线性代数样卷B及答案

1、B 线性代数样卷) 20分每小题2分，共一、选择题（本题共10小题,) (从下列备选答案中选择一个正确答案 ）列7352164的逆序数为（1、排 14 ）13 （DB）12 （C）（A）11 ）n阶可逆矩阵，下列各式正确的是（ 2、若A为1?1?A2?(2A)0?A?A （B） （A1?AT11T?1T?1)?(A(A?(A) D） （C（）A001?100?（ ）3、以初等矩阵 右乘初等矩阵相当于对矩阵A施行初等变换为0A?01010?001001?C?Cr?Cr?r?rC （ （A）C）B （）D） 313313224、奇异方阵经过（ ）后，矩阵的秩有可能改变 （A）初等变换 （B）左乘初

2、等矩阵 （C）左右同乘初等矩阵 （D）和一个单位矩阵相加 ns(s?n)0Ax?个解向量，有基础解系并且基础解系含有、5 如果那元齐次线性方程组A的秩为（ 么矩阵） nsn?s （C）D）以上答案都不正确（A） （B） （?线性相关，则有（ 线性无关，）6、向量组 ,?,?,?413322?线性表示可由 线性表示 （BA（）可由?,?,?31244213?线性表示D）（C）可由可由 线性表示 （?,?,?,?311442237、 以下结论正确的是（ ） （A）一个零向量一定线性无关； （B）一个非零向量一定线性相关； （C）含有零向量的向量组一定线性相关； （D）不含零向量的向量组一定线性无关

3、 8、n阶方阵A 具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（ ） ）既不充分也不必要条件D）必要不充分条件（C（ ）充分不必要条件B（ ）充要条件A（?1021 3?11?1 的一次多项式），则式中一次项的系数为（9、 关于 x?f(x)?4x5?2?31?11（A）2 （B）2 （C）3 （D）3 10、下列不可对角化的矩阵是（ ） nn阶方阵个相异特征值的（B）有 （A）实对称矩阵 nn阶方阵个线性无关的特征向量的（C）有 nn阶方阵个线性无关的特征向量的（D）不足 二、填空题（本题共10空，每空2分，共20分） （请将正确答案填入括号内） AA= 重特征值为21、若三阶方阵，则行列式的3

4、8?63426?736A?8A?3A?4A= 2 、已知 ，则 . ?D24212223 1?3222134?1 1?3A ?AA 为三阶可逆矩阵，且 3. 设，则 3 1?2?5?= 4、 ?1?3? 1?12?13?4、矩阵5 的秩是 ? ?4?3?1? 321、行列式中元素2的代数余子式是 6 724? 526?,0AX?为它的一个基础解系，则秩 为一个47、设元齐次线性方程组，若321R(A)? 21?1?A?132的行最简形为： 8、设 . ? ?12?1?TT?,yx2)?3,?x?(6,4,3),y?(1,. ，则9、已知 T?)2?2,?(3,Tt?)t4?(,3, 设向量10

5、、 正交，则与向量 三、计算题（本题共2小题,每小题6分，共12分） （要求写出主要计算步骤及结果） L 22421?20?L2422?21?4xf(x)?x，求. 、计算 2、已知，1)(Af021A?MMMM?D?n?200L?2224L4222四、综合应用题（本题共4小题，共48分） （要求写出主要计算步骤及结果） TTT?,?3,4,?5,7,?1,?1,3,0?,2,3,21 ，（1、8分）已知向量组312. 2）求该向量组的一个最大无关组（1）求该向量组的秩. （. ）将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示（3TTT?4)3,3,?(2,1),?(2,?1,3),?(0,3

6、8分）验证的一个基为R2、（312TT?3,1)?(2,?(1,2,3)? 在这个基中的坐标。并求21TTT?3)?,a?4)?(2,?2,4),a?(1,2,(2,?A:a （14分）设有向量组、3312T?,)?(1,3,b, 取何值时。问及向量A 不能由）向量b向量组线性表示？（1A b能由向量组线性表示，且表示式唯一？（2）向量A 向量组线性表示，且表示式不唯一？能由（3）向量b 22?4xx+xx?=2?x4x, 分）已知二次型18、4（322211A) 分.(3（1）写出二次型对应的矩阵A) 分的特征值（2）求矩阵. (3A) 分的特征值对应的特征向量（3）求矩阵.(622xx?4

7、x?=2x4xx+Pyx?) 把二次型）求正交变换化为标准型. (6分（4321212 B答案及评分标准线性代数样卷 分)2分，共20小题一、选择题（本题共10,每小题1-5: C B D D C 6-10: D C B A D 20分）空，每空2分，共二、填空题（本题共1053?1? 、 2 41、 8 2、 0 3、 5? 92?1 ? 001?010 3 10、 9、12 、 6 -4 7、 1 8、 ? ?100? 12分）,每小题6分，共三、计算题（本题共2小题 1、LL 222221221LL012222004CC?i1LMMM02?rr?(2n2)nD?(2?2)001i 解：1

8、?CMLMMM221241 Ln2,i?2)n(2?LL201202024n?12)2?n?(2 分）6（ 1?20?21x?(x)?x4f. ，2、已知，求)f(A021A?200?480?3?40? 分） 2分） （解：2 （2?A?4?8?40034?A?8?00400?640? （2分） ?2?4?6?EA?A0?4A?f?30?0? 四、综合应用题（本题共4小题，共48分）（要求写出主要计算步骤及结果） TTT?,?,3,0?1,2,3,23,4,5,7,?1,?1 1、（8分）已知向量组，312. （2）求该向量组的一个最大无关组（1）求该向量组的秩. . （3）将不属于最大无关组

9、的向量用最大无关组线性表示1?15120?3?2?1701r?A 分）解： （2 ?030033?000240?)?,2,R(， （2分） （1）该向量组的秩321?, （2分）（2）该向量组的一个最大无关组为 21?3?2? （2分） （3）213TTT?(?3,3,?4)(0,2,1),(2,?1,3),?3的一个基 8分）验证为R（2、321TT?(2,?2,3)?(1,3,1)在这个基中的坐标。 并求21?),?),?A(,B( 解：证2132102?3121002?4?:0103?17)?2?132?(A,B （4分） ?4?10013?4311?,:E即,?A3,的一个基 为R （

10、2分） 312?4?7,?24? 且 32123121?在这个基中的坐标分别为(2,?1,?1)和(?4,7,4), （2分）即 21 TTT?3)?,?2,4),a(2,a?(2,?2,?4),a?(1,A: 14分）设有向量组3、（312T?,b?(1,3,), 问及向量取何值时。A 不能由向量组线性表示？（1）向量bA 能由向量组线性表示，且表示式唯一？（2）向量bA 能由向量组线性表示，且表示式不唯一？（3）向量bTba?xa?xxa?),x(x,a,a)xx?A?(a 记解：设32112332123121212211?4?033?2?b)?22A(（5分） ?6?003?4423?3

11、?6且?A3,?b)R(A,R(A)Ax?b?2?时组线性（1）当即无解，b不能由 2 分）表示。（33?AbAx?(RA,b)?3,R(A)?）当（2能由3组唯一表示。（分） 有唯一解，时b 23?6且?Ab,b)?2?3,Ax(AR()?RA表（3）b能由有无穷多解，时，当 2示且不唯一。（3分） 22?4x+xxx?=2x?4x, 418、（分）已知二次型312212A.(3分）写出二次型对应的矩阵（1) A) 分. (3的特征值）求矩阵2（A的特征值对应的特征向量.(6分（3）求矩阵) 22xx+x?4?=2x?4xxPyx?) 把二次型分化为标准型. (6（4）求正交变换321122

12、 2-20?A?-21-2（3分）解：（1） ?00-2? 0?2?2? ?2?E?21A?2)?(1?4)()(? 2） （?20?4?1?2,（3故得特征值为分） 3214?20x?1?即0,2E)X?(A?2?. 3（）当时，由0x23?2?1?2?x20?2?31?x1?1?.得特征向量（2分） 解得?2k?x2?121?2x2?31?20x?1?即?0,X?1(A-E) 由当时,0?x?20?2?22?x2?10?32?x2?1?得特征向量（解得2分） ?1?1?xk?222?2?x2?3?2?20x?1?4?即?0,(A4E)X. 当时,由0x2?2?3?3?2?x420?32?x2?1?得特征向量