[高中数学]奥赛系列辅导材料赋值法在函数方程中的应用

1、 赋值法在函数方程中的应用赋值法是指给定的关于某些变量的一般关系式，赋予恰当的数值或代数式后，通过运算推理，最后得出结论的一种解题方法。下面介绍它在函数方程中的应用。一、判断函数的奇偶性例1 若（xy）（x）（y）中令xy0，得（0）0。又在（xy）（x）（y）令yx，（xx）（x）（x），即（0）（x）（x），又（0）0.所以（x）（x）。因为（x）不恒为零，所以（x）是奇函数。例2 已知函数y（x）（xR，x0），对任意非零实数x1x2都有（x1x2）（x1）（x2），试判断（x）的奇偶性。解：取x11，x21得（1）= （1）（1），所以（1）=0又取x1=x2=1，得（1）=（1）（1

2、），所以（1）=0再取x1=x，x2=1，则有（x）= （x），即（x）=（x）因为（x）为非零函数，所以（x）为偶函数。例3对任意x、yR，有（xy）（xy）=2（x）（y），且（0）0，判断（x）的奇偶性。解：令x=y=0得（0）（0）=22（0），因为（0）0，所以（0）=1，又令x=0得（y）（y）=2（y），即（y）=（y）。取x=y，得（x）=（y）.所以函数y=（x）。二、讨论函数的单调性例4 设（x）定义于实数集R上，当x0时，（x）1，且对任意x，yR，有（xy）= （x）（y），求证（x）在R上为增函数。证明：由（xy）=（x）（y）中取x=y=0得（0）=2（0）。若（0

3、）=0，令x0，y=0，则（x）=0，与（x）1矛盾。所以（0）0，即有（0）=1。当x0时，（x）10，当x10，而，又x=0时，（0）=0，所以（x）R，（x）0。设x1x2，则x10，（x2x1）1，所以（x2）= x1（x2x1）=（x1）（x2x1）（x1），所以y=（x）在R上为增函数。三、求函数的值域例5 已知函数（x）在定义域xR上是增函数，且满足（xy）=（x）（y）（x、yR），求（x）的值域。解：因为x=y=1时，（1）=2（1），所以（1）=0又因为（x）在定义域R上是增函数，所以x1x20时，令x1=mx2（m1），则（x1）0。得以对于x1有（x）0。又设x1=mx

4、20（0m1），则0x1x2。所以由函数在R上递增可得（x1）（x2）0,即（mx2）（x2）=（m）（x2）（x2）=（m）0。所以对于0x1有（x）0，使，求证（x）是周期函数。证明：令，代入（ab） （ab）=2（a）（b）可得：（xc）=（x）。所以（x2c）= （xc）c= （xc）= （x），即（x2c）= （x）。则（x）是以2c为周期的函数。例7 若对常数m和任意x，等式成立，求证（x）是周期函数。证明：将已知式中的x换成xm得（x2m）=（xm）m又将上式中x2m换成x4m可得故（x）是以4m为周期的函数五、求函数的解析式例8 设对满足| x |1的所有实数x，函数（x）满足

5、，求（x）的解析式。解：将x取为代入原等式，有， （1）将x取为代入原等式，有。 （2）（1）（2），且将原等式代入即得例9 求函数F（x），当x0，x1时有定义且满足.解：，（1）中以代换x得 （2）再在（1）中以代换x得， （3）（1）（2）（3）化简得.例10 （x）的定义域在非负实数集合上并取非负数值的函数，求满足下列所有条件的（x）：（1）x（y）（x）= （xy）；（2）（2）=0；（3）当0x2时，（x）0.解：（）令x=2，t=2y，因为y0，故t2。2（t2）（2）=（t）.由（2）得（2）=0，所以（t）=0.所以当t2时，（x）=0. 由（3）的逆命题知：当（x）=0时，

6、x2， 综合、得，（x）=0x2.（）考虑0x2，0y2，（即（x）（y）0）时，（1）两边等于零的特殊情况。设x（y） （x）=0.因为x（y）（x）=0.由（）得：x（y）2，即。设（xy）=0，由（）得；xy2，即x2y，因为，且x2y，所以，解得.所以当0x2时，（x）=.所以例11 设S表示所有大于1的实数构成的集合，确定所有的函数：SS，满足以下两个条件：（i）对于S内的所有x和y，有x（y）x（y）=y（x）；（ii）在区间1x0的每一个内，是单调递增的。解：令x=y 得：（x（x）x（x）=x（x）x（x），又令x（x）x（x）=t，则（t）=t，在（1）中令x=t得（t22t）=t（t）t（t）=t（