函数极值与最值_第1页
函数极值与最值_第2页
函数极值与最值_第3页
函数极值与最值_第4页
函数极值与最值_第5页
已阅读5页，还剩12页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

1、高 等 数 学,第三章 微分中值定理与导数的应用 5 函数的极值与最值,二、最大值与最小值问题,一、函数的极值及其求法,第五节,函数的极值与,最大值最小值,一、函数的极值及其求法,定义,在其中当,时,1,则称 为 的极大点,称 为函数的极大值,2,则称 为 的极小点,称 为函数的极小值,极大点与极小点统称为极值点,注意,为极大点,为极小点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点,1) 函数的极值是函数的局部性质,例如,为极大点,是极大值,是极小值,为极小点,定理 1 (极值第一判别法,且在空心邻域,内有导数,例1. 求函数,的极值,解,1) 求导数,2) 求极

2、值可疑点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大点,其极大值为,是极小点,其极小值为,定理2 (极值第二判别法,二阶导数 , 且,则 在点 取极大值,则 在点 取极小值,证: (1,存在,由第一判别法知,2) 类似可证,例2. 求函数,的极值,解: 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值,又,故需用第一判别法判别,定理3 (判别法的推广,则,数 , 且,1) 当 为偶数时,是极小点,是极大点,2) 当 为奇数时,为极值点 , 且,不是极值点,当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确,证,利用 在 点的泰勒公式,可得,例如 , 例2中,极值的判

3、别法( 定理1 定理3 ) 都是充分的,说明,当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在,例如,为极大值,但不满足定理1,定理3 的条件,二、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到,求函数最值的方法,1) 求 在 内的极值可疑点,2) 最大值,最小值,特别,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值,小,对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点,小,例3. 求函数,在闭区间,上的最大值和最小值,解: 显然,且,故函数在,取最小值 0,例3. 求函数,在闭区间,上的最大值和最小

4、值,k 为某一常数,例4. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20,AC AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货,D 点应如何选取,解: 设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点,故 AD =15 km 时运费最省,总运费,物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点,问,Km,公路,例5. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁,问矩形截面,的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大,解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知 , 所求最值存在,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择,内容小结,1. 连续函数的极值,1) 极值可疑点,使导数为0 或不存在的

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论