§2.3　二次函数与幂函数(1)

1、2.3二次函数与幂函数,高考理数 (北京市专用,A组自主命题北京卷题组 1.(2012北京文,5,5分)函数f(x)=-的零点个数为() A.0B.1C.2D.3,五年高考,答案B令f(x)=-=0,得=,求零点个数可转化为求两个函数图象的交点个数.如 图所示: 由图可知两个函数图象有1个交点,故选B,评析本题考查零点个数问题,可运用转化与化归思想将零点个数问题转化为两个函数图象的交点问题,画出两个函数的图象,观察交点个数即可.本题需掌握幂函数和指数函数的图象,2,2.(2014北京文,8,5分)加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工

2、时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为 () A.3.50分钟B.3.75分钟 C.4.00分钟D.4.25分钟,3,答案B由已知得解得 p=-0.2t2+1.5t-2=-+,当t=3.75时p最大,即最佳加工时间为3.75分钟.故选B,评析本题主要考查二次函数及配方法求最值,考查学生的计算能力,利用待定系数法求出a,b,c是解题关键,4,3.(2017北京文,11,5分)已知x0,y0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是,答案,解析解法一:由题意知y=1-x, y0,x0,0

3、x1, 则x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2+. 当x=时,x2+y2取最小值,最小值为, 当x=0或x=1时,x2+y2取最大值,最大值为1, x2+y2. 解法二:由题意可知,点(x,y)在线段AB上(如图),x2+y2表示点(x,y) 与原点的距离的平方.x2+y2的最小值为(0,0)到直线x+y-1=0的 距离的平方,即=,又易知(x2+y2)max=1,x2+y2,5,B组统一命题、省(区、市)卷题组 考点一二次函数 1.(2017浙江,5,5分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间0,1上的最大值是M,最小值是m,则M-m() A.与a有关,且与b有关 B.与a有

4、关,但与b无关 C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关,6,答案B本题考查二次函数在闭区间上的最值,二次函数的图象,考查数形结合思想和分类讨论思想. 解法一:令g(x)=x2+ax, 则M-m=g(x)max-g(x)min. 故M-m与b无关. 又a=1时,g(x)max-g(x)min=2, a=2时,g(x)max-g(x)min=3, 故M-m与a有关.故选B. 解法二:(1)当-1,即a-2时, f(x)在0,1上为减函数,M-m=f(0)-f(1)=-a-1. (2)当-1,即-2a-1时,M=f(0),m=f, 从而M-m=f(0)-f=b-=a2. (3)当0-,即

5、-1a0时,M=f(1),m=f,从而M-m=f(1)-f=a2+a+1,7,4)当-0,即a0时, f(x)在0,1上为增函数, M-m=f(1)-f(0)=a+1. 即有M-m= M-m与a有关,与b无关.故选B,8,2.(2015四川,9,5分)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m0,n0)在区间上单调递减,那么 mn的最大值为() A.16B.18C.25D,9,答案B当m=2时, f(x)=(n-8)x+1在区间上单调递减,则n-82时, f(x)的图象开口向上,要使f(x)在区间上单调递减,需-2, 即2m+n12,而2m+n2, 所以mn18,当且仅当即时,取“

6、=”,此时满足m2. 故(mn)max=18,故选B,10,考点二幂函数 (2014浙江,7,5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x0),g(x)=logax的图象可能是(,答案D因为a0,所以f(x)=xa在(0,+)上为增函数,故A错.在B中,由f(x)的图象知a1,由g(x)的图象知01,矛盾,故C错.在D中,由f(x)的图象知0a1,由g(x)的图象知0a1,相符,故选D,评析本题考查幂函数和对数函数的图象与单调性,考查分类讨论思想和逻辑推理能力,11,C组教师专用题组 1.(2015陕西,12,5分)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零),四位同学分别给出下列结论

7、,其中 有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是() A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点 C.3是f(x)的极值 D.点(2,8)在曲线y=f(x)上,12,答案A由已知得, f (x)=2ax+b,则f(x)只有一个极值点,若A、B正确,则有 解得b=-2a,c=-3a, 则f(x)=ax2-2ax-3a. 由于a为非零整数, 所以f(1)=-4a3,则C错. 而f(2)=-3a8,则D也错,与题意不符,故A、B中有一个错误,C、D都正确. 若A、C、D正确,则有 由得 代入中并整理得9a2-4a+=0,13,又a为非零整数,则9a2-4a为整数,故方程9a2-4a+=0无整数

8、解,故A错. 若B、C、D正确,则有 解得a=5,b=-10,c=8,则f(x)=5x2-10 x+8, 此时f(-1)=230,符合题意.故选A,评析本题考查二次函数的性质、函数的零点和函数极值,考查推理运算能力,14,2.(2013重庆,3,5分)(-6a3)的最大值为() A.9B. C.3D,答案B易知函数y=(3-a)(a+6)的两个零点是3,-6,其图象的对称轴为直线a=-,y=(3-a)(a+6) 的最大值为3+=,则(-6a3)的最大值为,选B,15,3.(2014辽宁,16,5分)对于c0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,-+的 最小

9、值为,答案-2,解析设2a+b=t,则2a=t-b, 由已知得关于b的方程(t-b)2-b(t-b)+4b2-c=0有解, 即6b2-3tb+t2-c=0有解. 故=9t2-24(t2-c)0, 所以t2c, 所以|t|max=, 此时c=t2,b=t,2a=t-b=, 所以a=. 故-+=-+=8=8-2-2,16,4.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR),记M(a,b)是|f(x)|在区间-1,1上的最大值. (1)证明:当|a|2时,M(a,b)2; (2)当a,b满足M(a,b)2时,求|a|+|b|的最大值,解析(1)证明:由f(x)=+b-,得

10、对称轴为直线x=-. 由|a|2,得1, 故f(x)在-1,1上单调, 所以M(a,b)=max|f(1)|,|f(-1)|. 当a2时,由f(1)-f(-1)=2a4, 得maxf(1),-f(-1)2, 即M(a,b)2. 当a-2时,由f(-1)-f(1)=-2a4, 得maxf(-1),-f(1)2, 即M(a,b)2. 综上,当|a|2时,M(a,b)2,17,18,A组20162018年高考模拟基础题组 (时间:6分钟分值:10分) 选择题(每题5分,共10分) 1.(2017北京海淀期中)已知函数y=ax,y=xb,y=logcx的图象如图所示,则() A.abcB.acbC.c

11、abD.cba,三年模拟,答案C由题图知,函数y=ax是指数函数,且x=1时,y=a(1,2); 函数y=xb是幂函数,且x=2时,y=2b(1,2),b(0,1); 函数y=logcx是对数函数,且x=2时,y=logc2(0,1),c2. 综上,a、b、c的大小关系是cab.故选C,19,2.(2017北京西城二模,7)已知函数f(x)=x|x|.若存在x1,+),使得f(x-2k)-k0,则k的取值范围是() A.(2,+)B.(1,+) C.D,答案Df(x)=易知f(x)在R上单调递增,令g(x)=f(x-2k)-k,显然g(x)也在R上单调递增, 从而只需f(1-2k)-k时,1-2k0,(1-2k)|1-2k|-k0-(1-2k)2k,不等式显然成立; 当k时,1-2k0,(1-2k)|1-2k|-k0(1-2k)(1-2k)-k0,即(4k-1)(k-1)0,所以k1,从而k . 综上,k,20,B组20162018年高考模拟综合题组 (时间:4分钟分值:5分) 选择题(共5分) (2017北京朝阳一模,6)已知函数f(x)=若a,b,c,d是互不相同的正数,且f(a)=f(b) =f(c)=f(d),则abcd的取值范围是() A.(24,25)