浅谈实数与二次根式归纳总结

1、归纳总结课,方法之美,思维之美,应用之美,浅谈实数与二次根式归纳总结,本讲总结提升,知识框架,整合提升,本章总结提升,知识框架,包,含,有理数,无理数,概,念,分类,实数,平方根的性,质,立方根的性,质,积（商）的算术平方根,二次根式的乘除法运算法则,二次根式的加、减、乘,除、方运算法则,算术平方根,立方根,平方,根,重要性,质,开方,法则,运,算,客观来讲的话本讲内容在中考中主要考查实数,及其相关概念，二次根式及其性质，二次根式的计,算与化简，多以填空题、选择题或计算题的形式出,现，有时也与其他知识结合在一起综合考查其主,要考点可概括为：五个概念、四个性质、两个运算,两个技巧、两个应用、两种

2、思想,本讲总结提升,问题,1,平方根和算数平方根以及立方根,平方根与算术平方根有什么关系？平方根与立方根,有什么关系？开方运算与乘方运算有什么关系？如何求一,个数的平方根和立方根,整合提升,1,考点,五个概念,1,分别求出下列各数的平方根和算术平方根,1)0.022 5,2,3)196,概念,1,算术平方根与平方根,625,9,1)0.022 5,的平方根是,0.15,0.022 5,的算术平方根是,0.15,2,的平方根是,的算术平方根是,3)196,的平方根是,14,196,的算术平方根是,14,解,0.022 5,0.022 5,625,9,196,196,625,9,25,3,625,

3、9,625,9,25,3,2,1,中考,茂名,8,的立方根是,_,2,0.027,的立方根是,_,3)1,是,_,的立方根,4,是,_,的立方根,概念,2,立方根,2,1,6,1,216,0.3,1,本讲总结提升,归纳总结,开方与乘方互为逆运算，注意理解两者之间的互逆关系,本讲总结提升,整,合,提,升,问题,2,实数的分类与识别,什么是无理数？什么是实数？你知道哪些具有明显特,征的无理数类型,3,在,1,中,整数有,_,有理数有,_,无理数有,_,概念,3,实,数,3,1,3.14,0,2,1,9,1,6,5,2,2,3,5,1,3.14,0,4,1,2,16,0,1,3,2,2,1,9,3,

4、4,4,本讲总结提升,归纳总结,三种具有明显特征的无理数类型,一是开方开不尽的数，二是化简后含,的数，三是人,为构造的有特定结构但不循环的数,如,0.5252252225,相邻,两个,5,之间,2,的个数逐次加,1,例,1,把下列各数分别填在相应的集合中,5,6,3,8,0,5,3.1415926,22,7,16,同类变式,解,如图所示,问题,3,二次根式的概念,本讲总结提升,什么是二次根式？其表示方法是什么,4,下列各式一定是二次根式的是,A,B,C. D,概念,4,二次根式,D,a,3,1,x,2,1,x,2,1,x,问题,4,二次根式的双重非负性,本讲总结提升,二次根式的双重非负性是什么

5、？如何利用这个性质解决,几个非负数和为,0,的类型的问题,本讲总结提升,例,6,若,x,y,都是实数，且,y,2x,3,3,2x,4,求,xy,的值,解,由题意可知,2x,30,3,2x0,解得,x,3,2,此时,y,4,所以,xy,3,2,4,6,本讲总结提升,例,7,已知实数,a,b,c,满足,1,2,a,b,2b,c,c,1,2,2,0,求,a(b,c,的值,解析,首先根据绝对值、算术平方根以及完全平方式的非负性求出,a,b,c,的值，然后代入多项式,a(b,c,即可,本讲总结提升,解,因为,a,b|0,2b,c,0,c,1,2,2,0,1,2,a,b,2b,c,c,1,2,2,0,所以

6、,a,b,0,2b,c,0,c,1,2,0,所以,a,b,1,4,c,1,2,所以,a(b,c,1,4,1,2,1,4,1,16,本讲总结提升,点评,正数和零统称为非负数，我们已学过的非负数有以下三种类型,1)a,2,3)|a,3,a,a0,非负数具有以下性质,1,若干个非负数的和仍为非负数,2,非负数的算术平方根仍为非负数，即当,a0,时,a,0,3,当若干个非负数的和为零时，其中的每个非负数都为零,4)0,是最小的非负数,没有最大的非负数,利用非负数的这些性质可解决,与之有关的很多问题,本讲总结提升,归纳总结,二次根式,a,0,具有双重非负性，即被开方数,a,0,0,通,常用它来解决多个非

7、负数和为,0,的问题,已知,x,y,为实数，且满足,0,那么,x,2 018,y,2 019,的值是多少,1,1,1,x,y,y,由已知可得,0,因,为,1,y,0,所以,0,由非负,数的性质得,1,x,0,且,1,y,0,所以,x,1,y,1,所以,x,2 018,y,2 019,0,解,1,1,1,x,y,y,1,1,y,y,同类变式,问题,5,最简二次根式,本讲总结提升,什么是最简二次根式？如何化简二次根式,6,二次根式,其中,a,b,均大于或等于,0,中，是最简二次根式的有,A,4,个,B,3,个,C,2,个,D,1,个,概念,5,最简二次根式,C,3,1,4,5,2,8,3,a,a,

8、a,b,根据最简二次根式的定义可知，只有,这两个二次根式是最简二次根式故选,C,4,5,a,b,2,考点,四个性质,7,已知,b,5,2,c,1,0,那么,a,b,c,_,性质,1,平方根的性质,8,2,a,本讲总结提升,例,3,已知某正数的两个平方根分别是,2a,7,和,a,4,b,12,的立方根是,2,1,求,a,b,的值,2,求,a,b,的平方根,解,1,由题意，得,2a,7,a,4,0,解得,a,1,b,12,8,解得,b,4,2,因为,a,b,5,所以,a,b,的平方根为,5,点,已知一个正数的两个平方根分别是,x,3,和,x,1,求这个正数的立方根,因为一个正数的两个平方根分别是,

9、x,3,和,x,1,所以,x,3,x,1,0,解得,x,1,所以这个正数是,x,3,2,4,所以这个正数的立方根是,解,3,4,同类变式,9,若,互为相反数，求,的值,性质,2,立方根的性质,3,3,3,1,1,2,a,b,与,a,b,因为,互为相反数,所以,3,a,1,与,1,2,b,互为相反数,所以,3,a,1,2,b,1,所以,3,a,2,b,又因为,b,0,所以,解,3,3,3,1,1,2,a,b,与,2,3,a,b,10,实数,a,在数轴上对应的点的位置如图所示，计算,a,a,的结果为,A,B,C,D,2,性质,3,实数的性质,2,2,2,2,B,同类变式,11,已知,a,b,则化简

10、,a,b,的结果为,A,B,2,C,0,D,2,2,3,2,2,a,b,2,2,3,3,12,下列计算正确的是,A,7,B,5,C,性质,4,二次根式的性质,2,7,A,2,5,24,4,6,13,若,a,0,求,的值,3,1,ab,b,b,a,a,因为,a,0,ab,3,0,0,b,0,所以,b,0,a,0,所以,b,0,解,b,a,2,ab,ab,ab,3,2,2,1,1,b,ab,ab,a,ab,b,a,b,a,b,a,g,所以,2,2,1,ab,ab,b,a,b,a,g,1,1,b,ab,a,ab,b,a,g,化简根号内含字母的二次根式时，一定要先弄,清楚这些字母的取值范围,同类变式,

11、14,已知三角形的两边长分别为,3,和,5,第三边长,为,c,化简,2,2,1,4,4,4,16,4,c,c,c,c,问题,3,二次根式的性质及运算,本章总结提升,积,商,的算术平方根与二次根式的乘除法法则有什么关,系？如何利用二次根式的运算法则进行二次根式的运算,3,两个运算,考点,15,计算,2,3,2,7,5,运算,1,实数的运算,4,原式,2,8,2,2,10,解,16,计算,1,运算,2,二次根式的运算,32,27,3,4,3,2,方法,1,先将根号外的因数移到根号内，再计,算,原式,27,32,5,方法,2,先化简，再计算,原式,27,32,5,解,27,32,27,32,3,3,

12、4,2,2,2,3,3,4,2,3,3,4,2,2,中考,临沂,3,3,1,2,1,2,原式,解,2,2,3,2,1,3,3,2,2,2,2,本章总结提升,点评,实数的运算主要包括求平方根、立方根以及实数的化简求值,等解决实数的有关运算应把握以下知识点,1,平方根、立方根,2,实数,的加、减、乘、除运算法则和运算顺序,3,运算性质,a,b,ab,a0,b,0,a,b,a,b,a0,b0,4,乘法公式等,本章总结提升,归纳总结,二次根式的运算结果必须化成最简二次根式最简二,次根式满足两个条件,1,被开方数的因数是整数，因式是整,式,2,被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,4,两个技巧,考点,1

13、7,比较,的大小,技巧,1,利用倒数法比较大小,2 016,2 016,20,1,7,0,5,1,2,与,解,1,2017,2 016,2017,2 016,2017,2 016,2017,2 016,2017,2 016,2,2,2017,2 016,2017,2 016,1,2 016,2 015,2 016,2 015,同理可得,1,1,2017,2 016,2 016,2 015,所以,2017,2 016,2 016,2 015,而,2017,2 016,0,2 016,2 015,0,又因为,2017,2 016,2 016,2 015,所以,一般地，已知,a,0,b,0,如果,那

14、么,a,b,如果,那么,a,b,1,1,a,b,1,1,a,b,18,已知,x,1,y,1,求,x,2,y,2,的值,技巧,2,整体代入求值,2,2,因为,x,y,1,1,2,xy,1,1,1,所以,x,2,y,2,x,y,2,2,xy,2,2,2,1,6,解,2,2,2,2,2,2,同类变式,19,已知,a,b,b,c,求,2,a,2,b,2,c,2,ab,bc,ac,的值,3,2,3,2,5,两个应用,考点,20,中考,淄博,如图，正方形,ABCD,的边长为,10,AG,CH,8,BG,DH,6,连接,GH,则线段,GH,的长为,A. B,C. D,10,5,应用,1,利用二次根式解决几何

15、问题,8,3,5,2,2,14,5,2,B,如图，延长,BG,交,CH,于点,E,因为四边形,ABCD,是正方形,所以,AB,CD,又因为,AG,CH,BG,DH,所以,ABG,CDH,SSS,所以,1,5,2,6,因为,AG,8,BG,6,AB,10,所以,AG,2,BG,2,AB,2,所以,ABG,是直角三角形,所以,CDH,也是直角三角形,所以,AGB,CHD,90,所以,1,2,90,5,6,90,又因为,2,3,90,4,5,90,所以,1,3,4,6,2,又因为,AB,BC,所以,ABG,BCE,ASA,所以,BE,AG,8,CE,BG,6,BEC,AGB,90,所以,GE,BE,

16、BG,8,6,2,HE,CH,CE,8,6,2,在,Rt,GHE,中,GH,故选,B,2,2,2,2,2,2,2,2,GE,HE,21,如图，桌面上放着一个正四棱柱，该正四棱,柱的底面边长为,5 cm,侧棱长为,8 cm,一只,蚂蚁欲从正四棱柱底面上的顶点,A,沿棱柱的表,面爬到点,C,处吃食物，那么它需要爬行的最,短路程是多少,应用,2,利用二次根式解决实际问题,点,将上底面,A,B,C,D,和侧面,A,ABB,展开，如,图所示，连接,AC,在,Rt,ABC,中,AB,5 cm,BC,BB,B,C,8,5,13(cm,由勾股定理，得,AC,2,AB,2,BC,2,5,2,13,2,194,所

17、以,AC,cm,解,1,194,点,2,将侧面,AABB,和侧面,BBCC,展开，如图,所示，连接,AC,在,Rt,ACC,中,AC,AB,BC,5,5,10(cm,CC,8 cm,由勾股定理，得,AC,2,AC,2,CC,2,10,2,8,2,164,所以,AC,cm,因为,2,所以蚂蚁需要爬行的最短路程是,2 cm,194,164,164,41,41,在将空间图形中最短路程问题转化为平面图形,来解决的同时，还必须全方位考虑各种可能情,况，只有这样才能得到正确的答案,问题,5,数形结合思想在实数化简中的运用,本讲总结提升,当借助数轴解决数学问题时，可以运用数形结合思,想来解决应该如何利用数轴进行实数的化简呢,6,两种思想,考点,22,如果表示,a,b,两个实数的点在数轴上的位置,如图所示，试化简,a,b,思想,1,数形结合思想,2,a,b,点,由数轴可知,b,0,a,且,b,a,所以,a,b,0,a,b,0,所以原式,a,b,a,b,a,b,a,b,a,b,a,b,2,b,解,本讲总结提升,例,8,实数,a,b,在数轴上的对应点,A,B,的位置如图,2,T,2,化,简,a,b,a,2,3,a,b,3,图,2,T,2