x1的图像【例12】在同一坐标系中作出下列函数的图像，并分析如何把yx2的图像变换成y2x24

5、x的图像(1)yx2；(2)yx22；(3)y2x24x.分析：解答本题可就每个函数列表、描点连线，作出相对应图像，然后利用图像以及二次函数的平移变换规律分析yx2与y2x24x的图像之间的关系解：(1)列表：x3210123yx29410149yx227212127y2x24x301660206描点、连线即得相对应函数的图像，如图所示(2)y2x24x2(x22x)2(x22x11)2(x1)22.由yx2到y2x24x的变化过程如下方法一：先把yx2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y2x2的图像，然后把y2x2的图像向下平移2个单位长度得到y2x22的图像，最后把y2x22的图像

6、向右平移1个单位长度得到y2(x1)22，即y2x24x的图像方法二：先把yx2的图像向右平移1个单位长度得到y(x1)2的图像，然后把y(x1)2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y2(x1)2的图像，最后把y2(x1)2的图像向下平移2个单位长度便可得到y2(x1)22，即y2x24x的图像析规律 yx2与其他二次函数的关系所有二次函数的图像均能够由函数yx2的图像经过变换得到，变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式，再确定变换的步骤常用的变换步骤如下：yx2yax2yax2kya(xh)2k，其中a决定开口方向及开口大小(或纵坐标的拉伸)；h决定左、右平移，k决定上、下平移【例1

7、3】已知二次函数f(x)ax2bxc与函数y2x23x有相同的开口方向和大小，与函数有相同的对称轴，与函数y4x2x1在y轴上有相同的交点(1)求f(x)(2)由yx2的图像能得到f(x)的图像吗？分析：(1)根据a，b，c对f(x)的图像影响，由y2x23x确定a，由确定b，由y4x2x1确定c；(2)由yx2的图像得f(x)的图像要分步骤：yx2yax2ya(xh)2ya(xh)2k，因此先将f(x)的解析式化为f(x)a(xh)2k的形式解：(1)f(x)与y2x23x有相同的开口方向和大小，a2.f(x)与函数有相同的对称轴，.又a2，b1.f(x)与函数y4x2x1在y轴上有相同的交

8、点(0，1)，c1.f(x)2x2x1.(2)f(x).将函数yx2图像的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数y2x2的图像；将函数y2x2的图像向右平移个单位，再向下平移个单位得到函数的图像，即函数y2x2x1的图像谈重点 由yx2的图像得到yax2bxc的图像的基本要求解决本题的关键是明确a，b，c对函数yax2bxc(a0)图像的影响以及利用配方法将yax2bxc化为ya(xh)2k的形式，这是一项基本要求，往往由于配方过程中出现错误导致后面解答全部错误2二次函数图像的草图画法画二次函数的图像时，重点体现抛物线的特征“三点一线一开口”“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关

9、于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向根据这些特征，在坐标系中可快速画出抛物线的草图，使画图的操作更简便，使图像更精确【例2】画出函数y2x24x6的草图解：y2x24x62(x22x)62(x22x11)62(x1)2162(x1)28.函数图像的开口向上，顶点坐标为(1，8)，对称轴为直线x1.令y0得2x24x60，即x22x30，x1或x3，故函数图像与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)画法步骤：(1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，8)，(1，0)，(3,0)，画出直线x1；(2)连线：用光滑的曲线连点(1，8

10、)，(1,0)，(3,0)，在连线的过程中，要保持关于直线x1对称，即得函数y2x24x6的草图，如图所示3二次函数解析式的求法求二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，用待定系数法求之(1)当已知抛物线上任意三点时，通常设所求二次函数为一般式yax2bxc(a，b，c为常数，a0)，然后列出三元一次方程组求解(2)当已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式ya(xh)2k(其顶点是(h，k)，a0)(3)当已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标为(x1,0)，(x2,0)，则设所求二次函数为交点式ya(xx1)(xx

11、2)(a0)【例3】已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，3)，且经过点P(2,0)，求这个函数的解析式分析：本题已知图像上两点的坐标(1，3)和(2,0)，若不考虑已知点的特点，设二次函数的一般式yax2bxc(a0)似乎差一个条件，但注意到点(1，3)是抛物线的顶点，再利用对称轴方程，就可以列出关于a，b，c的三元一次方程组，从而得解；根据顶点坐标是(1，3)，也可设二次函数的顶点式ya(x1)23(a0)，只需将点P(2,0)的坐标代入，即可求出a；若看到P(2,0)点是图像与x轴的交点，利用对称性即可求出图像与x轴的另一个交点，设二次函数的交点式ya(xx1)(xx2)也能求解解：(方法

12、1)设所求函数的解析式为yax2bxc(a0)，由题意，得解得所求函数的解析式为y3x26x.(方法2)设所求函数的解析式为ya(x1)23(a0)，由图像经过点P(2,0)，得a(21)230，解得a3.所求函数的解析式为y3(x1)23，即y3x26x.(方法3)二次函数的图像的顶点坐标为(1，3)，其对称轴为直线x1.又图像与x轴的一个交点坐标为P(2,0)，由对称性可知，图像与x轴的另一个交点坐标为(0,0)可设所求函数的解析式为ya(x0)(x2)(a0)图像的顶点坐标是(1，3)，a(10)(12)3，解得a3.所求函数的解析式为y3x(x2)，即y3x26x.析规律 二次函数图像

13、对称性的一个用途若二次函数yf(x)的图像与x轴的两个交点坐标为(x1,0)和(x2,0)，则其对称轴方程为，由此可以看出，已知二次函数的对称轴及其与x轴的一个交点坐标，即可求出另一个交点的坐标4二次函数的性质二次函数f(x)ax2bxc可以通过配方转化为f(x)，结合图像观察得到其主要性质，如下表：a0a0图像开口方向向上向下顶点坐标对称轴直线x单调区间f(x)在上是减少的，在上是增加的f(x)在上是增加的，在上是减少的最值当x时，函数取得最小值当x时，函数取得最大值由上表可以看出，函数的性质就是函数图像特征的具体描述，因此可借助于图像特征来理解记忆二次函数的主要性质以上大部分性质在初中都已

14、了解，新增加的是单调区间，所以，教科书首先通过图像观察得到函数的单调区间，然后利用单调性的定义进行了严格的证明，用定义证明函数单调性的方法和步骤在前面已经学过【例41】分别指出下列二次函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴方程，写出函数的单调区间及最大值或最小值(1)yx24x9；(2)y2x24x3.分析：首先将所给的二次函数解析式配方化成顶点式，然后利用图像研究其性质解：(1)yx24x9(x2)25，由于x2的系数是正数，所以函数图像开口向上；顶点坐标为(2,5)；对称轴方程为x2；函数在区间(，2上是减少的，在区间2，)上是增加的；函数有最小值，没有最大值，函数的最小值是5.(2)y2x

15、24x32(x1)21，由于x2的系数是负数，所以函数图像开口向下；顶点坐标为(1，1)；对称轴方程为x1；函数在区间(，1上是增加的，在区间1，)上是减少的；函数有最大值，没有最小值，函数的最大值是1.【例42】抛物线y8x2(m1)xm7的顶点在x轴上，则m_.解析：抛物线y8x2(m1)xm7的顶点在x轴上，其顶点的纵坐标0，即m230m2250，(m15)20，m15.答案：15析规律 抛物线顶点的用途抛物线yax2bxc(a0)的顶点坐标为，当顶点在x轴上时，其纵坐标0；当顶点在y轴上时，其横坐标0.【例43】若函数yx22(a1)x2在(，4上是减函数，则a的取值范围是()A(，3

16、B3，)C(，5 D5，)解析：易知函数yx22(a1)x2是二次函数，其图像的开口向上，对称轴是直线x1a，此函数在区间(，1a上是减少的，若函数在(，4上是减函数，则区间(，4是(，1a的子区间，故1a4，a3.答案：A5给定区间上二次函数的最值或值域的求法求二次函数的最值或值域，基本的方法是配方法，当限定在某个闭区间上时，关键是确定函数图像的开口方向和对称轴与所给区间的相对位置，结合函数图像确定该函数的单调性、最大值或最小值是在端点处取得还是在顶点处取得谈重点 f(x)ax2bxc(a0)在区间p，q上的最值一般地，二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p，q上的最值有下列四种情况

17、：(1)当p，即对称轴在区间p，q的左边时，画出草图如图，从图像上易得f(x)在p，q上是增加的，则f(x)minf(p)，f(x)maxf(q)(2)当p，即对称轴在区间p，q的左端点与区间中点之间时，画出草图如图.从图像上易得f(x)在p，q上的最值情况是f(x)minf，f(x)maxf(q)(3)当q，即对称轴在区间p，q的中点与右端点之间时，画出草图如图.从图像上易得f(x)在p，q上的最值情况是f(x)minf，f(x)maxf(p)(4)当q，即对称轴在区间p，q的右边时，画出草图如图.从图像上易得f(x)在p，q上是减少的，则f(x)minf(q)，f(x)maxf(p)【例5

18、】已知函数f(x)x22ax2，x5,5(1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)用a表示出函数在5,5上的最值；(3)求实数a的取值范围，使yf(x)在5,5上是单调函数分析：f(x)x22ax2(xa)22a2.(1)当a1时，由于对称轴x1在区间5,5内，则由图像知函数f(x)的最大值是f(5)，最小值是f(1)；(2)中对称轴xa，要根据对称轴与区间5,5的相对位置来讨论最值，因此要对对称轴的位置分类讨论； (3)切入点是单调函数，结合图像可知对称轴不能在区间5,5内部，因此也要讨论对称轴的位置解：(1)当a1时，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，其图像如图，由图可

19、知，图当x1时，f(x)取得最小值，f(x)minf(1)1.当x5时，f(x)取得最大值，f(x)maxf(5)(51)2137.(2)函数yf(x)(xa)22a2图像的对称轴为xa.当a5，即a5时，函数在区间5,5上是增加的，所以f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(5)2710a；当5a0，即0a5时，函数图像如图所示，由图可知，f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(a)2a2；当0a5，即5a0时，函数图像如图所示，图 图由图可知，f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(a)2a2；当a5，即a5时，函数在区间5,5上是减少的，所以f(x)m

20、inf(5)2710a，f(x)maxf(5)2710a.(3)由(2)可知若函数f(x)在区间5,5上是单调函数，则有a5或a5.析规律 利用二次函数图像的对称性求最值当函数的解析式中含有参数或给定的区间不固定时，求二次函数在此区间上的最值，应按开口方向或对称轴与所给区间的相对位置进行正确合理的讨论讨论时要考虑二次函数的对称轴在区间的某侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大6一元二次方程与二

21、次函数的关系一元二次方程与二次函数的关系是方程与函数关系的特例，是研究函数与方程关系的典范一元二次方程ax2bxc0(a0)的根就是相应的二次函数yax2bxc的函数值为0时的自变量x的值，从图像上看，就是抛物线与x轴交点的横坐标谈重点 二次函数与一元二次方程的联系当一元二次方程的判别式0时，方程有两个不相等的实数根，此时对应的二次函数的图像与x轴有两个不同的交点；当0时，方程有两个相等的实数根，此时对应的二次函数的图像与x轴只有一个公共点；当0时，方程没有实数根，此时对应的二次函数的图像与x轴没有交点当a0时，它们之间的关系如下图所示：求解一元二次方程根的问题，一般使用求根公式或根与系数的关

22、系，但有些问题用这种方法解决比较繁琐，甚至无法求解，此时若借助于二次函数及图像，则问题会转化为易于理解和表达的问题例如，实数a为何值时，关于x的一元二次方程x2(a1)x2a0有一根小于1，另一根大于1?显然，如果使用根与系数的关系或求根公式求解非常困难，我们可以利用相应的二次函数的图像解决该问题设f(x)x2(a1)x2a，画出该函数的图像(如下图)，方程的两根中一根小于1，另一根大于1，等价于函数的图像与x轴的一个交点在1的左侧，另一个交点在1的右侧，只需由此可解得a.通过上述实例，我们可以看到，借助函数利用数形结合的思想解决一元二次方程根的分布问题，使难以处理的问题转化的非常直观简单一般

23、情况下，用二次函数的图像处理一元二次方程根的分布问题，要从多个方面考虑使结论成立的等价条件，如判别式、对称轴、函数值的正负大小等【例61】已知f(x)1(xa)(xb)，并且m，n是方程f(x)0的两根，则实数a，b，m，n的大小关系可能是()AmabnBamnbCambn Dmanb解析：由f(x)1(xa)(xb)可知，二次函数f(x)的开口向下，且f(a)f(b)10.m，n是方程f(x)0的两根，f(m)f(n)0.由f(x)的图像可知，实数a，b，m，n的关系可能是mabn(如图所示)答案：A【例62】若方程在(1,1)上有实根，求k的取值范围分析：显然利用求根公式求解不可取，我们可

24、以利用相应二次函数的图像解决该问题，或将其转化为二次函数在区间(1,1)上的值域问题解：(方法1)设f(x)x2xk，函数f(x)的图像开口向上，对称轴为直线.若方程x2xk在(1,1)上有两实根，则函数f(x)的图像如图甲所示，故即.若方程在(1,1)上有一实根，则函数f(x)的图像如图乙、丙所示，故即.综上所述，实数k的取值范围是.(方法2)方程可以看作是k关于x的二次函数，配方得，其对称轴方程为，函数在区间上是减少的，在区间上是增加的(图像如图所示)由函数的单调性可知，此函数在区间(1,1)上的值域为，f(1)(1)2(1)，实数k的取值范围是.7二次函数在实际生活中的应用在实际生活中，有很多最优化问题可以通过建立二次函数模型，并借助二次函数的图像和性质加以解决，其解题的关键是列出二次函数解析式，转化为求二次函数的最值问题例如：某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元销售单价