生存模型与生命表

1、第三章 生存模型与生命表,一、关于生存模型,1）通常，我们把寿险公司出售的合同称为寿险保单，按照寿险保单的约定，保险人（即保险公司）根据被保险人在约定时间内的生存或死亡决定是否给付保险金,2） 这种只有在特定事件发生时才给付的保险金称为条件支付，其重要特征是它发生的不确定性，一个人的未来生存时间是不确定的（事先不可预知,3）被保险人在未来某个时期的生死是不确定事件，对这个不确定事件的研究是寿险精算的主要工作之一，他决定着保险金的给付与否，他的研究把数学和生存与死亡概率联系在了一起,从数学的角度看，生存与死亡状态是一个简单的过程，这个过程有以下特征： （1）存在两个状态：生存和死亡； （2）对单

2、个个体可描述出它们所处的状态：即可划分为生存者和死亡者； （3）生命个体可从“生存状态”转化到“死亡状态”，但不能相反； （4）任何个体的未来生存时间是未知的，所以只能从生存与死亡的概率探讨并着手去研究生存状态； （5）生存模型就是对这一过程所建立起来的数学模型，用数学公式作清晰地描述，从而对死亡率的问题做出部分解释,下面就是生存模型可给出回答的一些问题： （1） 一个50岁的人下一年死亡的概率是多少？ （2）假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多少人？ （3）如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种人寿保险，那么应该向他收取多少保费？（即定价问题！） （4）一些特定因素（如一天吸

3、60根烟卷）对50岁男性公民未来的生存时间有怎样的影响,二、新生婴儿的生存分布,t0：一个刚出生的个体的寿命,下面引入生存分布概念,假定t0的分布函数和密度函数,生存函数（或生存分布,定义：寿命x的生存函数（或分布）为 与分布函数的关系： 与密度函数的关系： 新生儿将在m岁至n岁之间死亡的概率,注：生存函数 的性质,例如：（1）一个0岁的人在50岁之后死亡的概率是 ；（2）而在60岁之前死亡的概率可表示成,3）而在50岁到60岁之间死亡的概率可表示为,三、 岁个体的生存分布,一个刚出生的个体生存至x岁，记此时的个体用符号(x)表示，假设x为整数。个体(x)的未来生存时间为一随机变量，记为 ，则

4、 。 又记 的整数部分为 ，小数部分为 则,tx的分布函数： 生存函数（生存分布）： 密度函数,同时， 的分布函数、生存函数及密度函数分别用 表示,所以有,四、未来生存时间的密度函数（一些国际通用精算表示法,1） 个体(x)在x+1岁仍然生存的概率；被称为生存概率,注明 从定义中可以看出,2） 个体(x)在未来一年内死亡的概率； 称为死亡概率,一）未来一年的生存与死亡概率,1） : 个体(x)活过年龄x+t岁的概率，即(x)至少再活t年的概率,2） : 个体(x)未来t年内死亡的概率,3） : 个体(x)在年龄段（x+u,x+u+t死亡的概率，即(x)活过x+u岁，但在接下来的t年内死亡的概率

5、。特别地,注明 从定义中可以看出,二）未来任意期限内的生存与死亡概率,定理1 （1）生存概率 （2）对 生存概率与死亡概率有如下的关系： （3）对 ，有,定理证明: (1,2)由 的定义可知,又由条件概率公式，有,3）对,例2 已知生存函数 计算 和,解,例3已知18岁的小王，再生存10年的概率为0.95，再生存30年的概率为0.75.则其现年28岁在48岁之前的死亡概率为,解:已知,第二节 死亡力（或死亡效力,寿命x的瞬时死亡率（或死亡力（度） 定义为,当 为连续函数时，有下面关系式成立，即,remark,注： （1）从以上关系式可以把 解释为一个活到x岁的个体恰好在此年龄时死亡的可能性（概

6、率,2） 应满足的条件,死亡力、密度函数及生存函数三者关系,定理 和 可由死亡力函数表示，即,定理证明：由死亡力的定义可知,解这个微分方程可知，存在常数c，使得满足 取x=0,则,将这个关系式代入到 ，可得,所以当x=0时，c=0，由此可知,结论（1） （2） （3,死亡力与生存函数、密度函数的关系,证明,死亡概率、生存概率与死亡力的关系,结论,三个函数之间转换的例子,求生存分布和死亡力,例4 设密度函数为,解,根据死亡力函数的定义，对,例5 设生存分布为如下形式，即服从指数分布（其中 为参数,求出相应的死亡力,解,例7 已知当 时， 计算 和,几种常见的死亡力函数,练习： 1、验证函数 可作

7、为生存函数，并给出 对应的死亡力，t0的密度函数与分布函数. 2、设 3、设,4 已知生存函数 计算 和,第三节 生命期望值,定义（两个期望生存时间） 其中，前者为(x)个体寿命的期望值（完全生命期望值），后者为（x）个体生存整年数的期望值（简单生命期望值），且两者之间满足不等式,下面讨论这两个期望值的具体表达式,定理 （1） 和 与生存函数有如下的关系： （2） 和 的二阶矩满足下面的公式,补充定理 对非负随机变量 及正整数n，若 ，则有,其中,定理的证明： （1）由于 ，利用前述补充定理可得,又由于假定 是连续型随机变量，故在单点上的概率等于0，即,2,定理得证,例8 设密度函数为 ， 计

8、算,可直接写出,解：由生存函数,例9 设 ，计算,解,例12 证明下面等式： （1） （2,证明：因为 ，两边对x求导数，有,2）因为,所以,对等式 的统计意义解释 事实上，x岁个体的未来生存整年数的期望可看成是由如下两部分之和构成,1）在年龄区间 的生存整年数的期望。因为个体(x)生存至x+1岁时生存整年数为1年，否则为0.而个体（x）生存至年龄x+1岁的概率为 。因此，在此区间个体（x）的生存整年数的期望为,2）在年龄区间 的生存整年数的期望。因为当个体(x)活过x+1岁时生存整年数的期望为 ，否则为0.而个体（x）活过年龄x+1岁的概率为 。因此，个体（x）在年龄区间 的生存整年数的期望

9、为,综上所述，将两部分结合起来便有下面结果,部分习题,1. 试说明生存函数所应满足的条件为,解 事实上，由分布函数的性质和分布函数与生存函数之间的关系直接可导出,部分习题,又因为 是单调不减且左连续函数，所以 是单调下降且又连续函数,2. 试描述死亡力函数应该满足的条件,首先应满足非负性，即对 事实上,部分习题,其次，应满足： 事实上,作业,4.在某特定的人口群体中，所有年龄的死亡力为0.025，计算： （1）年龄为10岁的人在12岁前死亡的概率。 （2）年龄为5岁的人在10-12岁死亡的概率。 （3）新生婴儿的完全生命期望 （4）新生婴儿的简单生命期望,5、设死亡力,试求 （1）随机变量t0的分布函数与密度函数 （2,本章中英文单词对照,死亡年龄 生命表 剩余寿命 整数剩余寿