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文档简介

1、4.4 函数的凹凸性与函数的作图,问题:如何研究曲线的弯曲方向,问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性,定义4.2 如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是上凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是下凹的(上凹简称凹,下凹简称凸,4.4.1 曲线的凹凸性与拐点,曲线凹凸的判定,定理3.10设函数 在区间 内存在二阶导数,2)若时，恒有，则曲线在内下凹(简称凸的,1)若时，恒有，则曲线 在内上凹(简称凹的,例证明函数 的图像是处处下凹(凹)的,故曲线在整个定义域内是下凹(凸)的,解,定义4.3曲线上凹与下凹的分界点称

2、为曲线的拐点,求拐点的一般步骤,令，解出全部根，并求出所有二阶导数不存在的点,求函数的二阶导数,对步骤求出的每一个点，检查其左、右邻近的的符号，如果异号则该点为曲线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点,例1求曲线的凹凸区间与拐点,曲线在及两个区间上凹，在区间下凹，和是它的两个拐点,例2求曲线的凹凸区间与拐点,只要，恒有，而函数没有二阶导数不存在的点，所以曲线 没有拐点，它在整个是上凹的,例3求曲线的凹凸区间与拐点,在4的左侧邻近时，； 在4的右侧邻近时，.即在两侧异号，所以是曲线的拐点,练习 求下列曲线的拐点，并讨论其凹凸性,2,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,3,解,定义4.4如果曲线上的

3、一点沿着曲线趋 于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零， 则称此直线为曲线的渐近线,设曲线，如果,则称 直线 为曲线的水平渐近线,4.4.2 曲线的渐近线,1.水平渐近线,如果曲线在点间断，且 ，则称直线为曲线 的铅垂渐近线,例4求曲线的水平渐近线 和铅垂渐近线,2.铅垂渐近线,解因为，所以是曲线的水平渐近线,又因为5是的间断点,且 ，所以是曲线的铅垂渐近线,例5求曲线的水平渐近线和铅垂渐近线,解因为，所以是曲线的水平渐近线,又因为1和-1是的间断点，且 ，所以 和是曲线的铅垂渐近线,4.4.3 函数作图,描绘函数图象的具体方法如下,1.确定函数的定义域的值域,2.确定曲线关于坐标轴的对称性,

4、3.求出曲线和坐标轴的交点,4.判断函数的单调区间并求出极值,5.确定函数的凹向区间和拐点,6.求出曲线的渐近线,7.列表讨论并描绘函数的图象,例6描绘函数的图象,解(1)定义域：,2)函数不具有奇偶性， 因此曲线无对称性,3)令，得， 表明曲线 与 轴有两个交点，一个是 ，一个是,所以为极大值点， 为极大值,所以为极小值点， 为极小值,5)令，得在的左 侧有，在的右侧有， 而 ，所以是拐点,6)无渐近线,7)将上面的结果列表,例7描绘函数的图象,解(1)定义域,2)函数不具有奇偶性，因此曲线无对称性,4,令 ，得,在左侧有，在右侧有，所以是极小值点， 是极小值,5,令，得.当从左向右经过 -3时，由负变正，又，所

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