新导数 数学高考二轮复习

1、函数是高中数学的重要内容，函数的观点,和方法贯穿于高中代数的全过程，同时也应,用于几何问题及其它问题。导数是分析和解,决函数问题的便利的、必不可少的工具,纵观,近几年的高考试题，函数与导数知识占有极,其重要的地位，是高考考查数学思想、数学,方法和综合能力的主阵地。同时应该看到,导数是试卷的得分点之一（综合题除外,求导,解方程得极值点,找单调区间是一套,完整的程序，学生容易把握，因此尽可能地,在导数部分避免不必要的失分，这也是进行,本讲座的目的,教学大纲对文理的内容是相同的，都是导数,的背景，定义，几何意义，导函数，运算，应用,价值。但要求是不同的，求导的函数类型的减少,大大地降低了难度。因为,

2、2009,年考试大纲尚未出,台，附表中给出的是,2008,年普通高等学校招生,全国统一考试大纲中的数学科部分，考试大纲,和教学大纲的要求是一致的。在这里将考纲与新,实施的课程标准作一对比，以利于下一轮的教学,工作,一、两纲解读,2008,年考试大纲强调了对数学基础的考,查。仔细研读考试大纲可以发现：不仅在,考试性质”、“考试要求”（即对数学高考,提出的总体的命题要求）中强调了对数学基础,知识的考查，并且在对具体的“考试内容”的,考查要求中突出了对数学基础知识的考查,考试大纲是高考命题的依据，因而也是备,考的准绳，特别是在目前这一阶段，一轮已经,过半，时间非常宝贵，考纲的指导意义更加明,显,二、

3、前“试”不忘,1,考查方式,导数部分的考查形式上以解答题为主，夹有选,择题、填空题，难度上分层次考查，考试热点有,函数的单调性与极值、最值，复合函数的导数,导数定义，求导数法则（特别是多项式求导、乘,积函数求导、分式函数求导），导数的几何意义,涉及曲线的切线问题）。附表三、四是,2007,2008,两年全国及各省、市数学高考试题中有关导,数试题的主要信息,2,命题特点,这两年对导数的考查有效地贯彻了“在,考查基础知识的同时，注重对数学思想方法,的考查，注重对数学能力的考查”的命题指,导思想。主要有以下几个特点,1,突出重点内容,高考试题突出了重点内容重点考察的命题方,向，何谓重点知识？凡是考试

4、大纲上用“掌握”,理解”，“熟记”，“会求”，“能用”等词,语要求的知识点都应成为重点知识。比如“掌握,函数在一点处导数的几何意义”，“掌握两个函,数和、差、积、商的求导法则”，“熟记基本导,数公式,C,x,m,sinx,cosx,e,x,a,x,lnx,log,a,x,的导数,理解可导函数的单调性与其导数的关系”等都,是重点知识。由下表的数字可知，小题集中考查,切线与求值，大题几乎都考查了单调性和极值,表中数据不包括实施新课程标准的省区,07,08,两年各卷导数客观题涵盖的知识点,知识点,文科,理科,07,年,9,08,年,5,07,年,7,08,年,6,切线,4,2,1,2,求值,2,2,

5、1,单调,2,1,图象,1,1,意义,1,1,定义,1,1,性质,1,1,最值,2,知识点及,交汇内容,文科,理科,07,年,11,08,年,14,07,年,15,08,年,16,单调,9,14,11,16,切线,3,4,1,不等式,2,1,7,4,数列,1,2,线性回归,1,期望,1,二项式,1,含参数,7,11,12,14,恒成立,5,3,5,7,07,08,两年各卷导数解答题涵盖的知识点及交汇内容,例,1,07,湖北卷,文,12,已知函数,的图象在点,处的切线方程,是,则,评析】本题是一个非常典型的题目,1,考查导数几何意义，这体现了重点知,识重点考查的命题指导思想，“掌握函数在一点,处

6、的导数意义及导数的几何意义”是考纲的明确,要求，这说明导数几何意义是特别重要的概念,2,考查了切点既在曲线上，又在切线上,这样就提供了点的坐标,例,2,08,全国卷,理,19,已知函,数,讨论函数,的单调区间,设函数,在区间,内是减函数，求,a,的,取值范围,评析】本题是函数单调性问题，是热点题型,在每一年的高考中出现的频率很高，又是相,当稳定的题型。之所以如此，是因为它所涉及,到的数学方法,等价转化、数形结合、分类,讨论，特别重要；所涉及到的知识点,函数,单调性、解不等式、求导是主干知识,2,文理差异明显,教学大纲和考试大纲对文理科的要求是不,同的，因此，试卷中的差异较大。文科试题仅,涉及多

7、项式函数,07,年只有三次函数和二次函,数,08,年拓展为从一次函数到五次函数。理科,所涉及的函数类型广泛，包括多项式函数，分,式函数，指数函数，对数函数（均是以,e,为,底），三角函数等（见下表）。文理试题都常,与不等式结合，但文科侧重于解不等式，理科,侧重于证明不等式,载体函数,文科,理科,07,年,20,08,年,19,07,年,22,08,年,22,抽象函数,2,2,2,2,一次函数,1,二次函数,4,1,2,三次函数,14,11,6,2,四次函数,3,五次函数,1,分式函数,2,9,无理函数,1,2,指数函数,6,3,对数函数,5,7,三角函数,2,07,08,两,年,全,国,及,各

8、,省,市,卷,导,数,试,题,的,载,体,函,数,例,3,07,全国卷,文,20,设,在,及,时取得,极值,求,a,b,的值,若对于任意的,都有,成立,求,c,的取值范围,例,4,07,全国卷,理,20,设函数,证明,的导数,若对所有,都有,求,的取值范,围,评析】例,3,例,4,考查导数的运算以及导数与,函数的单调性、极值的关系，考查考生正确求解,一元二次不等式的能力以及解决综合问题的能力,都是借助导数解决恒成立问题，但是不管是函数,的类型，还是试题的深度，二者都有明显的区别,文科题设问简单些，不必对字母参数进行分类讨,论。而理科题通过一个对含参数不等式恒成立问,题，考查了利用导数证明不等式

9、这种思想的关键,是构造函数，然后从函数的导数出发，利用函数,的单调性证明，完成题目的证明,3,瞄准交会知识,在知识和方法的交会处设计高考题”已成,为数学高考的主要趋势。只有这样，才能达,到一定的知识覆盖面，考查学生的数学素质,例,5,08,全国卷,理,22,设函数,数列,满足,证明：函数,在区间,是增函数,证明,设,整数,证明,4,强化参数讨论,导数问题的处理是常规通法，要增加试题的难,度，除了与其它知识交融外，还可以设置参数,参数的引入少不了分类讨论，而分类讨论又是中,学数学所要掌握的重要思想方法之一。文科试卷,中含参的大题为,07,年,7,个（占,64,08,年,11,个,占,79,，理科

10、试卷中含参的大题为,07,年,12,个,占,80,08,年,14,个（占,87,（见前表,例,6,08,浙江卷文,21,已知,a,是实数，函数,f,x,x,2,x,a,若,求,a,的值及曲线在点,处的切线方程,求,在区间,0,2,上的最大,值,三、真题点击,创新是高考命题追求的目标之一，虽然近年,来的导数试题出现了稳定的趋势，以常规试题为,主，没有偏题和怪题，但也不乏创新的意识，有,立足于考查基础知识掌握和知识运用巧妙结合的,新颖试题，也有立足于考查数学能力和数学素养,的探究性、灵活性试题,1,注重对导数的定义及几何意义的,考查,数学定义是数学基础知识的重要组成部分，是,构建其它数学知识的源泉

11、，故有“定义为本”之,称。因此，考查重要的数学定义是高考的主流之,一，在导数部分，主要考查了函数连续、导数,导数几何意义、函数极值等重要数学定义,08,年全国各套高考数学试卷，注重数学定义的,考查是一个显著的特点，如北京卷理,12,文,17,题,重点考查了导数定义，四川卷文,20,题、湖北卷文,17,题考查了函数极值的定义。这充分展现了定义,为本的重要意义,例,7,08,北京卷,理,12,如图，函数,的图象是折线段,其,中,的坐标分别为,则,用数字作答,2,B,C,A,y,x,1,O,3,4,5,6,1,2,3,4,2,注重对单调性和极（最）值的,考查,单调性和极（最）值的是导数的主旋律，是,

12、解决其它问题的基础，试卷中或单调性确定参数,范围，或根据参数讨论单调性，所以对单调性和,极（最）值的考查经久不衰，屡考屡新,例,8,08,湖北卷,理,7,若,上是减函数，则,的取值范围是,A. B. C. D,例,9,07,天津卷,文,21,设函数,，其中,当,时，求曲线,在点,处的切,线方程,当,时，求函数,的极大值以及极小,值,当,时，证明存在,使得不等式,对任意的,恒成立,3,注重对通性通法的考查,注重通性通法的考查一直是近几年高考的主要,导向，这已在高中数学教学中产生了良好的影响,因为考查通性通法有利于考查重点的主干知识和重,要的数学思想方法，有利于强化考生对基础知识与,基本方法的复习

13、，所以提倡通性通法的考查是特别,重要的高考趋势，正如考试大纲所说：“注重通性,通法，淡化特殊技巧”，两年的各套试卷中都体现,了这一指导思想，这给我们本年度的复习教学提供,了参照,08,陕西卷理科第,21,题集中考查了求导法则,极值的意义等重要知识与分类讨论等重要思想,08,年重庆卷理科第,20,题涉及到了导数的几何意义、二,次函数、二次不等式等知识与待定系数法、消元配,方等方法,例,10,08,四川卷,理,22,已知,是函数,的一个极值点,求,求函数,的单调区间,若直线,与函数,的图象有,3,个交,点，求,的取值范围,4,注重对综合能力的考查,高考要达到一定的知识覆盖面与难度系数,要选拔出不同

14、层次的学生，必须体现试题的综,合性，以知识点与方法的综合为出发点，考查,思维的层次性，真正选拔出有学习潜力的学生,与导数综合的知识很多，如不等式、数列、三,角函数及二项式等，尤其是,07,年的试题中，理,科中导数和期望、文科中导数和线性规划结合,到一起。由于导数与不等式的综合题比比皆是,下面就其它方面举例说明,例,11,08,福建卷,理,19,已知函数,设,a,n,是正数组成的数列，前,n,项和为,S,n,其,中,a,1,3,若点,n,N*,在函数,y,f,x,的图象,上，求证：点,n,S,n,也在,y,f,x,的图象上,求函数,f,x,在区间,a,1,a,内的极值,导数与数列的综合,导数与三

15、角的综合,例,12,08,全国卷,理,22,设函数,求,的单调区间,如果对任何,都有,求,的取值范,围,例,13,08,四川卷,理,22,设函数,当,x,6,时,求,的展开式中二项式系数最大的项,对任意的实数,x,证明,是否存在,使得,an,恒成立,若,存在,试证明你的结论并求出,a,的值,若不存在,请说明理由,导数与二项式的综合,评析】本题考查函数、不等式、导数、二,项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想,方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能,力及创新意识，学生找不到知识的交汇点，思,维的深度不够。对于第,2,问，学生不知道先,使用不等式进行放缩，对于第,3,问，在平时,的训练中，学生

16、对含有二项式系数的式子不会,通过合理分项重组的方法改造通项，所以即使,明确思维的方向，即将和式转化为相应的可以,裂项求和的数列，但不知道如何处理含有二项,式系数的式子,例,14,08,湖南卷,理,21,已知函数,f,x,ln2(1+x,I,求函数,的单调区间,若不等式,对任意的,都成立,其中,e,是自然对数的底数,求,的最大值,解题手段的综合,函数,的定义域是,设,则,令,则,当,时,在,1,0,上为增函数,当,x,0,时,在,上为减函数,所以,h,x,在,x,0,处取得极大值，而,h,0)=0,所以,函数,g,x,在,上为减函数,于是当,时,当,x,0,时,所以，当,时,在,1,0,上为增函

17、数,当,x,0,时,在,上为减函数,故函数,的单调递增区间为,1,0,单调递减区间为,不等式,等价于,由,知,设,则,由（）知,即,所以,于是,G,x,在,上为减函数,故函数,G,x,在,上的最小值为,所以,a,的最大值为,评析】函数与导数的综合题，是高考的,热点。通常我们只是利用导数的正与负来判,断原函数的增减，本题中导函数的正负是不,易判断的，需要对导函数再次求导，这样多,次求导，化难为易，具有一定的示范性。又,如,07,年湖北卷理科,21,题也利用了多次求导,四、复习建议,由于导数既是中学数学的重要内容，又,是对进入高校继续学习有用的知识，因此,在高考中占据重要地位，常以一个大题,一个小

18、题的形式出现，占的分值较重,08,年的全国一卷出现了两小,2,题,7,题）两,大,19,题,22,题）四个题目。因此，需要,扎扎实实地复习，认认真真地备考,切实加强函数在一点处的导数的定,义和导数的几何意义的复习。复习此内容,时要回归课本，弄清楚函数在一点处的导,数的定义细节和导数的几何意义的细节,特别是定义的产生背景，定义的数学表达,式，导数几何意义生成过程等，扎扎实实,地复习好这些细节,1,紧扣“纲,本,加固,基础,重点复习好两个函数和、差、积、商的,求导法则与复合函数求导法则，并用这些法,则熟练求一些函数的导数，特别是与,C,x,m,sinx,cosx,e,x,a,x,lnx, ,log

19、,a,x,有关的函数求,导问题（注意：文科只要求,C,x,m,的导数，理,科的重点是分式函数及,e,x,lnx,的导数,充分掌握可导函数的单调性与其,导数的关系，可导函数的极值与其导,数的关系，利用导数对函数进行研究,2,构建网络,加深认知,完整的知识结构是高考取胜的必要条件,导数内容知识虽然不是很多，但涉及面广,引,导学生总结、归纳、深化，发现知识的内在,联系，形成知识网络，有利于记忆、理解和,应用，以点带面，以面盖点，由知识点对应,习题，以习题联想知识点，能够举一反三,融会贯通,导,数,的,背,景,导,数,的,定,义,导,数,几,何,定,义,导,函,数,导,数,的,运,算,导,数,的,应,

20、用,函,数,的,单,调,性,函,数,的,极（最）值,实,际,问,题,3,注重方法,加强能力,数学思想和方法是数学知识在更高层次上,的抽象和概括，它们蕴含在数学知识发生,发展和应用的过程中。数学思想方法在学生,的能力培养和素质提高方面具有重要作用,因此数学思想方法的考查是数学能力考查的,必然，数学思想方法认识的提高是综合能力,提高的前提。数学思想方法一直是高考数学,试卷的主题,4,精讲实练,加实效果,在高三复习中，讲与练的关系，应该,是以练为主，讲练结合。在讲练中处理,好以下几个问题,讲什么,教师需要对考纲与高考题型,考查的知识点进行精心讲解，需要对筛选,出来的例题进行讲解，历届的高考试题对,新

21、高考的命题有借鉴作用，需要认真地讲,解。对习题要讲解题方法，讲审题技能,讲解后总结，讲解题规范。尤其是教学生,学会审题，学会思考,导数中易混易忽视的知识要点,忽视“过某点的切线”与,在某点处的切线,的区别,误解“导数为零”与“有极值”的关系,误解“导数值的符号”与,函数单调性”的关,系,忽视函数的定义域,不能理清原函数与导函数图象的关系,例,15,08,全国卷,理,2,汽车经过启动、加,速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这,一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图,象可能是,例,16,08,福建卷,理,12,已知函数,y=f(x),y=g(x,的导函数的图象如下图，那么,y=f(x),y=g(x,的图象可能是,s,t,O,A,s,t,O,s,t,O,s,t,O,B,C,D,评析】此两例均是图象问题，部分学生,根本不知道如何考虑。例,15,应抓住行驶路,程随时间的增加而增加以及启动、加速行,驶、匀速行驶、减速行驶来判断；学生对,例,16,给出的条件不会使用，找不出导函数,图象与原函数图象的关系，这就要求老师,在平时就要培养学生的审题意识，善于从,条件中发现信息，挖掘信息,在上述例,14,的湖南试题中，既有多次求导,又告诉考生一个大题中的几个问题是相互关,联的，