第二讲直线与园的位置关系一圆周角定理学案(含解析)新人教A版选修4_1

1、圆周角定理#1. 圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.应当注意的是，圆周角与圆心角一定是对着同一条弧，它们才有上面定理中所说的数量关系.2. 圆心角定理(1) 圆心角的度数等于它所对的弧的度数，它与圆的半径无关，也就是说在大小不等的 两个圆中，相同度数的圆心角，它们所对的弧的度数相等;反过来，弧的度数相等，它们所 对的圆心角的度数也相等.(2) 圆心角(/ aob与它所对的弧(Ab)的度数相等，不能写成/ aob= Ab，正确写法 是/ aob勺度数=Ab的度数.3圆周角定理的推论(1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 相等.(1) 若

2、将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论不成立.(2) 相等的弧与相同度数的弧含义是不同的.只有弧的度数和弧的长度都相等的两条弧 才是等弧，即等弧一定有相同的度数，而有相同度数的弧不一定是等弧.(3) “相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”，应用推论时 要时刻记住这一点.(2)推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径.与圆周角定理相关的证明已知：如图， ABC内接于O O, D, E在BC边上，且BD= CE / 1 =/ 2.求证：AB= AC证明此题可先添加辅助线构造等弦、等弧的条件，再由圆周角定理及其推论证明.如图，延长 AD AE分别

3、交O O于F, G两点，连接 BF, CGA/ 1=7 2,二 BF = Cg , BF= CG BG = Cf ,/ FBD=Z GCE又 BD= CEBFDA CGE/ F=Z G Ab = Ac , ab- ac方法规律*小结利用圆周角定理证明等量关系时，主要是分析圆周角、圆心角、弧、弦之间的等量关系,有时需添加辅助线构造等弧、等角、等弦的条件.1.已知AD ABC勺高，人已是厶ABC勺外接圆的直径.求证：/ BAE=Z DAC证明：连接BE因为AE为直径，所以/ ABE= 90.因为AD ABC勺高,所以/ ADC= 90.所以/ ADC=Z ABE 因为/ E=Z C,/ BAE=

4、90/ E,/ DAC= 90/ C.所以/ BAE=/ DAC2.已知O O中，AB= AC D是BC延长线上一点， AD交O O于点E.求证：aB= AD- AEA证明：如图， ab= ac Ab = Ac . / ABD=/ AEB在厶ABE与 ADB中/ BAE=/ DAB/ AEB=/ ABD ABEA ADBAB AEACT AB即 aB= AD- AE5利用圆周角进行计算c如图，已知 BC为半O 0的直径，ADL BC垂足为 D, BF交AD于点E,且 AE= BE求证：Ab = Af ；3(2)如果 sin / FBC= 5, AB= 4 5,求 AD的长.BC为半O 0的直径

5、，连接 AC构造Rt ABC(1)证明：如图，连接 AC/ BC是O O的直径，/ BAC= 90,又ADL BC垂足为D,/ BAD=Z ACB在 AEB中, AE= BE/ ABE=Z BAE/ abf=z acb 即 Ab = Af .(2)设 DE= 3x,3/ ADL BC sin / FBC= 5 , BE= 5x , BD= 4x.AE= BE, - AE= 5x , AD= 8x.在 Rt ADB中 , / ADB= 90 , AB= 4 5 ,(8x)2+ (4 x)2= (45)2,解得 x= 1, AD= 8.方法规律小结与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算，不仅可以通

6、过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算.3.如图，直径为 侧OA弧上一点，则A.13和点O0,0) , B是y轴右二210的O A经过点C(0,5)cos / OBC勺值为()B.D.解析：选B法一：设O A与x轴另一个交点为 D, 连接CD如图所示.因为/ COD= 90,所以CD为O A的直径.又因为/ CBO与/ CDO为圆弧CO所对的圆周角，所以/ CBOZ CDO又因为C(0,5),所以OC= 5.在 Rt CDC中, CD= 10, CO= 5,根据勾股定理得0D= “JCD OC= 5 勺30D 5护 ,所以 cos / 0B

7、= cos / CD= 2，故选 B.法二：连接 AO AC 因为 OC= 5, AC= AO= 5,所以 ACO为等边三角形，/ CA= 60 ,1/ CB= 2/CAO= 30 ,所以 cos / CB= cos 304.已知，如图， abc内接于o o, Ab = Ac ,点d是Be上任意 点，AD与 BC交于点 E, AD= 6 cm , BD= 5 cm , CD= 3 cm ,求 DE的长.解： Ab = Ac ,/ ADB=Z CDE又 BD = BD , / BAD=/ ECD ABDh CEDAD BD CD= ED即 6=ED ED= 2.5 (cm).5.如图， ABC勺

8、角平分线 AD的延长线交它的外接圆于点E.证明： ABEA ADC(2) 若 ABQ的面积 S= 1,AD- AE求/ BAQ的大小.解： 证明：由已知条件可得/ BAE=Z QAD因为/ AEB与/ AQB是同弧上的圆周角，所以/ AEB=Z AQD故厶 ABEA ADC(2)因为 ABEA ADQAB AD所以 AF AC 即 ab- AC= AD- AE1 1 又 S= 2AB- AC- sin / BAQ 且 S= qAD AE所以 AB- AC- sin / BAC= AD- AE则 sin / BAC= 1.又/ BAC为三角形内角,所以/ BAC= 90.课时跟踪检测（六）、选择

9、题1.如图,ABC内接于O Q ODLBC于D,Z A= 50，则/ 0C的度数A. 40B. 25 C . 50D . 60解析：选连接QB因为/ A= 50，所以BC弦所对的圆心角/BQC= 100, / CQ*/ BQG 50, / QC90/ CQ90 50=40 .所以/ QCD= 40.2.如图，CD是O Q的直径，弦 ABL CD于点E,Z BCD= 25,则下列结论错误的是（）A. AE= BE B . QE= DE C . / AQD= 50D . D是 Ab 的中点解析：选B 因为CD是O Q的直径，弦 AB丄CD所以 Ad = Bd , AE= BE因为/ BCD= 25

10、,所以/ AOD= 2 / BCD= 50,故A、C D项结论正确，选 B.3. Rt ABC中, Z C-90,/ A= 30, AC= 2 3，则此三角形外接圆的半径为 （）A. 3 B . 2 C . 2 3D . 4解析：选B由推论2知AB为Rt ABC的外接圆的直径， 又AB=令。=4,故外接cos 30圆半径r = 1aB=2.114如图，已知 AB是半圆O的直径，弦 AD BC相交于点t 3, AB= 4,贝y tan / BPD等于（）A.3 B. 4 C. 5 D. 4333解析：选D连接BD 则Z BDP- 90./ CPDA APBCD_PD_ 3AeT Pb=4.fiP

11、,若在 Rt BPD中, cosPD 3Z bpdPBT 4,tan /bpd#、填空题5.如图， ABC为G O的内接三角形，AB为O O的直径，点D在O O上, / ADC 68，则Z BAC.解析：AB是OO的直径，所以弧 ACB的度数为180 ，它所对的圆周角为90，所以Z BAC 90Z ABC 90Z ADT 90 68 = 22.答案：22B D OC6.如图，A, E是半圆周上的两个三等分点，直径BCT 4, ADL BC垂足为D, BE与AD相交于点F,贝U AF的长为.解析：如图，连接 AB AC由A, E为半圆周上的三等分点，得Z FBD= 30,Z ABD= 60,Z

12、ACT 30.由 BC= 4,得 AB= 2, AD= 3, BD= 1,cDAD ACAC AE则 Di#，故 AF=答案：孚7.如图所示，已知O 0为厶ABO的外接圆，AB= AC= 6,弦AE交BC于点解析：连接 CE则/ AEC=Z ABC又乂 ABC中, AB= AC,AC 二 AE= AD= 9.答案：9三、解答题&如图，AB是O O的直径，弦CDL AB于点 N,点 M在O O上，/ 1 = Z C.若BC= 4, sin M=彳，求O O的直径.3解：（1）证明：因为/ C与/ M是同一弧所对的圆周角,所以/ C=Z M又/ 1=Z C,所以/ 1 = Z M所以CB/ MD内

13、错角相等，两直线平行）.由sinM=2,sin C= 3,BN 228所以 BN 2, BN=齐4= 8.所以O 0的直径为6. ADC ACE求证：CB/ MD由射影定理得:bC= BN- AB,贝y AB= 6.D,若 AD= 4,则 AE=:丄 ABC=Z ACB:丄 AEC=Z ACB9.如图，已知 ABC内接于圆,D为Be的中点，连接 AD交BC于点E求证:AE BE ECT ED(2) AB- AC= AE+ EB- EC证明：连接CD1=/ 3,/ 4=/ 5,AE= BEEC= ED连接BD.AE=BE t Ec= De AE- DE= BE - EC aE+ be- EC=

14、aE+ AE- DE=AEAE+ DE = AE- AD在厶ABDW AEC中,. D为Be的中点, / 1=/ 2.又./ ace=/ acb=/ ADBAB AD ABDo AEC =AE AC即 AB- AC= AD- AE由知：AB - AC= AE+ EB - EC10.如图所示，O 0是厶ABC的外接圆，/ BAC与/ ABC的平分线相交于 点I，延长AI交O 0于点D,连接BD DC(1) 求证：BD= DC= DI;(2) 若O 0的半径为10 cm，/ BAC= 120 求厶BCD的面积.解：(1)证明：因为AI平分/ BAC所以/ BAD=/ DAC所以Bd = De，所以bd= dc因为BI平分/ ABC所以/ ABI = / CBI , 因为/ BAD=/ DAC / DBC=/ DAC 所以/ BAD=/ DBC又因为/ DBI=/ DBO/ CBI ,/ dib=/ abi + / BAD所以/ DBI=Z DIB,所以 BDI为等腰三角形，所以 BD= ID，所以 BD= DC= DI.当/ BAC= 120 时， ABC为钝角三角形，所以圆心O在厶ABC外.连接OB OD OC则/ D