专题七-二次函数等腰三角形的存在性问题ppt课件

1、专题七 二次函数综合题,类型一等腰三角形的存在性问题 (遵义2017.27(1)，2014.27(2)；铜仁2015.25(2)；安顺2017.26(2,方法指导,典例精讲,例 如图，直线yx3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yax2bxc经过点A、C，与x轴交于另一点B，且B(1，0) (1)求该抛物线的解析式； 【思维教练,例题图,解：把y0代入yx3中，得0 x3， 解得x3，点A坐标为(3，0)， 把x0代入yx3中，得y033， 点C坐标为(0，3)， 把A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)，分别代入yax2bxc中，得 ，解得 ， 抛物线的解析式为yx22x3,2)点D是

2、y轴上一动点，若BDCD，求此时点D的坐标； 【思维教练,例题图,解：如解图，设D(0，d )， 在RtODB中，ODd，OB1， BD2OD2OB2d 21， CD2(3d )2，BDCD， d21(3d )2， 解得d ， 点D的坐标为(0，,例题解图,3)在抛物线上是否存在点E，使EAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出点E的坐标,例题图,思维教练】若EAC是以AC为底的等腰三角形，则EAEC，即点E在线段AC的垂直平分线上，又因为点E在抛物线上，所以作线段AC的垂直平分线与抛物线的交点即为所求,解：存在如解图，过点O作OHAC于点H，交抛物线于点E1，E2，连接E1A，E1C，E2

3、A，E2C. OAOC3，OHAC， AHCH， OH是AC的垂直平分线， E1AE1C，E2AE2C， 易知直线OH的函数解析式为 yx,例题解图,联立 ， 解得 ， ， 综上所述，存在点E，使EAC是以AC为底的 等腰三角形，点E的坐标为 E1( ， )，E2 ( ， ),例题解图,4)点F是直线AC上一动点，连接BC，若BCF是以BC为腰的等腰三角形，求出点F的坐标,例题图,思维教练】BCF是以BC为腰的等腰三角形，则有2种情况，即BCBF或CFCB.所以找点方法如下： 以B为圆心，BC长为半径画弧，与直线AC的交点即为所求； 以C为圆心，CB长为半径画弧，与直线AC的交点即为所求,解：

4、如解图，当B为顶角顶点时，以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线AC于点F1，设F1( f, f3)， 由题意可得，BC210， ( f1)2( f3)22 f 24 f10， BCBF1， BC2 ， 102 f 24 f10， 解得 f10(舍去), f22， F1(2，1,例题解图,如解图，当C为顶角顶点时，以C为圆心，CB长为半径画弧，交直线AC于点F2，F3，设F(m，m3)， 由题意可得，CF2m2(m33)22m2，BC210， CFCB，2m210， 解得m1 ，m2 ， F2( ， 3)， F3( ， 3) 综上所述，满足条件的点F的坐标为F1(2，1)，F2( ， 3)， F

5、3( ， 3,例题解图,5)点G是抛物线对称轴上一动点，若ACG为等腰三角形，求出点G的坐标 【思维教练】动点G在抛物线对称轴上，可以先设 出其点坐标，再把ACG的三边用含字母的代数 式表示出来，ACG为等腰三角形，腰和底不 确定，所以需分AGAC；CACG； GAGC三种情况列方程求解,例题图,解：如解图，抛物线yx22x3的对称轴是直线x 1， 设G(1，n)， 则有AC2323218， AG21(3)2n24n2，CG212(n3)2n26n10， 当ACG是等腰三角形时，情况有3种： 当AGAC时，以A为圆心，AC长为半径作弧， 交对称轴于G1、G2，则4n218， 解得n ， G1(

6、1， )，G2(1，,例题解图,当CACG时，以C为圆心，CA长为半径作弧，交对称轴于G3、G4， 则18n26n10， 解得n3 ， G3(1，3 )，G4(1，3 )； 当GAGC时，作AC的垂直平分线交对称轴于G5， 则4n2n26n10， 解得n1，G5(1，1) 综上所述，满足条件的点G的坐标为G1(1， )，G2(1， )，G3(1，3 )，G4(1，3 )，G5(1，1,针对演练,1. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc交x轴于点A(4，0)、B(2，0)，交y轴于点C(0，6)，在y轴上有一点E(0，2)，连接AE. (1)求二次函数的表达式； (2)若点D是第二

7、象限抛物线上的一个动点， 求ADE面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP 为等腰三角形，若存在，请直接写出所有 P点的坐标,2)设直线AE的解析式为ykxb，将点A(4，0)，E(0，2)代入 ykxb中，得 ，解得,解：(1)由题意可得： ，解得 ， 二次函数的解析式为,AE所在直线解析式为y x2， 如解图，过点D作DN与y轴平行，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作 EHDF，垂足为H， 设D点坐标为(x0， )， 则F点坐标为(x0， )， 则DF ， 又SADESADFSEDF，第1题解图,SADE DFAG DFEH 4DF2( ) ， 当x0 时，ADE的面积

8、取得最大值,3)存在，点P的坐标为(1，1)或(1， )或(1， )或(1，2 )或(1，2,解法提示】根据抛物线解析式可得对称轴为直线x1， 又A(4，0)，E(0，2)， 当APAE时，设点P坐标为(1，m)， 则AP2AE2，即32m2(4)2(2)2,解得m ， 点P的坐标为(1， )或(1， )； 当EPAE时， 设点P坐标为(1，n)， 则EP2AE2，即12(2n)2(4)2(2)2， 解得n2 ， 点P 的坐标为(1，2 )或(1，2 )； 当APEP时，设点P坐标为(1，t)， 则AP2EP2，即9t21(t2)2,解得t1， 点P的坐标为(1，1) 综上所述，抛物线对称轴上

9、存在点P，使AEP为等腰三角形，点P的坐标为(1，1)或(1， )或(1， )或(1，2 )或(1，2,2. 如图，抛物线y x2 x4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PEAC交x轴于点E，交BC于点F. (1)求A，B，C三点的坐标； (2)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的 点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三 角形若存在，请直接写出此时点Q的坐标； 第2题图 (3)请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大

10、值,2)存在，点Q( ， 4)或(1，3,解：(1)令y0，得 x2 x40. 解得x13，x24. 点A在点B的左侧， 点A，B的坐标分别为A(3，0)，B(4，0) 令x0，得y4. 点C的坐标为(0，4,解法提示】设直线BC的解析式为ykxb， 将B(4，0)，C(0，4)代入ykxb，得,解得 ， 直线BC的解析式为yx4， 点Q在直线BC上，且点Q的横坐标等于点P的横坐标m， 点Q的坐标为(m，m4)， A(3，0)，C(0，4)， AC2OA2OC2324225， CQ2(m0)2m4(4)22m2， AQ2m(3)2(m4)22m22m25,要使以A，C，Q为顶点的三角形为等腰三

11、角形，可分三种情况讨论， ()当ACCQ时，即AC2CQ2， 252m2，解得m1 ，m2 ， 点Q在第四象限，m0，m40， 0m4，mm1 ， m4 4， 点Q1的坐标为( ， 4)； ()当ACAQ时，即AC2AQ2，252m22m25， 解得m30，m41,点Q在第四象限，当m0时，不合题意舍去， m4143， 点Q2的坐标为(1，3)； ()当AQCQ时，即AQ2CQ2， 2m22m252m2， 解得m5 ， 当m 时，m4 ，此时点Q在第一象限，不合题意，舍去 综上所述，满足使得以A，C，Q为顶点的三角形为等腰三角形的点Q坐标为( ， 4)或(1，3,3)如解图，过点F作FGPQ于

12、点G，则FGx轴 由B(4，0)，C(0，4)，得OBC为等腰直角三角形 OBCQFG45. FGPQ，QGF90， FQGQGFQFG904545， QFG为等腰直角三角形， GQFG FQ. PEAC，12. 第2题解图 FGx轴，23.13,FGPAOC90，FGPAOC. ,即 . GP FG FQ. QPGQGP FQ FQ FQ. FQ QP. PMx轴，点P的横坐标为m，MBQ45， QMMB4m， PM m2 m4,QPPMQM m2 m4(4m) m2 m. QF QP ( m2 m) m2 m. 0，QF有最大值 当m 2时，QF有最大值,类型二 直角三角形的存在性问题 (

13、安顺2018.26(3,方法指导,典例精讲,例 如图，在平面直角坐标系中，抛物线图象过点C(6，6)，并与x轴交于原点O和A(4，0)，且抛物线顶点为D. (1)求此抛物线的解析式,例题图,思维教练】要求抛物线的解析式，已知抛物线与x轴有两个交点，故可考虑设抛物线的两点式，再将C点代入即可,解：抛物线图象与x轴交于原点O和A(4，0)， 设抛物线的解析式为ya(x0)(x4)， 将C(6，6)代入，得a ， y x(x4)， 即此抛物线的解析式为y x22x,2)连接CD，过点A作x轴的垂线交CD于点B，连接OB，求线段OB的长,例题图,思维教练】要求线段OB的长度，需求得B点的纵坐标，利用勾

14、股定理即可求出其长度，B点的横坐标已知，且在直线CD上，故可以借助直线CD的解析式来求其纵坐标,解：抛物线的解析式为y x22x，y (x2)22， 顶点D的坐标为(2，2)， 设直线CD的解析式为ykxb(k0)， 将D(2，2)，C(6，6)代入，得 ，解得 ， 直线CD的解析式为y2x6，当x4时，y2, B(4，2)，即AB2，OA4， 在RtBOA中，由勾股定理，得 OB,3)连接OD, OC，判断OCD的形状，并说明理由,例题图,思维教练】判断OCD的形状，可先目测，得到初步猜想OCD为直角三角形，进而证明，得出结论，在这里DOC90的判断方法可根据勾股定理的逆定理，由三角形的边长

15、入手，也可以从角度入手，甚至可以考虑圆的直径所对的圆周角是90,解：OCD是直角三角形，理由如下： 由勾股定理，得 OC2626272， OD222(2)28， CD2(62)2(62)280， OC2OD2CD2， OCD是直角三角形,4)在x轴上是否存在一点E，使COE是以OC为斜边的直角三角形,例题图,思维教练】要使COE是以OC为斜边的直角三角形，则OEC90，故过点C作x轴的垂线，垂足即为所求,解：存在，如解图，过点C作CE x轴于点E，则COE是以OC为斜边 的直角三角形C(6，6)， E(6，0,例题解图,5)点N是抛物线上一动点，且DCN为直角三角形，求出点N的坐标,例题图,思

16、维教练】要使DCN为直角三角形，需对哪个点作直角顶点进行讨论，故需分DCN90，CDN90，DNC90这三种情况讨论,解：DCN为直角三角形，分以下三种情况讨论： 当DCN90时，如解图，由(2)可知直线CD的解析式为y2x 6， CNCD，设直线CN的解析式 y xa， 直线CN过点C(6，6)，a9， 直线CN的解析式为 y x9， 联立 ， 解得 (舍去), ， N1(3，,例题解图,当CDN90时，如解图， 点N在抛物线上， 故可设点N的坐标为(x， x22x)，D(2，2)，C(6，6)， CN2(x6)2( x22x6)2，DN 2(x2)2( x22x2)2， CD2(62)2(

17、62)280，CDN90， 在RtCDN中，CN 2DN 2CD 2， 即(x6)2( x22x6)2(x2)2( x22x2)280， 解得x11，x22(舍去) 将x1代入y x22x中，得y ， N2(1，,例题解图,当DNC90时，如解图， 设CD中点为B，由(3)可知OCD为直角三角，以点B为圆心，CD为直径的圆与抛物线交于点O， 此时N3(0，0) 综上所述，DCN为直角三角形时， 点N的坐标为N1(3， )，N2(1， )， N3(0，0,例题解图,针对演练,1. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc(a0)与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，直线ykxn(k0

18、)经过B、C两点已知A(1，0)，C(0，3)，且BC5. (1)分别求直线BC和抛物线的解析式(关系式)； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以 B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形？ 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说 明理由 第1题图,解：(1)点C的坐标为(0，3)，OC3， 在RtBOC中，OC3，BC5， OB 4， 点B的坐标为(4，0)， 将点B(4，0)，点C(0，3)代入直线ykxn(k0)中， 得 ，解得 ， 直线BC的解析式为y= x3,点A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)在抛物线上， ，解得 ， 抛物线的解析式为 ； (2)存在 由(1)知抛物

19、线解析式为,对称轴l为直线x= = ， 设点P的坐标为( ，t)， 如解图，过点C作CDl于点D，连接PC，PB， 设直线l与x轴的交点为点M， 则点D的坐标为( ，3)，点M的坐标为( ，0)，第1题解图 则CD ，PD|t3|，PM|t|，BM4 ， PC2CD2PD2 (t3)2， PB2PM2BM2t2 ，BC225,当BCP是直角三角形时，则有： ()当BCP90时，即PCBC， PC2BC2PB2，即 (t3)225t2 ， 解得t= ，此时点P的坐标为( ， )； ()当PBC90时，即BPBC， BP2BC2PC2，即t2 25 (t3)2， 解得t2，此时点P的坐标为( ，2

20、)； ()当BPC90时，即CPBP，BP2PC2BC2， 即t2 (t3)225,解得t1 ，t2 ， 此时点P的坐标为( ， )，( ， ) 综上所述，存在满足条件的点P，点P的坐标为( ， )或( ， ) 或( ，,2. 设抛物线的解析式为yax2，过点B1(1，0)作x轴的垂线，交抛物线于点A1(1，2)；过点B2( ，0)作x轴的垂线，交抛物线于点A2；过点 Bn( )n1，0)(n为正整数)作x轴的垂线，交抛物线于点An.连接AnBn1，得RtAnBnBn1. (1)求a的值； (2)直接写出线段AnBn， BnBn1的长(用含n的式子表示)； 第2题图,2)AnBn( )2n3，

21、BnBn1( )n. AnBn232n，2( )n12，2( )2n2或2 ， BnBn12n或( )n1( )n,3)在系列RtAnBnBn1中，探究下列问题： 当n为何值时，RtAnBnBn1是等腰直角三角形？ 设1kmn(k，m均为正整数)，问：是否存在RtAkBkBk1与RtAmBmBm1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由,解：(1)点A1(1，2)在抛物线上， 2a12，得a2,3)由AnBnBnBn1，得( )2n3( )n，解得n3， 所以，当n3时，RtAnBnBn1是等腰直角三角形； 依题意得：AkBkBk1AmBmBm190， ()当RtAkBkBk1RtAmB

22、mBm1时， ，即 ， ， 第2题解图 所以，km，(舍去,当RtAkBkBk1RtBm1BmAm时， ，即 ， ， 2k3mk2m3，mk6， 1kmn(k，m均为正整数)， 取 或,当 时，RtA1B1B2RtB6B5A5， 相似比为： 2664; 当 时，RtA2B2B3RtB5B4A4， 相似比为： 238,类型三特殊四边形的存在性问题 (遵义2014.27(3)；铜仁2018.25(2,方法指导】 平行四边形的判定,矩形、菱形的判定方法参照中平行四边形的判定,典例精讲,例已知抛物线yax2bxc经过点A (1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点 (1)求抛物线的解析式、顶点坐标和对

23、称轴,例题图,思维教练】要求抛物线的解析式，需将A，B，C三点坐标代入yax2bxc中，解方程组即可；把抛物线一般式化成顶点式，可得抛物线的顶点坐标和对称轴,解：将点A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点代入yax2bxc中，得 ，解得 ， 抛物线的解析式为yx24x3. 把yx24x3化成顶点式为y(x2)21， 抛物线的顶点坐标为(2，1)，对称轴是直线x2,2)过点C作CD平行于x轴，交抛物线对称轴于点D，试判断四边形ABDC的形状，并说明理由,例题图,思维教练】要判断四边形ABDC的形状，观察发现：四边形ABDC为平行四边形，结合已知条件有CDAB，再设法证明ABCD即可,解：四

24、边形ABDC是平行四边形 理由如下： D点在抛物线的对称轴上，CDx轴， D点的横坐标为2，即CD2， A (1，0)，B(3，0)， AB2， ABCD， 又CDAB， 四边形ABDC是平行四边形,3)如果点G是直线BC上一点，点H是抛物线上一点，是否存在这样的点G和H，使得以G，H，O，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点H的坐标,例题图,思维教练】先假设存在满足条件的点G和H，由于OC的长度和位置确定，所以点G、H的纵坐标之差的绝对值与OC相等，据此可求出点H的坐标,解：存在，如解图， 设直线BC的解析式为ykxb(k0)， 将点B(3，0)，C(0，3)代入可得： ，解得

25、， 直线BC的解析式为yx3. 点G在直线BC上，点H在抛物线上，且以点G，H，O，C构成的四边形是以OC为边的平行四边形，GHx轴，GHOC， 设G点坐标为(n，n3)，H点坐标为(n，n24n3,例题解图,GHOC3， GH|n24n3(n3)|n23n|3， 当n23n3时， 解得n ； 当n23n3时，方程无解； 当n 时，n24n3 ； 当n 时，n24n3 . 综上所述，存在这样的点G和H，使得以G，H，O，C为顶点的四边形是平行四边形，点H的坐标为( ， )或( ， ),例题解图,4)如果点M在直线BC上，点N在抛物线上，是否存在这样的点M和N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形

26、是平行四边形？如果存在，请求出点N的坐标,例题图,思维教练】先假设存在满足条件的点M、N，因为AB长度和位置确定，故需分AB作边还是对角线两种情况进行讨论：当AB为边时，则MNAB，且MNAB，据此可求出点N的坐标；当AB为对角线时，则MN与AB互相平分，从而确定点N的坐标,解：存在点M，N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形 当AB为平行四边形的边时，需考虑点M和N的位置关系(即点M在点N的左边还是右边)，如解图， ()当点M在点N的左边时，设点N的坐标为(m，m24m3)， 则点M的坐标为(m2，m5)，四边形ABNM是平行四边形， m24m3m5，解得m ， 当m 时，m24

27、m3 ； 当m 时，m24m3 . 点N的坐标为( ， )或( ， ),例题解图,当点M在点N的右边时，设点N的坐标为(m，m24m3)， 则点M的坐标为(m2，m1)， 四边形ABMN是平行四边形， m24m3m1，解得m1或2， 当m1时，点N与点A重合，故舍去； 当m2时，m24m31， 点N的坐标为(2，1,当AB为平行四边形的对角线时，则MN与AB互相平分，如解图，AB与MN相交于点J，易得J(2，0)，易得AJNJBJMJ， 设M(m，m3)，N(n，n24n3)， 则有 2， m3n24n30， 整理，得n23n20， 解得n11(舍去)，n22， N点坐标为(2，1) 综上所述

28、，点N的坐标为( ， ) ， ( ， ) ，(2，1,例题解图,5)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为K，点P是抛物线对称轴上一点，点Q为y轴上一点，是否存在这样的点P和Q，使得四边形CKPQ是菱形？如果存在，请求出点P的坐标,例题图,思维教练】先假设存在满足条件的点P，由于四边形CKPQ四个顶点顺序已确定，则CK为菱形的边，故利用KPCK上下平移直线BC，与抛物线对称轴的交点即为所求点P,解：存在理由如下： K点的坐标为(2，1)， CK ， 假如存在这样的点P，使得四边形CKPQ为菱形， 则KPCK2 ，如解图， 当点P在点K的下方时，点P1的坐标为(2，12 )， 当点P在点K的上方时，

29、点P2的坐标为(2，12 ) 点P的坐标为(2，12 )或(2，12,例题解图,6)若点R是抛物线对称轴上一点，点S是平面直角坐标系内任一点，是否存在满足条件的点R、S，使得四边形BCRS为矩形？若存在，求出点R、S的坐标,例题图,思维教练】先假设存在满足条件的点R、S，要使四边形BCRS为矩形，则点R在直线BC上方，且BCR90，可通过寻找相似三角形利用相似求出点R，再根据矩形性质求出点S,解：存在，如解图，要使四边形BCRS为矩形，抛物线对称轴交x轴于点T， 则BCR90，CRKTBK， ， 由(5)知，K(2，1)，CK2 ， T(2，0)，TK1，BK ， RK 4， R(2，5)，

30、CBRS，CBRS，根据点平移及矩形性质可得S(5，2) 故存在满足条件的点R、S，使得四边形BCRS为矩形，且点R、S的坐标分别为R(2，5)，S(5，2,例题解图,针对演练,解：(1)设抛物线的解析式为yax2bxc， 将对称轴和A、B两点的坐标代入抛物线解析式， 得 ，解得 ， 抛物线的解析式为y x2 x4， 配方，得y (x )2 ，顶点坐标为( ， )； (2)设E点坐标为(x， x2 x4)，S2 OAyE6( x2 x4)，即S4x228x24,3)平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形，理由如下： 当平行四边形OEAF的面积为24时， 即4x228x2

31、424，化简，得x27x120，解得x3或4， 当x3时，EOEA，则平行四边形OEAF为菱形； 当x4时，EOEA，则平行四边形OEAF不为菱形 平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形,解：(1)C1与C2关于y轴对称， C1与C2交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同， a1，n3，C1的对称轴为x1， C2的对称轴为x1，m2， C1：yx22x3，C2：yx22x3； (2)令C2中y0，则x22x30， 解得x13，x21， 点A在点B左侧，A(3，0)，B(1，0)； (3)存在如解图，设P(a，b,第2题解图,四边形ABPQ是平行四边形，PQAB

32、4，Q(a4，b)或(a4，b) 当Q(a4，b)时， 得a22a3(a4)22(a4)3，解得a2， ba22a34435，P1(2，5)，Q1(2，5)； 当Q(a4，b)时， 得a22a3(a4)22(a4)3，解得a2， ba22a34433.P2(2，3)，Q2(2，3) 综上所述,所求点的坐标为P1(2，5),Q1(2，5)或P2(2，3)，Q2(2，3,类型四相似三角形的存在性问题 (铜仁2018.25(3) 【方法指导】ABC与DEF相似，在没指明对应点的情况下，理论上应分六种情况讨论，但实际问题中通常不超过四种，常见有如下两种类型，每类分两种情况讨论就可以了,另外，如果不满足

33、以上两种情况，但可以确定已知三角形的形状(特征)时，先确定动态三角形中固定的因素，看是否与已知三角形中有相等的角，若存在，根据分类讨论列比例关系式求解；已知条件中有一条对应边，只需要讨论另外两条边的对应关系，列比例关系式求解；若可得相似三角形的某个对应角的度数时，分类讨论另外两个角的对应情况，列比例关系式求解,典例精讲,例如图，抛物线图象交x轴于A、B两点，且点A位于x轴的正半轴，点B位于x轴的负半轴，且OA ，OB3 .抛物线交y轴于点C(0，3) (1)求抛物线的解析式,例题图,思维教练】要求抛物线的解析式，已知OA，OB 的长度，可知点A、B的坐标，再结合点C的坐标，利用待定系数法即可确

34、定抛物线的解析式,解：OA ，点A在x轴的正半轴，A( ，0)， OB3 ，点B在x轴的负半轴， B(3 ，0)， 设抛物线的解析式为：yax2bxc， 将点A( ，0)，B(3 ，0)，C(0，3)代入，得 ， 解得 ，即此抛物线的解析式为y x2 x3,2)连接AC、BC，则在坐标轴上是否存在一点D，使得ABCACD(点D不与点B重合)，若存在，请求出点D坐标,例题图,思维教练】要在坐标轴上找一点D，使得ABCACD，由(1)知A、B、C三点坐标，可判断出ABC为直角三角形，则可知ACD必是直角三角形且点D对应直角顶点，根据相似三角形对应边成比例可求得点D的坐标,解：存在，如解图，tanO

35、CA ，OCA30， tanBCO ，BCO60，ACB90， ABC为直角三角形， ABCACD，且点D在坐标轴上， 由题易知，AB4 ，AC2 ，BC6， ，即 ， CD3，C(0，3)，D(0，0,例题解图,3)设抛物线的对称轴分别交抛物线，x轴于点E，F，在x轴上是否存在一点G(不与点F重合)，使得AEF与AEG相似，若存在，请求出点G坐标,思维教练】要使AEF与AEG相似，因为AEF为直角三角形，需考虑AEG中哪个角为直角的情况：当点G在x轴上时，分AEFAGE和AEFAEG两种情况,例题图,解：存在，AEF是直角三角形，且AEF与AEG相似， AEG也是直角三角形，点G在x轴上，分

36、两种情况讨论： 当AGEAEF时，由(1)知A( ，0)，E( ，4)，EF4，AF2 ， 根据勾股定理，得AE2 ， ，AE2AGAF， 解得AG ， OGAGOA ，即G( ，0)； 当AEFAEG时，点F与点G重合， 综上所述，G点坐标为( ，0),4)直线AC与抛物线的对称轴交于M点，在y轴上是否存在一点N，使得AOC与MNC相似，若存在，请求出点N坐标,例题图,思维教练】要使AOC与MNC相似，因为ACOMCN，则需考虑AOC90这个直角与哪个角对应，从而分以下两种情况讨论：AOCMNC，AOCNMC，根据对应边成比例计算出点N的坐标,解：存在，设直线AC的解析式为ykxb，将A(

37、，0)，C(0，3)代入， 直线AC的解析式为y x3，易知AC2 ， 又抛物线对称轴为x ， 将x 代入y x3中，得y6， M( ，6)， 又C(0，3)， MC . 分以下两种情况讨论,如解图，过点M作MNy轴于点N，此时AOCMNC， 则此时，点N与点M纵坐标相等， N(0，6,例题解图,如解图，过点M作MNAC 于点M，此时AOCNMC， ，即 ， NC4， 则ONOCNC7， N(0，7) 综上所述：满足要求的点N的坐标为(0，6)或(0，7,例题解图,5)在抛物线上是否存在点P，使AOC与ACP相似若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由,例题图,思维教练】要使AOC与ACP

38、相似，因为AOC是直角三角形，而ACP中三个内角均可能为直角，故需分三种情况讨论，在每种情况之下，求出对应点，再看求出的点是否满足三角形相似的条件,解：存在，AOC是直角三角形，AOC与ACP相似， ACP也是直角三角形， 分以下三种情况讨论： ()如解图， 当点P与点B重合，即ACP90时， AOCACB，CAOBAC， AOCACB， 此时，点P的坐标为(3 ，0,例题解图,如解图，当CAP90时，AC2AP2CP2， 设点P坐标为(x， x2 x3)， A( ，0)，C(0，3)， AC2( )23212，AP2(x )2( x2 x3)2， CP2x2(3 x2 x3)2， 即12(x

39、 )2( x2 x3)2x2(3 x2 x3)2， 解得x 或4 . 当x 时y0，点P与点A重合，故舍去，P(4 ，5,例题解图,AP . ， 2， ， ， ， . AOC与ACP不相似， P(4 ，5)(舍去)； ()如解图，当CPA90时，以AC为直径作圆， 此圆过点O、A、C，不与抛物线有其他交点， 则不存在符合要求的点P. 综上所述：满足条件的点P的坐标为(3 ，0,例题解图,针对演练,1. (2018乌鲁木齐)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y x2bxc经过点A(2，0)，B(8，0) (1)求抛物线的解析式； (2)点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物 线上在第一象

40、限内的点，PDBC，垂足为点D. 是否存在点P，使线段PD的长度最大，若存在，请 求出点P的坐标； 当PDC与COA相似时，求点P的坐标,第1题图,解：(1)将A(2，0)，B(8，0)代入y x2bxc得， 抛物线解析式为：y x2 x4,在RtPDE中，PDPEsinPEDPEsinOCBPE PE PE，当线段PE最长时，PD的长度最大 设P(t， t2 t4)， 点E在直线BC上，且点E，G的横坐标与点P的横坐标相等， E(t， t4)，G(t，0)，即PG t2 t4， EG t4， PEPGEG t22t (t4)24(0t8)， 当t4时，PE有最大值4，此时点P坐标为(4，6)

41、， 即当P点坐标为(4，6)时，PD的长度最大，最大值为 PE 4,由A(2，0)，B(8，0)，C(0，4)，易知AB2BC2AC2，则ACB90， OCBOCA90，OCBOBC90， OCAOBC， AOCCOB90，COABOC. 当RtPDC与RtCOA相似时，就有RtPDC与RtBOC相似， 相似三角形对应角相等， PCDCBO，或PCDBCO,若PCDCBO(RtPDCRtCOBRtAOC)，此时有CPOB， C(0，4)，P点的纵坐标为4， x2 x44， 解得x16，或x20(舍)， 即RtPDCRtCOB时，P(6，4,若PCDBCO(RtPDCRtBOCRtCOA)， 如

42、解图，过点P作x轴的垂线，垂足为点G，与直线BC交于点F， PFOC，PFCBCO， PCDPFC，PFPC,设P(n， n2 n4)，由题意可得n0， 同，可知PF n22n， 如解图，过点P作y轴的垂线，垂足为点N， 在RtPNC中，PC2PN2NC2n2( n2 n4)42 n4 n3 n2， PFPC，PF2PC2， 即( n22n)2 n4 n3 n2， 解得n3或n0(舍去)，即RtPDCRtBOC时，P(3， )； 当PDC与COA相似时，点P的坐标为(6，4)或(3，,第1题解图,2. (2018常德)如图，已知二次函数的图象过点O(0，0)，A(8，4)，与x轴交于另一点B，

43、且对称轴是直线x3. (1)求该二次函数的解析式； (2)若M是OB上的一点，作MNAB交OA于N，当 ANM面积最大时，求M的坐标； (3)P是x轴上的点，过P作PQx轴，与抛物线交于Q， 过A作ACx轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形 与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标,第2题图,解：(1)设二次函数的解析式为ya(x3)2h(a0)， 将O(0，0)、A(8，4)代入解析式，得 二次函数的解析式为y (x3)2 ， 即y x2 x,2)O、B两点关于x3对称，B(6，0)， 设点M的坐标为(m，0)(0m6)， 设直线AB的解析式为yk1xb1， 直线AB的解析式为y2x

44、12， 易得直线OA的解析式为y x， MNAB， 设MN的解析式为y2xb2,把M(m，0)代入得b22m， 直线MN的解析式y2x2m， SANMSAOMSNOM，SAOM m4，SNOM m m， SANM m22m(0m6)， 当m 3时，SANM有最大值为SANM 32233； 当ANM面积最大时，点M的坐标为(3，0,3)设P(t，0)，则Q(t， t2 t)， OP|t|，PQ| t2 t|， A(8，4)，ACx轴， OC8，AC4， OPQOCA90， 以O、P、Q为顶点的三角形与以O、C、A为顶点的三角形相似有如下两种情况,当OPQOCA时， 解得t18，t24，t30(舍

45、去)； 当OPQACO时， 解得t114，t22，t30(舍去)， 综上所述，P点的坐标为(2，0)或(4，0)或(8，0)或(14，0,类型五全等三角形的存在性问题 (铜仁2017.25(2) 【方法指导】全等的两个三角形，在没指明对应点的情况下，理论上应分六种情况讨论，但实际问题中通常不超过四种，常见有如下两种类型，每类分两种情况讨论就可以了,典例精讲,例(2017铜仁25(1)(2)如图，抛物线yx2bxc经过点A(1，0)，B(0，2)，并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点(点M、B、C三点不在同一直线上) (1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式,例题图,思维教练】将点A

46、、B分别代入抛物线的表达式，通过解方程组，可得到b，c的值,解：将点A(1，0)，B(0，2)代入yx2bxc中，得 ， 解得 ， 二次函数表达式为yx2x2,2)在抛物线上找出两点P1、P2，使得MP1P2与MCB全等，并求出P1、P2的坐标,思维教练】利用全等时对应边相等，结合抛物线 的对称性，分两种情况：分别作B、C点关于对称 轴对称的点，所作对称点即为所求P1，P2点；作 BC的平行线，与抛物线的交点，即为所求P点,例题图,解：令yx2x20，得 x11，x22， 所以点C的坐标为(2，0) 易得抛物线对称轴为x ， 如解图，取点C关于对称轴l的对称点A， 点B关于对称轴l的对称点为B

47、(1，2)， 则当点P1，P2与A，B重合时，有MP1P2与MBC全等， 此时，P1(1，0)，P2(1，2,例题解图,过点M作MP1BC，交抛物线于点P1，如解图， 若MP1CCBM，则MP1CB. 四边形MBCP1为平行四边形，xMxBxP1xC； xMxBxC 02 . 将x 代入yx2x2中，得y ， P1( ， )，此时P2与C点重合，P1 ( ， ) ， P2(2，0) 综上所述，满足条件的P1，P2点的坐标分别为P1(1，0)， P2(1，2)；P1 ( ， ) ，P2(2，0,例题解图,针对演练,1. (2017包头)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y x2bxc与x轴交于

48、A(1，0)，B(2，0)两点，与y轴交于点C. (1)求该抛物线的解析式； (2)直线yxn与抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交于点F，且BE4EC. 求n的值； 连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，AGF与CGD是否全等？请说明理由,第1题图,解：(1)抛物线y x2bxc与x轴交于A(1，0)，B(2，0)两点， 将A(1，0)，B(2，0)代入抛物线解析式可得 ， 解得 ， 该抛物线的解析式为y x2 x3,2) 如解图，过点E作EEx轴于点E，EEOC， ， BE4CE，BE4OE，设点E的坐标为(x，y)， OEx，BE4x. 点B坐标为(2，0)，O

49、B2， x4x2，x ， 抛物线y x2 x3与y轴交于点C， 当x0时，y3， C(0，3,第1题解图,设直线BC的解析式为ykxb1， B(2，0)，C(0，3)，将B、C两点代入解析式，得 ， 解得k ， 直线BC的解析式为y x3. 当x 时，代入直线BC的解析式，得y ， E( ， ) 点E在直线yxn上， n ，n2,全等；理由如下： 直线EF的解析式为yx2，当y0时，x2， F(2，0)，OF2. A(1，0)，OA1，AF1， 抛物线与直线yx2相交于点D，联立方程，得 ， 解得 或 . 点D在第四象限，点D的坐标为(1，3,点C的坐标为(0，3)， CDx轴，CD1， AF

50、GCDG， FAGDCG， CDAF1， AGFCGD(ASA,2. 如图，一次函数y x2与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y x2bxc经过点A，B，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BA运动，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AO运动，两点同时出发，运动时间为t秒 (1)求此抛物线的表达式； (2)求当APQ为等腰三角形时，所有满足条件的t的值； (3)点P在线段AB上运动，请直接写出t为何值时，APQ的 面积达到最大？此时，在抛物线上是否存在一点T，使得APTAPO？若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由,第2题图,解：(1)把x0代入y x2中，得

51、y2. 把y0代入y x2中，得x2 . A(2 ，0)，B(0，2)， 把A(2 ，0)，B(0，2)分别代入y x2bxc中，得b ，c2， 抛物线的表达式为y x2 x2,2)OA2 ，OB2，由勾股定理，得AB 4， BAO30. 运动t秒后，AQt，BP2t. 由APQ为等腰三角形，有QAQP，APAQ，PAPQ三种情况,当QPQA时，如解图，过点Q作QDAB于点D，则D为AP的中点 在RtADQ中，QD AQ t， ADPD AQ t， AP t， BPAPAB， 2t t4. 解得t84,第2题解图,当APAQ时， ()若点P在x轴上方的直线AB上，APt，BP2t， BPAPA

52、B， t2t4， 解得t . ()若点P在x轴下方的直线AB上， APBPABAQ， 2t4t， 解得t4,当PAPQ时，如解图，过点P作PEAO于点E. 则AE AQ t， 在RtPEA中，PE AE t. AP2PE t. BPAPAB， 2t t4. 解得t . 综上所述，当APQ为等腰三角形时，t的值为84 或 或4或,第2题解图,3)如解图，过点P作PFAO于点F，延长FP交抛物线于点T，连接AT. PF为APQ底边AQ上的高 AP42t，BAO30， PF AP2t. SAPQ AQPF t(2t) (t1)2 . 当t1时，APQ的面积最大 此时点P为AB的中点，且P( ，1)

53、连接OP，则OPAPBP， 点P( ，1)，点T的横坐标为,第2题解图,将x 代入抛物线的解析式，得y3. TPOP2. 在RtTFA中，由勾股定理可知：TA2 ， AOTA. APTAPO. 存在点T，使APTAPO， 点T的坐标为( ，3,类型六切线问题 (遵义2015.27(3)；铜仁2015.23(3) 【方法指导】抛物线中有关圆的切线的问题，一般为两种类型：已知直线与圆相切的相关计算；已知直线与圆相切，求直线解析式对这两种问题，一般解题方法如下： 已知圆与直线相切时，连接切点与圆心，得到垂直，再结合题干中的已知条件，利用直角三角形或相似三角形的性质进行计算；若判断抛物线对称轴与圆的位

54、置关系，只要根据圆心到对称轴距离与圆半径大小关系即可确定；若已知圆与直线相切，需根据题意分析，切线只存在一条，还是两条，若为两条，常要进行分类讨论计算，然后根据勾股定理或相似列方程求出点坐标，得到直线解析式,典例精讲,例如图，抛物线与x轴交于点A(4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2) (1)求抛物线的解析式； 【思维教练】根据题意设抛物线的顶点式， 将C(0，2)代入即可得解,例题图,解：抛物线过点A(4，0)，B(2，0)， 设抛物线解析式为：ya(x4)(x2)，把C(0，2)代入，得 2a4(2)，即a ， 所求抛物线的解析式为 y (x4)(x2) x2 x2,2)若点D为该抛物线上的一