构造性辅助线四例

1、构造性辅助线四例在几何证明中除常见的连接、延长、作平行、作垂直等辅助线之外，还有一种作辅助线的思路， 就是通过巧妙的几何变换构造出全等或是特殊图形。 这种作辅助线方法我们通常称为构造性辅助线。一、翻折构造例 1如图 1，在等腰直角ABC 的斜边 AB 上，取两点M 、 N，使 MCN=45 ，记AM=m ， MN=x ， BN=n 。则以 x、m、 n 为边长的三角形的形状是（）A. 锐角三角形；B.直角三角形；C.钝角三角形；D.随 x、m、n 变化而变化分析 ：要判断以 x、 m、 n 为边长的三角形的形状，关键是要设法将这三条线段长集中到同一个三角形中；如何用好已知条件中的MCN=45

2、，应同时考虑ACM+ BCN=45 。为将长为x、m、n 的三条线段集中，可考虑将ACM 沿 CM 翻折（如图），这样可将 m、x 两条线段集中。再连接 PN，若能证明 PN=BN ，则长为 x、m、 n 的三条线段就集中到了 PMN 中。由 ACM+ BCN=45 ， PCM+ PCN=45 BCN= PCN，可证 BCN PCN， PN=BN=n 。 MPC= A=45 ， NPC= B=45 MPN= MPC+ NPC=90 以 x、 m、 n 为边长的三角形的形状直角三角形。提示 ：当要证的结论需集中某些线段，且图形中出现了等量角的关系、角的平分线等条件时，可考虑翻折构造。二、旋转构造

3、例 2 如图 2，已知 O 是等边三角形 ABC 内一点， AOB 、 BOC 、 AOC 的度数之比为 65 4，在以 OA 、 OB、OC 为边的三角形中，求此三边所对的度数。分析： 解决此题的关键依然是要将OA 、 OB 、 OC 三条线段集中到同一个三角形中。考虑到等边三角形的的特点，若将AOB 绕 A 点旋转 60到 AMC ，因为 AOM为等边三角形， MO=AO ，又 OB=MC ，则 OA 、OB 、OC 就集中到了 COM 中。 OA 、OB 、 OC 为三边所对的角即为求 COM 的三个内角。由 AOB 、BOC 、AOC 的度数之比为6 54，设 AOB=6x ， BOC

4、=5x ， AOC=4x则有 6x+5x+4x=360 ， x=24， AMC= AOB=6x=144 ， AOC=4x=96 由 AOM= AMO=60 MOC= AOC- AOM=36 ； OMC= AMC- AMO=84 ACM=180 -（ MOC+ OMC ） =60 以 OA 、 OB 、 OC 为边的三角形三边所对的度数分别为：60、 36、 84。提示 ：旋转构造一般多用于等边三角形、正方形、 等腰直角三角形中，主要是应同时考虑到旋转后的对应边能够重合，旋转角度能构成特殊角等两个条件。三、轴对称构造例 3如图 3，AOB=45 ，角内有点则 PQR 的周长的最小值是。P，PO=

5、10，在两边上有点Q、R（均不同于O），分析 ：要确定 PQR 的周长最小，关键是如何确定Q、 R的位置。而只有利用轴对称将折线段化为直线段才能求出最小值。已知条件中根据轴对称性质则有AOB=45 ，如果分别作P 关于 OA 、OBMON=90 ，可构造出直角三角形。的对称点M 、N，连OM 、ON ，作此时P 关于 OA 、OB 的对称点 M 、N，连 PQR 的周长的最小，最小周长等于线段MN 与MNOA 、OB的长度。的交点Q、R，由轴对称性质，连 OM 、 ON 。由轴对称性质， OM=OP=ON=10 ， MON=90 ， MN=10提示 ：一般地，求证几条折线段之和的问题通常考虑作轴对称，将折线段转化为直线段。四、特殊构造例 4如图4，在四边形ABCD中， ABC=30 ， ADC=60 ， AD=CD 。求证：BD 2=AB 2+BC 2。分析 ：所求证的关系为平方形式，联想到构造直角三角形运用勾股定理求证。ABC=30 ，已 BC 为边向外作等边三角形 BCE，则可得到ABE=90 ， BC=BE ，可将AB 2+BC 2 转化为直角三角形 ABE 中 AB 2+BE 2。这样只需证明AE=BD 即可。由 ADC=60 ， AD=CD ，连接 AC ，则 ADC