高中数学奥林匹克竞赛训练题(28)

1、数学奥林匹克高中训练题（28）第一试一、 （本 分36分，每小 6分）1 ( 训练题 38) 已知 a（ 3， 0）， b（ 0， 3）， c（ 15,24 ）的三角形与 x2+y 2=r2（ r 0） 有公共点 . 半径 r 的取 范 是 (b) 77(a)0,310389,(b)3 10 , 3 89(c) 0,3 2(3, )1071072(d) 32 ,3d1c13a1b12 ( 训练题 38) 如 所示， 方体abcd-a1b1c1d1中 ab、 db1、a1 d1、 cc两两成异面直 . 作一 相交直 l、 l，使 l1112d与 ab、 db均相交， l2与 a d 、 cc均相

2、交， 的相交直 c1111有 (d) ab(a)0 对 (b)1 对 (c)多于 1的有限 (d)无限 3 ( 训练题 38) 如 ， o 外一点 a 作 的两条切 ab、 ac， bc. abc的周 p 与劣弧 bc的 l之 的关系 (a) (a)p 2l(b)p=2l(c)p2 l (d)不能确定，与a 的位置有关b4 ( 训练题 38)已知 x 角 .则 sin3 xcos3 x2是 x的 (c) l24ao(a) 充分而不必要条件(b)必要而不充分条件(c) 充分必要条件(d)既不充分也不必要条件c5( 训练题 38) 如 1，矩形 b bcc由正方形 b baa与 a acc拼接而成

3、 . 将 形沿a a 折成1111111直二面角；如 2，取 段 b1c 内一点 p， p 到 ab 的距离 pe， p 到 a1c1的距离 pf， pe与 pf 的关系 (b) ba1ca1 f(a)pe pf (b)pe=pf (c)pe pfb(d) 不能确定，与点 p 的位置有关6 ( 训练题 38) 对 b a 0，取第 1象限的p点 a （ x， y）（ k=1， 2， n），使 a，kkka，bx， x， xn， b 成等差数列，而acba12y1， y 2， yn， b成等比数列 . 各点图图a 、 a 、 a 与射 l y=x （ x 0）的12n关系 (c) (a) 各点均

4、在射 l的上方(b)各点均在射 l 上(c) 各点均在射 l的下方(d)不能确定cc二、填空 （本 分54分，每小 9分）1 ( 训练题 38) 方程 log 5(3 x+4 x)=log4(5x 3x ) 的解集合 22( 训练题 38) 在直角坐 系上，rt oab三个 点的坐 o（ 0，0），a（ 1，0），b（ 1，2）.- 1 -在斜 上任取一点c（ x， 2x）（ 0 x 1）， c 作 cd oa 于 d，作 ce1，矩形2， cebyb ab 于 e. ocd的面 s (x)cdae的面 s (x)的面 s3 (x) （如 ）；又 同一个x， f(x)为 s1(x) ， s2(

5、x)， s3(x)4s2中的最大 . 当c在 段 ob内 化 ， f(x)的最小 ce93( 训练题 38) 足 (a n 1)(a n+1+1)=0(n=1 ，2，99) 的不同数列a1，a2，s1s3xa共有无 个od11004 ( 训练题 38) 已知 虚数 x1， x2， x1999 的模均 1. 则 x1x2+x 2x3+ +x1998x1999 +x1999x1被 4除所得的余数 15( 训练题 38) 身高两两不等的10个人排成一列，每个人都比前面的人高或都比前面的人矮. 符合条件的排法数有512种（用数字作答） 6( 训练题 38) 用 1，2， n， 成无重复数字的n 位数，

6、 定2不得与 1或 3相 共得 2400个不同的 n 位数 .则 n= 7三 、 ( 训 练 题 38)(本 题 满 分 20 分 ) 已 知 抛 物 线s ： y=ax 2+bx+c(a 0) 与 二 次 曲 线223、4可以看出，下面三个 是成立的， ax +y +bx+ay+c+a=0 的 4个不同的交点，由草 出 明（ 1）两曲 的4 个交点中，至少有两个交点位于x 的下方；（ 2）抛物 s 必与 x 有两个不同的交点， （x， 0），（ x， 0）， x x2；121（ 3）两曲 的4 个交点中，必存在一点（x0， y0），使 (x 0 x1)(x0 x2) 0.注： a、 b、 c

7、 的不同取 会有无yy数个 形， 此 就a b，0 a 1各 出一个示意 ，同 也就限制“由 看出”的解答 .ooxx-1-1图 3图 4- 2 -四、 ( 训练题 38)( 本题满分 20分 ) 如图，点 o 表示太阳， abco表示一个三角形遮阳栅，点 a、b 是地面上南北方向的两个定点，正西方向射出的太阳光线ocd把遮阳栅投射到地面得出遮影cabd. 已知光线 ocd与地面成锐角 （ 1）遮阳栅与地面成多少度角时，才能使遮影abd面积最大？ab（ 2）当 ac=3， bc=4， ab=5， =30时，求出遮影 abd的最大面积 .d五、( 训练题 38)( 本题满分 20分) 由草图可见， 方程 log5 (1x ) log16 xy有且仅有一个解 . 请证明这个结论 .x第二试一、 ( 训练题 38)(本题满分 50分 ) 已知直角梯形abcd的直角腰ab 存在一点e，使 cde为正三角形，又 ae4.求 ae 的值adcd4ab二、 ( 训练题 38)(本题满分 50分 ) 圆周上有 n 个点（ n 2），用弦两两连结起来，其中任何3条弦都不在圆内共点 . 现将由此形成的互不重叠的圆内区域的个数记为 ane（ 1）