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文档简介
1、高 等 数 学,第三章 微分中值定理与导数的应用 5 函数的极值与最值,二、最大值与最小值问题,一、函数的极值及其求法,第五节,函数的极值与,最大值最小值,一、函数的极值及其求法,定义,在其中当,时,1,则称 为 的极大点,称 为函数的极大值,2,则称 为 的极小点,称 为函数的极小值,极大点与极小点统称为极值点,注意,为极大点,为极小点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点,1) 函数的极值是函数的局部性质,例如,为极大点,是极大值,是极小值,为极小点,定理 1 (极值第一判别法,且在空心邻域,内有导数,例1. 求函数,的极值,解,1) 求导数,2) 求极
2、值可疑点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大点,其极大值为,是极小点,其极小值为,定理2 (极值第二判别法,二阶导数 , 且,则 在点 取极大值,则 在点 取极小值,证: (1,存在,由第一判别法知,2) 类似可证,例2. 求函数,的极值,解: 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值,又,故需用第一判别法判别,定理3 (判别法的推广,则,数 , 且,1) 当 为偶数时,是极小点,是极大点,2) 当 为奇数时,为极值点 , 且,不是极值点,当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确,证,利用 在 点的泰勒公式,可得,例如 , 例2中,极值的判
3、别法( 定理1 定理3 ) 都是充分的,说明,当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在,例如,为极大值,但不满足定理1,定理3 的条件,二、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到,求函数最值的方法,1) 求 在 内的极值可疑点,2) 最大值,最小值,特别,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值,小,对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点,小,例3. 求函数,在闭区间,上的最大值和最小值,解: 显然,且,故函数在,取最小值 0,例3. 求函数,在闭区间,上的最大值和最小
4、值,k 为某一常数,例4. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20,AC AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货,D 点应如何选取,解: 设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点,故 AD =15 km 时运费最省,总运费,物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点,问,Km,公路,例5. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁,问矩形截面,的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大,解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知 , 所求最值存在,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择,内容小结,1. 连续函数的极值,1) 极值可疑点,使导数为0 或不存在的
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