初等解析函数和多值函数ppt课件

1、2.3 初等解析函数和多值函数,1、初等单值函数,1) 幂函数,幂函数在复平面上处处解析，同时可以证明多项式函数,也处处解析,而有理函数： 除了 点外解析,2) 指数函数,指数函数的性质： (i,ii) 对于实数z=x来说，复数域中的指数定义与实数域中 的定义一致,iii,iv) 指数函数处处解析，且,v,vi) 不存在,证明：(iv,3) 三角函数,性质,i) 正弦函数和余弦函数处处解析，且,ii) 正弦函数为奇函数和余弦函数为偶函数，并遵循三角 公式,iii) 正弦函数和余弦函数以2为周期,iv) sinz=0，则 cosz=0，则,v) 在复数域中，不能判定,证明：(ii,2、初等多值函

2、数,I) 根式函数,根式函数的多值性 例如,很显然，w与z的模一一对应，但幅角却不然，w的幅角有 三个不同的值与z的幅角对应,显然，对于同一个z值，有三个w与之对应，且三个值的幅 角相差2/3,若规定，w只在I区域取值，则z的值域与w的I区域就建立起 了一一对应的关系。而对于其反函数z=w3来说，在区域I， 不同的w值对应于z平面上不同的z值，这样的区域I(0Arg(w) 2/3)，称为z=w3的单叶性区域。同理，区域 II和III也是z=w3的单叶区域，三个单叶区域再加上相邻处的 端边称为根式函数的三个单值分支,II) 支点,如图，在平面上任选一点z(r,)， 则利用第一个单值分支得,若让z

3、(r,)按逆时针方向沿一闭合 曲线连续变化，若曲线不包括原 点，则连续改变的幅角回到原来 的值，而w的值也回到w1。但如 果曲线包含原点，则旋转一周后，w的值不再回到w1，而 是回到w2,我们称z=0为 的支点,定义(支点)：若z绕某点旋转一周回到初始点，多值函数w=f(z)由一个分支变到另外一个分支，我们称这样的点为多值函数的支点,对于根式函数来说，原点和无穷远点是其两个支点,III) 支割线,连接支点z=0和z=的任意一条射线，称为支割线。支割 线将z平面割开，并规定z连续变化时不得跨越支割线，这 就使得割开的z平面上任意闭合曲线都不包括原点，由此 根式函数只在一个单值分支上取值,注：把一

4、个多值函数划分为单值分支与支割线的选取密切 相关，不同的支割线选取方式使得单值分支的区域定义也 不相同,IV) 对数函数,显然,很明显，对数函数是多值函数，一个z对应有无数个w，彼 此的虚部差2的整数倍,若限定- Arg(z) 很明显，即- v(x,y) ，则z的对数 只有一个取值，我们称之为ln(z)的主值支，记做：ln(z)。 所以,显然,如在w平面上用平行于实轴 的直线画出一个宽为2的条 带，例如图中的I，则z与w 为一一对应的关系。I为z=ew 的单叶性区域,同样，对数函数也存在两个 支点：z=0和z=。两个支点间的任意连线就构成了支割线。 支割线映射为w平面上的单值分支之间的端线,而这无穷多个单值函数皆是解析函数,证明,考虑极限,所以,对数运算法则,证明,例1：若a0，计算Ln(-a,解,而,所以,例2：计算Ln(i,解,因为,所以,例3：计算i