数值分析第五章学习小结x

1、第五章学习小结姓名：张亚杰班级：机械 1505班 学号：S20150232一、本章学习体会本章的内容与实际关联很大，可以解决很多工程实际问题。1、主要有两方面内容：插值与逼近。插值即是由已知数据通过某种 多项式求出在特定区间的函数值。 逼近即是用简单函数近似代替 复杂函数，如何在给定的精度下，求出计算量最小最佳的多项式， 是函数逼近要解决的问题。2、插值中样条插值比较难，需要花 一定的时间。逼近主要是必须使选择的多项式计算出的误差最小。3、我个人觉得本章的难点是样条插值与最佳平方逼近。二、知识构图：因为本章内容较多，故本次知识架构图分为三部分：插值、正交多项式和逼近。1、插值:2、正交多项式和

2、逼近的知识总结采取以下方式:一、正交多项式1、正交多项式的概念与性质若在区间(a,b)上非负的函数(x)满足b(1)对一切整数n 0, xn (x)dx存在；a(2)对区间(a,b)上非负连续函数f(x)，若则在(a, b)上f (x)0 ,那么，就称b nx (x)dx 0 a(x)为区间(a,b)上的权函数。常见的权函数有(x)1,a x b(x)一，1 x 1、1 x2(x).1x2, 1 x 1(x)e x,0 x(x)2e x ,x2、两个函数的内积定义.给定 f(x)V(x)C a,b ,(x)是(a,b)上的权函数，称(f,g)b(x)f(x)g(x)dxa为函数f(x)与g(x

3、)在a,b上的内积。内积的性质：(1)对称性：f,g g,f .(2)数乘性：kf ,g (f, kg)k(f,g).(3)可加性：f1 f2,gf1,gf2,g .(4)非负性：若在a,b上f(x)0，则(f, f) 0。3、函数的正交(1)两个函数的正交与正交函数系 若内积(f,g) a (x)f(x)g(x)dx=O则称f(X)与g(x)在区间a,b上带权(X)正交若函数系.o(x), i(x)丄,n(x)丄满足(i，j)(x) i jdx= 0，0 1a 0,1则称k(x)是a,b上带权 (x)的正交函数系。特别的，如果k(x)是最高次项系数不为零的k次多项式，则称k(x)是a,b上带

4、权(x)的正交多项式。正交函数系一定线性无关。4、几种常用的正交多项式(1) legendre多项式Lo(x)11 dnJ(x)矿訂(x chebyshev 多项式设n为非负整数，称 Tn(x) cos(n arccosx), 1 x 1 为chebyshev多项式。chebyshev多项式的性质：Tn(x)是x的n次多项式，并且当n 1时，Tn(x)的最高次项系数为an 2 1)n,n 1,2,L2 n! dxLege ndre多项式的性质Legendre多项式系 Ln(x)是区间-1，1上带权(x) 1的正交多项式系。Ln(x)的最高次项系数为n为奇数时Ln(x)为奇函数，Ln( x) (

5、 1)nLn(x)n为偶数时Ln(x)为偶函数递推关系当n 1时Ln 1(X)XLJX)Ln 1(X)n 1n 1Chebyshev多 项式系(X)是区间-1 , 1上带权(X) 1 的正交多项式系。(3) Laguerre 多项式n n xUn(x) ex(xe ),n 0,1丄十称dx为Laguerre多项式Laguerre多项式的性质:(1) Un(x)是X的n次多项式，并且它的最高次项系数为an ( 1)n(2) Laguerre多项式系 U n(x)是在区间 0,) 上带权的正交多项式系。(4) Hermite 多项式nx2n x2 d (e )Hn(x)( 1) e n ,n称dx

6、n0,1丄为Hermite多项式。Hermite多项式的性质：Hn(x)是x的n次多项式，并且它的最高次项系数为an2nHermite多项式系 H n(x)是在区间(2)上带权e x的正交多项式系x2Hm(x)Hn(x)dx0,m n2n n!、, m n二、函数的最佳平方逼近1、最佳平方逼近的概念设Hn为某一函数类定义：设f(x)Ca,b，若存在(x) Hn 使 f*2 mHnn，则称ff(x)a2(x) (x)dx(f-*)=miHn(fHn 的表示：设 0(X), 1(X), 2(X), n(x)Hn span 0(x),1(x),2(X), n(x)(X)ck k(x)(x) Ck k

7、(x)k 0k 02、最佳平方逼近的条件设 f(x) Ca,b(X) Hn ，是子空间心中，对于f(x)的最佳平方逼近元素的充分必要条件是：(fj)0, j 0,1, ,n3、最佳平方逼近元素是唯一的4、最佳平方逼近元素的求法np*(x)ck k(x)*k 0，求系数Ck，利用条件:nj (fck k(x), j)0, j 0,1,2,.nk 0nck(k , j )(f, j),j0,1,2,法.方程(正规方程)：k 0(0* *,j)G ( 1, j)G(n,*j)Cn(f, j)j0,1,2,n(* *0, 0)c0( 1, 0)c1(n,*0)G(f, 0)(* *0,1)c0( 1,

8、1)G(n,*1)cn(f, 1)(* *0, n )c0( 1, n )c1(n,* n )cn(f, 0)(0, 0) ( 1, 0)(n ,0)c0(f, 0)(0, 1) ( 1, 1)(n,1)q(f, 1)(0, n)(1, n)(n, n)cn(f, n)设0(X), X),2(X),n(x)为a,b上带权(X)正交函数系,则c* (ckf, k),k 0,1,2,n(k, k )5、最佳平方逼近误差* *f,f，均方误差：(f, f)n*ck(k,k 0f)、正交函数系在最佳平方逼近中的应用设。i(x),彳,n(x)，为a,b上带权(x)正交函数系,则ck f,k 0,1,2,

9、 ,n(k, k )1、Legendre多项式的应用设f(x)C 11求f(x)在-1,1上的n次最佳平方逼近多项式Pn(x)(f ,g)f(x)g(x)dx Hnspan1,x,x2, ,xn取HnspanLo, L1, ,Ln(仁Lk) (Lk,Lk)11Lm(x)Ln(x)dx0, m n2,m n2n 1c*(f丄k)(Lk,Lk)0,1,2,2k 12,n f (x)a,b11Lk(x)f(x)dx,p (x)nckLk(x)k 0x做变换abb2 2at,t 1,12、Chebyshev多项式的应用HnPn(x)spanTo,T1, ,Tna02najTj(x), 1 x 1j 1

10、aj2：呵(2x)dx,j 0,1,2,1 x,n误差估计设f(x)在区间-1，1上存在且有界，那么由式Pn(x)n2j1ajTj(x), 1ao和系数公式aj -1 f (x)Tj (x).Jx2,j0,1,2,n。所确定的多项式，当n 时，在-1，1上一致收敛于函数f(x)。a。ajTj(x),Chebyshev 级数 j 13、三角函数系的应用三角函数系1，cosx,sinx, ,cosnx,sin nx，在0,2 上为正交函数2(f,g)0 f(x)g(x)dx0,k j(coskx, cos jx) 2 ,k j 00, k i(sin kx,sin jx),k j 0,k j 0(

11、coskx, sin jx) 0, k j2设f(x)是以2为周期的函数，定义内积(f,g)0 f(x)g(x)dx ,在空间Dn spancosxsin x, , cosnx,sin nx，中寻求对于亦)的最佳平方逼近元素sn(x)a02(ak coskx bkSin kx)k 01 2akf (x) coskxdx,k 0,1,2, n01 2bk o f (x)sin kxdx,k 1,2, ,na0）且以2为周期时2(ak coskx bksin kx)f(x)四、曲线拟合曲线拟合的概念：已知数据点：(x,yj,i 0,1,2, ,m，寻找一个函数当 f(x) C(k 0y （x），使

12、其在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合的好。常用的四个准则:（1）最大误差Enmax xi1 i nyiE1（2）平均误差XiyiE2（3）均方根误差（丄2E（4）误差平方和i 1XiYi用四种方法可以分别得到在四种准则下的四条最佳拟合曲线，使其误差平 方和最小的方法称为最小二乘准则。1、曲线拟合拟合的最小二乘法：（1）曲线（数据）给定一组数据(Xi,yJ,i0,1,2, ,m,在某一函数类D中找函数y (x),使:(x) y2m2min i 0 (xi)yi（X）为上述数据的最小二乘拟合曲线.（2）拟合曲线的求法取 D span o(x),i(X), n(x), n m 找(x)n*

13、Cj0j(x) Dm* 2 (Xi) f(Xi)使i 0m2min (X) f(Xi)i 0即求多元函数的极小值:jC j j(x) f (x)0minCin2Cj j(Xi) f (Xi)j 0F(c,Ci,Cn)m nCji 0 j 0j(X )2f(x)nCj j(Xi)j 0f (Xi) k(Xi)nCj0j(Xi)k(X)m2f (Xi) k(Xi)i 0nCjj 0 ij(Xi)k(Xi)mf(Xi) k(x)i 02. jj(Xo), j(Xi), j(Xm)T,j 0,1, .nk)mj (Xi) k(Xi)i 0y (y0, y1, ,ym)T(y,k)f(Xi) k(Xi)

14、i 0nCj(j)(y, k),k0,1,2,法方程：j0(0,0)(1,0)0,0,1)1)0,n)n)C0G(y,(y,0)1)(n ,0)1)n)(y,n)令: A nC0 , C1,5丁法方程变为:ATAcATy(xjyi 2min(1)曲线(数据)拟合的最小二乘法(2)拟合曲线的求法m*2(Xi) f(Xi)i 0mmin (Xi)i 02f (Xi)nT *Ta Ac a y(X)C* j (x)j 0m(3)误差平方和(x) f(Xi )2i 0基函数的选取(以多项式作为拟合函数类)(a) 选择幕函数x，j O,12, ,n作为基函数.(b) 构造在点集x,i 0,1,2, ,m

15、上的正交多项式系 j(x), j 0,1,2, ,n(c) 取Chebyshev多项式作为基函数 Tn(x) cos(narccosx)(d) 取三角函数为基函数三、思考题1、为什么高次多项式插值不能令人满意？分段低次插值与单个高次多项式插值 相比有何优点？答：因为对任意的插值节点，当n时，插值多项式 Ln(x)不一定收敛于f(x)。由于高次插值存在龙格现象，它没有实用价值，而分段低次插值，特别 是三次样条插值，具有良好的收敛性与稳定性，又有二阶光滑度，理论上和应用上都有重要的意义。2、用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同?答：切比雪夫多项式（X）在区间行上有n个零点，恰好是单位圆周上的等距分布点的横坐标，这些点的横坐标在接近区间的端点处是密集的。利用切比雪夫点做插值，可使插值区间最大误差最小化。由于高次插值出现龙格现象，拉格朗日插值一般不收敛，因此不适用，若用切比雪夫多项式零点插值即可避免龙格现象，保证整个区间收敛