西安科技大学电路教案ch8教案

1、第8章 正弦量与相量教学目的：本章是利用正弦量和复数之间的对应关系引入相量的概念，从而可以将微分方程的特解问题转化成解复数代数方程的问题，使正弦激励下线性正弦稳态电路的求解简单化；为下章分析正弦稳态复杂电路打下基础。要求：1.了解正弦波形的数学描述；2.理解用相量表示正弦量；3.掌握两类约束的相量形式；4.掌握用相量法求解简单正弦稳态电路；5.深刻理解阻抗和导纳；掌握阻抗和导纳的相互转换和串并联等效。重点：1. 用相量表示正弦量。2. 用相量法求解简单正弦稳态电路。3.阻抗和导纳的概念。难点： 用相量表示正弦量并用相量法求解简单正弦稳态电路；相量图，阻抗和导纳。内容：1.正弦量2. 正弦量的相

2、量表示3 三种基本电路元件和电路定律的相量形式4 阻抗和导纳5 阻抗（导纳）的串联和并联本章和后续几章只研究电路在正弦激励下的稳态响应。本章介绍电压、电流随时间按正弦规律变化的电路即正弦电流电路，这是一类在理论上和工程上具有重要意义的电路。主要内容包括：正弦量的相量表示、元件方程和基尔霍夫定律的相量形式、阻抗和导纳的概念、电路方程和电路定理的相量形式、含互感的正弦电流电路的计算、正弦电流电路功率的特点及计算方法。8-1 正弦量基本要求：掌握正弦量的振幅、角频率和初相位；正弦量的瞬时值、有效值和相位差。正弦量：随时间按正弦规律变化的（变）量称为正弦量，可用sin或cos表示，这里采用cos表示法

3、。 一、 正弦量的三要素设某支路电流按正弦规律变化，其瞬时值表达式为，波形如图8-1所示。1. 振幅Im：最大的瞬时值。即2. 角频率：也称为角速度它是相位随时间变化的快慢程度。即,单位为弧度/秒（rad/s）。角频率跟周期和频率之间的关系为 ， 周期T的单位为s，频率f的单位为1/s，称为赫兹（Hz，简称赫）。 我国电力网正弦交流电的频率是50Hz。工程中常以频率区分电路，如音频（2020103Hz）电路。3. 初相位（角）：为正弦量的相位或相角，它表示正弦量的变化进程，时的相位称为初相位（角），即这三个量称为正弦量的三要素。图8-1 正弦量的波形 二、 有效值的定义、正弦量的有效值1.有效

4、值的定义：周期电流的有效值等于其瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值的平方根，故有效值又称方均根值。工程上，对于周期变化的电流、电压而言，如两个值相等的电阻R，分别给它们通入直流电流I和周期变化的电流i（设周期为），如果在相同的时间T内，设两个电阻消耗的能量相等，即由该式得 (8-3)式中I就是周期电流的有效值。2. 正弦量的有效值：若周期电流为正弦量，即，代入（8-3）式，有 (8-4)最大值是有效值的倍。 正弦电流和正弦电压的瞬时值表达式可以分别写为 ，工程上电气设备铭牌上所标的额定电流、电压，交流电压表、电流表（电磁系仪表）所测的都是有效值。三、 正弦量的相位差1.定义：相位差是两个同频

5、率正弦量之间的相位之差。设两个同频率的正弦电压u和电流i分别为，其波形如图8-2所示。电压和电流之间的相位差为电压的相位减去电流的相位，即 图8-2 两个同频率正弦量的相位差 相位差是在主值范围内取值的。相位差反映了同频率正弦量的“超前”、“滞后”的关系。2.结论：当称u超前i，如图8-2所示。u超前i说明u先到达正的最大值；当称u滞后i；当称u和i同相位；当称u与i正交；当称u与i彼此反相。例8-1 设有两个同频率的正弦电流分别为，求它们的相位差，并说明超前、滞后关系。解 首先将改写成用cosine函数的表示形式，即根据式（8-6），有 因为，所以滞后于。8-2 正弦量的相量表示为了求解一个

6、正弦量激励的电路，如果直接用瞬时值表达式进行运算，计算将很繁琐，有时甚至是不可能的。为此，借助复数来表示正弦量，进而简化正弦量之间的运算，使正弦稳态电路的分析和计算简单化。下面首先复习一下复数。一、 复数的复习1.复数F（向量）形式一个复数F可有几种表示形式，在复平面上的如图8-3所示。(1) 直角坐标式： 式中为虚单位（因为电路中i表示电流，则用j）。， ， 图8-3 复数的表示(2) 三角函数表达式、指数式或极坐标式：利用尤拉公式，可得复数F的三角函数表达式、指数表达式以及极坐标表达式，即 2.复数的运算：（1） 复数的加减运算：设和， 复数的加减运算可以在复平面上按平行四边形法求得，见图

7、8-4。（a）代数和 （b）代数差图8-4 复数的加减运算图示法（2）复数的乘法与除法运算：用指数 或极坐标方式比较方便，设和，它们的乘法 除法运算 图8-5为两个复数相乘的图解表示。两个复数相乘结果是模相乘，辐角相加；两个复数相除结果是模相除，辐角相减。图8-5复数乘法运算的图示法 3.旋转因子 ：任意复数F乘以单位复数等于把复数F逆时针旋转一个角度，而模值却不变，称单位复数为旋转因子。若，则，因此称为旋转因子。一个复数乘以等于将该复数逆（或顺）时针旋转。例8-2 将下列复数，和 写成极坐标形式。解 求解时注意复数所处的象限。例8-3 设，求、和。解 ，则三、 相量的定义 设复数，如果，则取

8、F的实部，即设，则定义为正弦电流的“有效值”相量，称为电流相量。是一个复数，说明给复数乘以后，它以角速度逆时针方向旋转，在实轴上的投影就是正弦电流，这一对应关系如图8-6所示。 由于复平面上表示的是相量，所以图8-7称为相量图。因为相量代表着正弦量，所以只有同频率的正弦量所对应的相量才可以画在同一个相量图上。图8-6 复数与正弦量的对应关系图8-7 正弦量的相量图三、 时域运算和相量运算的关系引入相量就是将时域中的正弦量变换到相量域（复数域）的相量（复数）形式，利用复数工具分析正弦稳态电路。时域正弦电压和复数域电压相量之间的对应关系为 （时域） （相量域）式中表示了正弦量相量与其对应的正弦量之

9、间的映射关系，它们之间可以相互转换。下面讨论时域正弦量的运算关系映射到相量域的运算关系。1 同频率正弦量的代数和运算设正弦量电压，各自的相量分别为，设它们的和仍为正弦量电压，则 结论：时域正弦量的代数和映射到相量域为对应各相量的代数和。2 微分运算设正弦量电压，相量为，对u求导， 正弦量时域微分和相量域之间的映射关系为 结论：正弦量的导数仍是一个同频率的正弦量，其相量等于原相量乘以。3 积分运算设正弦量电压，相量为，对u积分，则正弦量时域积分和相量域之间的映射关系为 结论：正弦量的积分仍是一个同频率的正弦量，其相量等于原相量除以。例8-4 已知，用相量映射关系求：（1）；（2）；（3）。解 首

10、先写出已知正弦量电流对应的相量，即，由（8-9）式，得（1）将相量转换到时域，即（2）用相量求解。则瞬时值表达式为（3）由（8-11）式，的相量为 则瞬时值表达式为可以用复数（相量）表示正弦量。正弦量的代数和、微分、积分仍然是同频率的正弦量。时域正弦量代数和关系映射到相量域仍然为代数和，而时域正弦量微分和积分映射到相量域分别给原相量乘以或除以。8-3 三种基本电路元件和电路定律的相量关系本节讨论R、L和C的VCR的相量形式。另外讨论电路定律KCL、KVL的相量形式。一、电阻元件的相量关系 电路如图8-8（a）为电阻元件，设流过电阻的电流为 （a） （b）波形图 （c） （d）相量图图8-8 电

11、阻上的电压电流关系 电阻上的电压和电流是同频率的正弦量， ；波形图如8-8（b）所示。由相量定义知， ， 相量域欧姆定律 。 表明电阻上电压、电流相量和有效值仍符合欧姆定律， R元件的相量域模型如图8-8（c）所示。 电感元件的相量关系如图8-9（a）为电感元件，设流过电感的电流为则 ，由微分映射关系可得，电感L上电压、电流的相量关系，在量值上是的倍，在相位上超前于，如图8-9（b）所示。电感元件的相量域模型如图8-9（c）所示， （a） （b） 波形图 （c） （d）相量图图8-9 电感上的电压电流关系电感上电压电流的关系不仅与L的值有关，还与角频率有关，形式上类似于欧姆定律。是电压电流的比

12、值，量纲为欧姆（）。它有抗拒电流的性质；又是由电感引起的，称其为感抗。三、 电容元件的相量关系如图8-10（a）为电容元件，设流过电容的电流则，其中，。电容C上电压、电流的相量关系，在量值上是的倍，在相位上滞后于，如图8-10（b）所示。电容元件的相量域模型如图8-10（c）所示。（a） （b） 波形图 （c） （d）相量图图8-10 电容上的电压电流关系和电感元件类似，电容上电压、电流的关系也与元件C的值有关，同时也与角频率有关，形式上也类似于欧姆定律。是电压电流的比值，量纲也为欧姆（）。在电压一定的情况下，越小或者C越小，越大，则电流越小，所以它也有抗拒电流的性质；因为是由电容引起的，因此

13、称其为容抗。8.3.4 KCL、KVL的相量形式设正弦电流电路中各支路电压、电流都是同频率的正弦量，在电路的结点上和回路中仍然满足KCL和KVL。下面讨论KCL和KVL的相量形式。对电路中的任一结点或闭合面，根据KCL，有根据（8-9）式，得KCL的相量形式为 (8-15)可见，相量域中KCL仍然成立。同理，相量域中KVL也成立，即对电路中任一回路， KVL的相量形式为 (8-16)例8-5 RLC串联电路如图8-11（a）所示，设电路已达到稳态，已知，。，试求正弦稳态电流。解 因为电路已达稳态，故可用相量关系求解。根据各元件VCR的相量形式可以画出图8-11（a）电路的相量域模型如图（b）所

14、示。首先写出对应的相量，然后利用各元件VCR的相量形式，即，和，根据KVL的相量形式，有 (8-17)则将变换到时域，即（a） （b）图8-11 例8-5图 式（8-17）表明了RLC串联正弦稳态电路中电压、电流的相量关系，与单个元件上的电压、电流相量关系相似，电流相量和成反比。它由电阻、感抗和容抗组成，是一个复数，实部是电阻，虚部是电抗，所以该复数称为（复）阻抗。有关阻抗的定义和意义将在下节进行讨论。例8-6 电路如图8-12（a）所示，设电路处于正弦稳态，电流表A1、A2的读数均为10A，求电流表A的读数。（a） （b） （c）图8-12 例8-6图解法一 用相量法。首先将图8-12（a）

15、的电路转化成相量模型，如图（b）所示。设并联支路的电压为，由元件的VCR相量形式可确定各支路电流，然后根据KCL，得可知A，即电流表A的读数为14.1A。解法二 用相量图求解。设电压的初相为零，即，称为参考相量（或称以为参考）。因电阻上的电流与电压同相；而电容上的电流超前电压，见图8-12（c）。由相量图的几何关系，得可见，用相量图关系同样可以求出电流表的读数。8-4 阻抗和导纳上一节研究了正弦稳态电路中R、L、C元件电压电流的相量关系，以及KCL和KVL的相量形式，这些是正弦稳态电路分析的基础。引入阻抗和导纳的概念，可以将电阻电路的分析方法推广到正弦稳态电路中。8.4.1 阻抗和导纳的定义图

16、8-13（a）所示为一个含R、L、C以及线性受控源等元件的无独立源一端口网络，设端口的电压、电流相量分别为和。一端口端口阻抗的定义为和的比，即 (8-18)可见，阻抗Z是一个复数（不是相量），所以称为复阻抗，单位为欧姆（）。称为阻抗的模；辐角称为阻抗角，其范围为，它反映了和之间的相位关系。如果，表明端口电压、电流同相位，相当于纯电阻，则称Z为纯阻性；如果，端口上电压超前电流，相当于纯电感，则称Z为纯感性；若，电压超前电流角，称Z为感性；若，电压滞后电流，相当于纯电容，则称Z为纯容性；若，电压滞后电流角，称Z为容性。阻抗的电路符号与电阻相同，如图8-14（b）所示。 因为阻抗是一个复数，可以写成

17、实部和虚部的形式，即 (8-19)实部，为等效电阻分量；虚部，为等效电抗分量。当时，Z为感性；当时，Z为容性。阻抗的实部、虚部和模之间存在直角三角形关系，如图8-14（c）所示，该三角形称为阻抗三角形。若在（8-19）式的两边乘，可得出电压三角形。 如果一端口的内部仅含单个R、L、C元件，则对应的阻抗分别为，所以，电阻R阻抗的虚部为零，实部为R；电感L阻抗的实部为零，虚部为；电容C阻抗的实部为零，虚部为。如果内部是RLC串联电路（见例8-5），则阻抗为式中，。当时，即，Z呈感性；当时，即，Z呈容性。 由以上分析知道，阻抗不仅是R、L和C的函数，也是频率的函数，当激励源的频率变化时阻抗也随之变化

18、。若一端口中含有受控源时，可能会有，或的情况出现。如仅是R、L、C元件的组合时，必定有，或。（a） （b） （c） （d）图8-13 无源一端口的阻抗和导纳同样，无源一端口导纳（用Y表示）的定义为 (8-20)可见，阻抗和导纳互为倒数关系，Y同样是一个复数，称为复导纳，其模值称为导纳的模，辐角称为导纳角。导纳的单位和电导相同，为西门子（S）。其电路符号如图8-13（d）所示。 导纳也是一个复数，同样可以写成实部和虚部的形式，即 (8-21)实部，为等效电导分量；虚部，为等效电纳分量。 如果一端口的内部仅含单个R、L、C元件，则对应的导纳分别为，电阻R导纳的实部为电导，虚部为零；电感L导纳的实部

19、为零，虚部为；电容C导纳的实部为零，虚部为。同样导纳也是R、L、C以及频率的函数。8.4.2 阻抗和导纳的等效变换入阻抗和导纳是正弦量激励稳态电路的基本参数元件，若知道其中之一，就可以将其变换成（等效）另一个参数元件。由（8-18）和（8-20）式知道 (8-22)可见，。若已知，则等效导纳为所以，。等效导纳的实部不是阻抗实部的倒数，它不仅和R有关，还和电抗有关，即为频率的函数；虚部也不是阻抗的虚部的倒数，同样与电抗以及电阻有关，也是频率的函数。 和电阻与导纳类似，阻抗和导纳也是对偶对，式（8-18）和（8-20)也是对偶关系式，它们在形式上和欧姆定律相似，可以称为相量域欧姆定律。例8-7 电

20、路如图8-14所示，已知，求u和i的瞬时值表达式。（a） （b）图8-14 例8-7图解 由已知得，电路的相量域模型如图（b）所示，则等效阻抗为，因此，电流相量为电容上的电压为将它们转化为时域形式，即8-5 阻抗（导纳）的串联和并联在今后的电路分析中，经常会遇到阻抗（导纳）的串联或（和）并联，本节讨论阻抗和导纳的串、并联等效。可以将第2章电路等效的概念推广到相量域，对于如图8-13（a）所示的无源一端口来说，由等效的概念以及阻抗和导纳的定义知，只要保持端口上的电压、电流相量不变，就可以用一个阻抗或者导纳等效替换该一端口。和求取一端口等效电阻类似，仍然用电压法或电流法求取等效阻抗或导纳，所不同的

21、是，此时的电压、电流为相量，是相量域阻抗的等效问题。8.5.1 阻抗的串联图8-15（a）所示电路为n个阻抗、串联连接，由于阻抗串联时，每个阻抗中流过同一个电流，所以用电流法可以求得a-b端口的等效阻抗。（a） （b）图8-15 阻抗的串联根据KVL，有再由相量域欧姆定律知，代入上式得利用阻抗的定义式（8-18）和上式，得 (8-23)可见，n个阻抗的等效阻抗等于所有串联阻抗之和。等效后的电路如图8-15（b）所示。如果已知端口电压，可以求得每个阻抗上的电压，即， (8-24)该式就是阻抗串联时的分压公式。可见，当端电压确定以后，每个阻抗上的电压和阻抗成正比。如果，即两个阻抗串联，分压公式为，

22、 (8-25)8.5.2 阻抗（导纳）的并联n个阻抗并联连接的电路如图8-16（a）所示，图中、分别是n个并联阻抗所对应的导纳。导纳并联时，所有导纳两端的电压相同，用电压法可以求得等效导纳。在图8-16（a）中，应用KCL，有根据相量域欧姆定律，有，代入上式得根据式（8-20）和上式，得 (8-26)可见，n个导纳并联的等效导纳等于所有并联导纳之和。等效电路如图8-16（b）所示。（a） （b）图8-16 阻抗的并联根据式（8-22）和上式，有 (8-27)如果已知端口电流，可以求得每个导纳上的电流，即， (8-28)该式是导纳并联时的分流公式。可见，如果已知端口电流，流过每个导纳的电流和导纳

23、成正比。如果，即两个导纳并联，则分流公式为， (8-29)例8-8 图示8-17（a）电路为一端口网络，已知，求端口的等效阻抗。（a） （b） （c）图8-17 例8-11解 首先将（a）图电路变化成相量域如图（b）所示，然后求图（c）中各支路的等效阻抗，即根据阻抗的串、并联关系求出等效阻抗，即可见等效阻抗为容性。也可以先求出两个并联支路的导纳，然后用导纳并联公式求出两个并联支路的等效导纳，再将其转换成阻抗和串联即可。本章讨论了正弦量的相量表示以及正弦量时域基本运算到相量域的映射关系， R、L和C三种基本元件的VCR的相量形式以及电路定律KCL、KVL的相量形式，介绍了阻抗和导纳的概念以及它们的串、并联关系。引入相量的目的是为了将繁琐的正弦量时域运算问题转换到复数（相量）域的运算，使问题分析