数与代数的整体分析(2017年8月1)ppt课件

1、数与代数领域教学讨论,北京市西城区教育研修学院 刘克臣,BEA Confidential. | 2,介绍我自己：从一线走出的学科教研员,BEA Confidential. | 3,数与代数,算术,代数,数的概念,数的运算,数量的估计,字母表示数,方程,函数,框架,BEA Confidential. | 4,核心素养下的核心,BEA Confidential. | 5,数与代数学习内容的主线： 从数及数的运算到代数式及其运算，再到方程、函数,BEA Confidential. | 6,数,BEA Confidential. | 7,一、数的概念从量到数的抽象,自然数形成包括两个方面，一是与生活密

2、切相关的数字（09）的形成；二是计数单位（十、百、千等）的建立,2021/2/1,第一阶段是基于现实 第二阶段是基于逻辑,2021/2/1,了解两个基本问题,抽象必须关注研究对象的共性！ 抽象必须关注研究对象和其它事物的差异,把握共相、明晰异相，把所研究的对象从诸多事物中分离出来，进行命名，这就是对研究对象进行抽象的基本思维过程,2021/2/1,这里的命名就是定义,两种定义方法： 第一种，基于对应。通过若干具有同质特征的实例，给研究对象起个名字。 第二种，基于内涵。把握研究对象的本质特征，述说研究对象是什么,不涉及本质特征,思考：我们教材中定义的方法,2021/2/1,一个概念的抽象过程,第

3、一阶段，简约阶段：把握事物关于数量或者图形的本质，把繁杂问题简单化，给予清晰表达,第二阶段，符号阶段：去掉具体内容，利用符号或关系术语，表述已经简约化的事物,第三阶段，普适阶段：通过假设或推理，建立法则、模式和模型，在一般意义上描述一类事物的特征或规律,2021/2/1,举个例子自然数概念的抽象过程,当俄底修斯刺瞎独眼巨人并离开克罗普斯国后，那个不幸的老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨母羊外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子。晚上母羊返回山洞时，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子都扔光时，他就确信所有的母羊返回了山洞,简约阶段石子和羊对应,2021/2/1,桥梁

4、作用,2021/2/1,一年级1-5的认识,一年级6-10的认识,看教材,二、 数的表示数位与计数法,1)多位数的表示,2）计数法的含义及刻画方式,计数法主要是指提取与刻画事物数量信息的方法。一般情况下，一种计数法应该包含提取数量信息的法则（俗称：二进制、十进制等），以及分别用语言与符号刻画数量信息的法则（俗称：读法与写法,十进制计数法”提取数量信息的法则是“满十进一，四位一级”；用语言刻画数量信息的法则是“从高位读起，四位一级，每级按照个级的方法，在级尾给出级名，级首有零一定唱、级中有零一个算，级尾有零全不管”（不同的母语读数方法是不一样，英语采用三位一级）；用符号刻画数量信息的法则是“哪个

5、数位上有几个计数单位就写几，一个计数单位也没有就写0,在我国自然数的符号刻画方式有两种： 一是位值原则计数法。即利用数位表进行计数，一个数字不仅有本身的值还有位置的值； 二是科学计数法。将“位置值与自身值”以捆绑的形式来刻画数量信息，即写成不同的计数单位的数的和的形式，如： 98765432=9107+8106+7105+6104+5103+4102+3101+2100,计数法的刻画方式,三、数的扩充,分数是怎么产生的,23=,为什么有了分数还要有小数,十进制计数法扩展完善的需要； 分数书写形式的优化改进,数的认识的教学关注点,第一，沟通联系沟通知识的前后联系,一上：10 以内数的认识（逐一计

6、数,一上：1120 各数的认识（按群计数,一下：100以内数的认识,二下：万以内数的认识,四上：大数的认识 （数级,三上：分数的初步认识,三下：小数的初步认识,四下：小数的意义和性质,五下：分数的意义和性质,六上：百分数的意义,向微观 数域拓展,六下：负数的认识,第一，沟通联系沟通知识的内在联系,一）沟通整数和小数的关系 整数与小数的计数方法是一致的，是十进制计数法，相邻两个计数单位间的进率都是10。 （二）沟通分数和小数的关系 理解小数是十进分数。 （三）沟通分数、整数、小数之间的关系 都是按照一个单位进行数数的，无论是整数、小数、分数，都是计数单位的累加,第一、沟通联系沟通知识的内在联系,

7、第二，把握核心 把握四个核心概念,十八世纪著名数学家拉普拉斯曾对“位值制”有过这样的评价：“用十个记号表示所有的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值这是一个深远而有意义的思想。,位值制：同一数字在不同位置表示不同的计数单位的个数,11 424,课标新增：理解各数位上的数字表示的意义,在数的读写、大小比较中都有计数单位的影子，只是不如在数的组成时外显。 读数是按照一定的规则把计数单位及其个数读出来。 写数是把计数单位隐藏起来，按照约定的规则从左到右数位依次降低记下计数单位的个数。 数的大小比较，则比的是计数单位和计数单位的个数,计数单位,3915840000 仅仅是34吗？ 9581000

8、 仅仅是三位数小于四位数吗,第二，把握核心 把握四个核心概念,计数单位,4个格6个格,4个 6个,0.4,0.6,4个0.16个0.1,比较的都 是相同计数单位的个数,第二，把握核心 把握四个核心概念,第二，把握核心 渗透三个核心思想,抽象,第二，把握核心渗透三个核心思想,数形结合、对应思想,424,第二，把握核心 渗透三个核心思想,位值思想,第三，培养数感的有效举措,一）引导学生亲身经历数概念的形成过程,实物直观模型 数 （抽象,10,12,第三，培养数感的有效举措,二）呈现数的多种表征模型，帮助学生理解数的意义,表征模型主要有：实物示意模型、小棒模型、正方体模型、计数器模型、人民币模型、点

9、子图模型等,个,十,百,千,三）注重把握核心概念理解数的意义,四）注重借助动手操作理解数的意义 （圈、拨、画、折等,第三，培养数感的有效举措,五）注重估数教学，发展学生的数感,六）关注数的来龙去脉，丰富学生对数的认知,数的产生、发展史（因需而生,数在生活 中的应用,口算,学过了分数和除法的关系怎么会这样,话题讨论,小数习惯了，分数还不习惯” “对呀，忘了！” “1/7不是表示把单位1平均分成7份，表示这样一份吗？能当结果吗,访谈,对于分数的认识有哪些维度,1）比的意义：指部分与整体的关系和两个量之间 的（比的）关系,从数量比到份数比,小红有5个苹果，小丽有3个苹果 ，小红的苹果是小丽的三分之五

10、,从部分与整体到两个量的关系,我们要：整体把握，抓本质,请用分数表示阴影部分,只有抓住这些难点，整体设计，才能真正触碰学生的思维痛点,测量：可以将分数理解为分数单位累积的结果（即 按照一定测量单位所测得的量,3）运算：将对分数的认识转化为一个运算的过程,4）商：指分数转化为除法之后运算的结果。对于分数的认识由“过程”凝聚到“对象”，即分数也是一个数，也可以和其它数一样进行运算,为什学生选A,BEA Confidential. | 40,数的运算,2021/2/1,理解运算的意义,例如：加法,一年级第一次学习加法,教材基于内 涵定义加法,2021/2/1,基于内涵定义加法,意大利数学家,基于内涵

11、定义了自然数：先有1，1的后继为2，2比1大1，表示为2=1+1,定义自然数的同时定义了加法即“+1”的运算，加法是“+1”运算的复合,抽象数三条法则：封闭性、交换律、结合律,2021/2/1,这样的设计基于皮亚诺的“+1”内涵定义记住,教材都是基于该思路设计,2021/2/1,很多学者对于基于内涵的加法定义提出了不满,只有经验才能告诉我们算术的加法可以用在哪里，比如一个雨滴加另一个雨滴并不能得到两个雨滴你把一头狮子和一只兔子关在一个笼子里，最后笼子里绝不会是两个动物。 算与量,德国物理学家、生理学家,在数学教学过程中，除了这种完全基于定义的而加法运算之外，还应当让学生感悟加法的现实意义，这个

12、意义和本质都体现在对应的方法之中,2021/2/1,史宁中校长给出了这样的建议,问：哪边的气球多,问：哪边的球多？ 3+1=4,揭示“=”的本质含义：符号两边讲述的是两个故事，符合表示这两个故事中的数量相等,关于精算和估算,运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。 小学数学课程标准（修订稿,算理？算法,324+324 =（300+20+4）+（300+20+4） =（300+300）+（20+20）+（4+4） =600+40+8 =648,整数加法的算理,0.3 0.2 =（3 0.1）（2 0.1） =

13、（3 2）（ 0.1 0.1） = 6 0.01 = 0.06,小数乘法的算理,如何帮助学生理解算理,小数加减法 执教北京小学于萍,0.8+3.74= ,小数加减法,生：整数的末位是个位，末位对齐也就是个位对齐了。而小数的末位不一定是相同的，所以不能末位对齐,把小数点对齐，也就是相同数位对齐,如果不把小数点对齐，而把末位对齐的话，十分位的8就和百分位的4对齐了，相加之后肯定就不对了,元,角,分,小数点对齐,相同数位对齐,计数单位,应如何面对学生的错误,深入了解学生计算现状，准确分析错误原因,253=95,应如何面对学生的错误,帮助学生自己反思错误的原因,选择合适的训练方法，帮助学生减少错误,能

14、搭配多少种不同的速度,26=12（种,不要把学生的“错误”变成老师的错误,课堂上发生了什么,生1：我进行了一一的搭配，找到可以组合成12种不同的速度。 生2：我有更简单的方法。可以直接利用学习过的乘法原理来解决，26=12，可以组合成12种不同的速度。 师：利用不同的方法，找到了组合速度的数量。 生3：老师我觉得好像不对。 师：你觉得是多少种？ 生：我也不知道，但是我觉得这里面有重复的,请大家思考，到底有没有重复的,教材也是这样,课后的对话,你能再说说你的想法吗？” “只要前后轮齿数的比相同速度也应该是相同的,48:24=40:20,这位孩子的想法有道理吗？到底是谁错了,算法多样化问题的探讨,

15、算法多样化的价值,培养学生的创新精神，潜能得到充 分地发展,有利于学生之间的交流，使学习资源能够共享,算法多样化有利于老师对学生的个性地了解，从而施行因材施教,班中组织联欢会，布置教室需要做彩带。如果把现有的米长的彩条，平均截成2段，每段长多少米,分数除以整数案例分享（片段1,生2：我的方法和生1的一样，不过我是用算式写的： 2= = （米,生3： = （米,生4：0.82=0.4（米,生1：我是将这条纸条对折再对折，然后打开这样就可以看出有4个米，它的一半就是两份，就是 米,分数除以整数案例分享（片段2,3,生3：要用43，我没法做了,生4：把分子和分母都扩大3倍， 再除以3就行了,生5：可

16、以利用商不变的性质： （ 5）（35）=415,适当横向比较,横向比较的目的不是拿来就用，是为我们提供新的视角,怎么看待这么多种处理方法？ 1)一个数除以分数的算法是多角度的。 2）彼此很难区分优劣，因此允许学生理解属于自己的方法。 3）此内容的教学设计必然要体现开放的特点,分数除以整数带给我们的启示,学生的想法体现了学生思维的灵活性,激发学生不断交流、不断反思计算方法,第一，鼓励学生的独立思考，主动探索出计算的方法。 第二，鼓励学生在独立思考的基础上进行交流。 第三，老师要善于比较不同方法的特点，挖掘不同算法的思维价值。 第四，教师要善于引导学生分析比较，在学生的质疑、辨析中促进学生对自己方

17、法的反思和提升,数量估计 测量估计 计算估计（估算,估计,1）在日常生活中有着广泛的应用。 （2）为判断计算器、口算和笔算结果是否合理提供了依据。 （3）有利于人们事先来把握运算结果的范围，是发展学生数感的一个重要的途径。 （4）对学生后续的数学学习有重要作用,标准中有关“估算”的目标要求,两个学段对于估算的要求侧重点不同,第一学段的估算强调在具体的情境中选择合适的单位,学校组织987名学生去公园游玩。如果公园的门票每张8元，带8000元钱够不够,8987,1000,两个学段对于估算的要求侧重点不同,第二学段强调学生在解决问题的过程中，选择合适的方法进行估算。这个问题可以是实际问题，也可以是数

18、学本身的问题,阿姨在商店挑选了两袋米、一块牛肉、一些蔬菜和鱼，营业员告诉她：每袋米35.4元，一块牛肉14.8元，蔬菜和鱼的价格分别为6.7元和12.8元。李阿姨带了100元，够付款吗？（现实问题） 9.96.9比70小吗？（数学问题,估算”从学生角度来讲主要问题有两个,一是学生不知道什么选择用估算，往往学生 一看见有“大约”，就开始估。 二是学生不知道在什么情况下选择用什么样的估算策略，也就是估算策略怎么能够合理地进行应用,如何培养学生的估算意识,1.首先把估算意识的培养作为重要的教学目标,2.要选好题目，提出好问题，让学生去体会估算的必要性,3.除此之外要鼓励学生，利用估算来验证计算结果，

19、养成好的习惯,4.引导学生在问题情境的对比中，选择估算或精确计算，不断地积累这方面的经验,估算的策略,估算策略主要是指运用估算去解决实际问题的策略，有较强的针对性和灵活性,62个学生去儿童游乐园玩,每张门票9元，大约要准备多少钱呢,电影院每排有62个座位，这样的9排大约至少有多少个座位,估算教学的评价,关注对估算意识的评价,保罗用$5去购买牛奶、面包和鸡蛋。当他到达商店时，发现这三种食品的价格如下图所示,在下列哪种情况下使用估算比精确计算有意义？ A.当保罗试图确认$5是否够用时； B.当销售员将每种食品的价钱输入收银机时； C.当保罗被告知应付多少钱时； D.当销售员数保罗所付的费用时,摘自

20、TIMSS的测试,游戏24点,怎么办,凑,5（5-1/5)=24,55-1=24,试一试：3、3、8、8,BEA Confidential. | 72,代数,算术,下面这些现象你是否见过,第二，了解儿童的思维学生研究,我们继续看,填空：3+4（ ）+6,学生：3+4（7）+613,面对学生的这些情况，我们已经木然,上面几个案例有没有什么必然联系呢,学生：3+4（7）+613,算术思维和代数思维的差异,在算术中“=”代表运算结果“得到”； 在代数中“=”代表两边对称的等价关系,现在您怎么看,站在思维培养的角度看：简易方程单元,a）只青蛙（b）张嘴（c）只眼睛（d）条腿,一只青蛙一张嘴扑通一声跳下

21、水； 两只青蛙两张嘴扑通一声跳下水；,一只青蛙一张嘴扑通一声跳下水； 两只青蛙两张嘴扑通一声跳下水；,建议： 一只青蛙一张嘴扑通一声跳下水； 两只青蛙两张嘴扑通、扑通跳下水,人教版： x3=9,方程两边同时减去同一个数，左右两边依然相等,x3-3=9-3,为什么要减3,x=6,现代版： x8=12 解： x8=12 x=12-8 x =4,方程两边都减少8,为什么要用等式的性质解方程,不愿意用方程解决问题,太麻烦！” “没必要,方程：关系思维 模型 一类一类的解决问题 算术：一个一个的解决问题,问题解决,一、问题的提出,数学课标（2011版）第二部分课程目标：提出“问题解决” 课程目标分为四个

22、部分： 知识技能； 数学思考； 问题解决； 情感态度,具体描述： 1.初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。 2.获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。 3.学会与他人合作交流。 4.形成评价与反思的意识,第一学段（1-3年级） 1能在教师的指导下，从日常生活中发现和提出简单的数学问题，并尝试解决。 2了解分析问题和解决问题的一些基本方法，知道同一个问题可以有不同的解决方法。 3体验与他人合作交流解决问题的过程。 4尝试回顾解决问题的过程,第二学段（4-6年级） 1尝试从日常生活中发现并提

23、出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决。 2能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性。 3经历与他人合作解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程。 4能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性,两个学段的要求,追溯,第一颗人造地球卫星,美国掀起： 新数运动（数学教育现代化运动,数学教育质量下降，响起“回归基础”的号召,问题解决,人们心存疑虑，担心“十年一个口号”！ 历史并未重演,日 本,2008年3月公布的小学数学学习指导要领，16年级都安排了数学活动，且纳入问题解决的视野,德 国,将“数学地解决问题的能力”列为六大数学能力之一,新加坡,1990年小数数学教学大纲，首次将发

24、展学生的问题解决能力作为核心目标至今,摘自小学数学问题解决的研究,问题解决”不是一个全新的提法，2001版课标的课程目标也是四部分，其中的一部分叫“解决问题,实验稿：解决问题，有何不一样呢,解决问题：结果 问题解决,发现和提出问题分析和解决问题,过程,什么是问题？ 当一拥有一个目标，但不知如何实现时，问题就出现了,Pissa2012问题解决框架,这里的“问题”不直接对应原来的应用题中的问题； 也不是凭记忆或套用公式解决的问题； 还不是形成套话，模式化的问题,问题应该是： 新颖的； 有一定的思维含量的； 有意义的（规律、典型、普遍）； 能产生新问题的,理想中的问题,问题解决的特征,1）初次遇到的

25、新问题 （2）克服障碍的探究活动 （3）能生成新的知识 曹培英小学数学问题解决教学研究,三、把握课标的要求与关注教材的变化,人教版教材在这方面改动比较大，突出地呈现了这样的特点,第一学段,波利亚： 理解问题 制定计划 执行计划 回顾反思,第二学段,三、把握课标的要求与关注教材的变化,一）第一步：阅读与理解 知道了什么,教材的意思是引导学生从数学的角度 发现问题和提出问题,知道了什么要求学生从不同形式呈现的各种信息中，找到有关的信息和问题，用数学上常用的语言表述出来,直接的,多信息的,阅读与理解 理解情境中的数学信息，提炼出数学问题,这里的“理解”与下一个环节的“分析”有时不好区分。 主要是指向

26、 从数学的角度，发现问题与提出问题,根据你对情境的理解，提出数学问题,根据你的理解，把生活信息转化成数学信息,培养学生的问题意识，是当前教学改革的一个热点，大家都这样做。但也有一些需要注意的倾向,圆柱体的表面积： 老师问：看见这个课题你们想提什么问题？或你们想知道什么？ 学生就会说：我们想知道什么是圆柱体的表面积？ 老师就说：这就是圆柱体表面积的意义。 学生又说：我想知道圆柱体表面积怎么计算？ 老师就说：这就是圆柱体表面积的计算公式。 学生又说：我想知道圆柱体表面积有什么用？ 老师就板书：圆柱体表面积的作用,如：模式化倾向,一、关注学生的数学思考,四、国外小学数学问题解决题评价的启示,特色:侧重考查学生是否理解要解决问题是什么， 是否知道解决这样的问题需要哪些条件,对于解决问题的考查，不是落在 解决问题程序的记忆上，而是真正 落在对现实问题的解决上,一、关注学生的数学思考,四、国外小学数学问题解决题评价的启示,二、强调学生对概念、运算意义与关系的理解,我们的考法： 西蒙有4辆车，再有几辆