传播子和Feynman路径积分

1、2.5 传播子和Feynman路径积分,将上述表达式改写成： 即 这里 称为传播子。传播子与初态无关，但依赖于势。一旦能量的本征函数和本征值已知，则传播子可构造出,讨论,上式表明，若初态已知，则波函数的时间演化便完全由K确定。Schrdinger波动力学是纯粹的因果理论。 受势作用的波函数的时间变化，只要系统不受扰动，便与经典力学中任何量一样完全确定。 不同处：当测量介入时，波函数以不可控制的方式突然变为所测观测量的本征函数之一（但“投影”有确定的几率,二、传播子的基本性质,1. 传播子 满足含时Schrdinger波方程（ ,tt0为变量， 不变）。 2. （即 ） 这两性质说明传播子可看作

2、是t0 时处于 的粒子在t时刻的波函数（ ） 对初态分布于一定空间的情况，需要做的只是将相应的波函数乘以传播子并对空间积分。这种方式相当于对不同位置的贡献求和，与静电学求电势相似（但有“相位”,传播子其实就是含时波动方程的格林函数： 和边界条件 （对tt0）. 第一式右边的函数是由于K在t=t0不连续,三、传播子的 例子,传播子的具体形式依赖于粒子所受的势。 1. 一维自由粒子。P与H对易，共同本征态 由 可得 该式可用于研究诸如高斯波包随时间扩散展开的情形,2. 谐振子 的传播子,波函数为 其传播子为 该式的证明可通过特殊函数的性质 也可通过a和a+算符方法或将描述的路径积分方法。 由于传播

3、子是以为角频率的时间周期函数，位于x的粒子将在 回到原位置,四、传播子的时间与空间积分,空间积分： 由于 ，取 并积分相当于求坐标表象中时间演化算符的迹，故得上述结果。由于迹不随表象变，在 表象中H对角，便于求出G(t) 。 在G(t)的表达式中若令t为纯虚数且 为正实数，则G(t)演化为 ，与统计力学的配分函数是有相同形式。因此，研究量子力学传播子的方法对统计力学也有用,G(t)的Laplace-Fourier变换,被积函数振荡，积分不易求。令EE+i,且0，则 可见体系的完整能谱都表现在复E平面的 的极点。研究物理体系的能谱，只要研究 的解析性质,五、传播子作为跃迁振幅,波函数是特定位置左

4、矢与随时间变化右态矢的内积，也可被认为是Heisenberg图象中反向时间演化的位置左矢与不随时间变化的状态右矢之乘积。类似地，传播子可写为 这里 和 是海森堡图象中位置算符的本征左矢和右矢。 因 是从 到 态的跃迁振幅，故 是t0时处于 的粒子在t时处于 的几率振幅。或者说 是由时空点 到另一时空点 的振幅,另类解释,由于Heisenberg图象中任一时刻观测量的本征矢都可选作基矢，我们也可称 为链接不同时间的两组基矢的变换函数。 因此，在Heisenberg图象中，时间演化可看作改变基函数的幺正变化。 与经典动力学中物理量随时间的变化可看作由经典Hamiltonian产生的正则变换相似,六

5、、传播子的组合性质,为使时空坐标记号更对称，记 为 由于海森堡图象中在任意给定时间的位置态矢形成完备基，可在任意位置插入单位算符 因而 该性质称为跃迁振幅（传播子）的组合性质。 类似地有 ： 如知无穷小时间间隔 的形式，则一般的 可利用传播子的组合性质而得。这种推理方式导致了Feynman的量子力学理论形式,七、作为路径求和的路径积分,为简单记，讨论一维，并记 为 将t1至tN分为N-1等分 ， 则 为讨论该表达式的含义， 可看如图所示的时空平面： 时空的初始与终点固定， 由初始到终点有不同的可 能路径。对给定一路径， 我们要计算其跃迁振幅， 然后对各种可能路径求和，这与经典力学是有差别的。在

6、经典力学中粒子有确定的轨迹，其路径对应于哈密顿原理所给出的路径（即作用函数的变分为零,八、经典力学与量子力学路径的差别,经典力学中xt-平面有一确定的路径与粒子运动联系，而量子力学中所有可能路径都起作用，其中一些路径与经典路径毫无相似之处。 经典力学的作用量或主函数为 L是x与 的函数，S要在路径确定后才有定义 对每小段路径其跃迁几率为 初点到终点路径的 总跃迁几率为 所有路径对 的贡献： 若 ，则相邻径的贡献倾向于抵消。 对最小作用量路径（经典路径），则相邻路径的S差别是二阶的，因而可相干增强。所以 时挑出的轨道为经典轨道,九、Feynman路径积分公式,1. 无限小时间间隔的一段路径， w(t)只与t而与V(x)无关的权重因子。 由于是无限小时间间隔，路径可看作直线，因而 对自由粒子， 已知。由于W(t)与V(x)无关，用自由粒子情况算出： 于是，对 ，有,2. 对有限时间间隔的路径,其中 上式即为Feynman路径积分的表达式,十、Feynman路径积分与薛定谔方程,或 从而 对一阶t项有,所以