中考数学教学指导：二次函数中平行四边形存在性问题

1、二次函数中平行四边形存在性问题 与二次函数有关的存在性问题是初中数学中的热点问题之一，笔者在此也谈谈这类题型的基本思路和解题技巧. 在平行四边形有关存在性问题中，常会遇到这样两类探究性的问题: (l)已知三点的位置，在二次函数的图形上，或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形(下文出现时简称“三定一动”). (2)已知两个点的位置，在二次函数的图形上，或在坐标平面内找两个动点，使这四点构成平行四边形(下文简称“两定两动”).平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序.解决这类问题的关键是要掌握好基本思路和解题技巧. 一、基本思路 (1)分清题型(属于三定一动还是两定两动，因为这

2、两种题型的分类标准有所不同); (2)分类讨论且作图(利用分类讨论不重不漏的寻找动点具体位置); (3)利用几何特征计算(不同的几何存在性要用不同的解题技巧)，可以把存在性问题的基本思路叫做“三步曲”:一“分”二“作”三“算”. 二、解题攻略 (1)如果为“三定一动”，要找出平行四边形第四个顶点，则符合条件的有3个点;这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形，过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生所要求的3个点. (2)如果为“两定两动”，要找出平行四边形第三、四个顶点，可将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种情形分类讨论. 三、解题技巧 (1)若平行四边形

3、的四个顶点都能用坐标来表示，则直接利用坐标系中平行四边形的基本特征:即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解; (2)若平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示，则利用列方程组解图形交点的方法解决; (3)灵活运用平行四边形的中心对称性，可使问题变得简单， 四、应用举例 例1 如图1，已知抛物线与X轴交于、两点(点在点的左侧)，与轴交于点，顶点为.若以、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标. 思路 分清题型:根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题中“三定一动”题型. 分类讨论且作图:分析定点、动点，挖掘不变特征; 、为定点，为坐标平面内一动点;确定位置的方法是:将以三个

4、定点为顶点画;过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生的交点位置就是点. 利用几何特征计算:分析几何特征，建等式求解点坐标. 图1 图2解 (1)确定位置:如图2.以、三个定点为顶点画；过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线;三条直线相交于，.(2)代数法求解点的坐标；如图2，设点，利用平行四边形对边水平距离相等和竖直距离相等，可得， 解得 ， 即.， . 同理，可得,.综合知，点的坐标为: ,.例2 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，三点. 为抛物线上一动点，为直线上一动点，若以，为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标. 图3 图4 思路 分清题型:根据题目要求，确定为平

5、行四边形存在性问题中“两定两动”题型. 分类讨论且作图:分析定点、动点，挖掘不变特征; 、为定点. 、为坐标平面内两动点，确定位置的方法是:将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种情形分类讨论. 利用几何特征计算：分析几何特征，建等式求解点坐标. 解 (1)确定位置. 以线段为平行四边形的边，将线段沿任意方向平移使得线段两端点分落在抛物线和直线上，如图3; . 以线段为平行四边形对角线，将直线绕线段中点旋转寻找满足题意的动点，如图4. (2)代数法求解点的坐标. 设抛物线的解析式为.把点的坐标代入上式，得，.如图3，当为边时，/ ,且.设点的横坐标为,则,或.由，得(均符合题意);由，得或(舍去).如图4，当为对角线时，记的中点为,则，且点为的中点.设点,，由中点坐标公式，得 , , , ,即点的坐