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文档简介
1、1,第二节 二重积分的计算法,计算二重积分的方法,二重积分,累次积分(即两次定积分,2,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,故二重积分可写为,则面积元素为,一、利用直角坐标系计算二重积分,3,2)如果积分区域为,其中函数 、 在区间 上连续,X型,4,回忆：平行截面面积为已知的立体的体积,立体体积,5,计算截面面积,红色部分即A(x0),以D为底,以曲面,为顶的曲顶柱体的体积,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,用二重积分的几何意义说明其计算法,是区间,为曲边的曲边梯形,为底,曲线,6,先对y后对x的二次积分(累次积分,7,2) 积分区域为,先对x后对y的二次积分,
2、也即,Y型,8,1.当D既不是X-型区域也不是Y-型区域时,将D分成几部分，使每部分是X-型区域或是Y-型区域,注意,2.当D既是X-型区域也是Y-型区域时,可以用两个公式进行计算,9,特殊地,即等于两个定积分的乘积,D为矩形域,则,则,axb,cyd,10,二重积分是化为两次定积分来计算的，关键是确定积分限,定限要注意的问题,1.上限下限,2.内层积分的上，下限应为外层积分变量的函数,3.外层积分上，下限应为常数(后积先定限,4.二重积分的结果应为常数,11,例 计算,其中D是由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭区域,解法1,先y后x,12,解法2,先x后y,13,解,例 计算,1,1,1
3、4,选取积分次序,不仅要看区域的特点,而且要看被积函数的特点,凡遇如下形式积分,后面积分,15,解,积分区域如图,例 改变积分,的次序,16,例,交换积分次序,解,原式,17,例,交换积分次序,解,积分区域,原式,18,例 求证,左边的累次积分中,提示,不能直接计算,是y的抽象函数,证毕,要先交换积分次序,证明,19,例 求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为 及,解,求所围成的,立体的体积,20,解,曲面围成的立体如图,例 求由下列曲面所围成的立体体积,21,22,例,解,23,补充轮换对称性结论,若D关于x,y满足轮换对称性(将D的边界曲线方程中的x与y交换位置,方程不变),则,24,证,所以,例,25,二重积分在直角坐标下的计算公式,在积分中要正确选择积分次序,小结,Y型,X型,1）化二重积分为二次积分,2）交换积分次序,题型,26,作业,习题8-2(1,77页,3.(1) (3)(4) 4. 5,6.(
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