边值问题的唯一性定理

1、4.1 边值问题的唯一性定理,一、边值问题,边值问题是指存在边界面的电磁问题,根据给定边界条件对边值问题分类,第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分布值,第二类边值问题：已知函数在边界面上的法向导数,第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界面上的函数值，和另一部分边界面上函数的法向导数,二、唯一性定理,唯一性定理内容：在场域v的各边界面s上给定电位 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域v内的解唯一,说明：若对同一面积，同时给定 和 的值，则不存在唯一解,唯一性定理的意义,指出了静态场边值问题具有唯一解的条件,为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据,唯一

2、性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的理论依据,4.2 直角坐标系中的分离变量法,建立求解方程,导体槽内为无源区，故电位满足拉普拉斯方程，即,问题：如图所示无限长金属导体槽，其顶面电位为u，其余三面接地，求导体槽内电位分布,用分离变量法求解过程,很明显， 为x,y的函数。则可令,代入方程得,仅为x坐标函数,仅为y坐标函数,要使对任意x,y两式相等，则须两式均为常数。令,分离常数,通过引入分离常数k，将二维拉普拉斯方程分解为两个齐次常微分方程。分别解两个常微方程就可以得出原问题的解,解常微分方程（k取值不同解形式不同,当k=0时,当k0时,由于三角函数具有周期性，因此解中的分离变量k可以取

3、一系列特定的值kn(n=1,2,3），即,由于拉普拉斯方程是线性方程，因此方程的特解的线性组合仍然是方程的解,将所有的特解线性组合起来，得到电位函数的通解,解中所有未知系数和分离变量kn由边界条件确定,由条件（1,由条件（2,由条件（3,由条件（4,将u在（0，a)区间展开为 傅立叶级数,所以，接地导体槽内部电位分布为,4.3 镜像法,几个实例,q,q,非均匀感应电荷,等效电荷,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位,接地导体球附近有一个点电荷，如图,q,非均匀感应电荷,q,等效电荷,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷

4、的电位替代,镜像法的目的：把原问题中包含典型边界的场的计算问题化为无限大均匀媒质空间中的问题求解,达到简化求解的目的,镜像法基本思路：在求解域外的适当位置，放置虚拟电荷等效替代分界面上导体的感应面电荷或媒质的极化面电荷的作用，取消分界面的存在,镜像法原理,镜像法理论依据：唯一性定理,由唯一性定理：满足同一方程和同样边界条件的电位分布的解是相同的，所以引入像电荷（等效电荷）后，应该有 电位函数仍然满足原方程（拉氏方程或泊松方程） 电位分布仍满足原边界条件,镜像电荷位置选择原则,镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件,镜像电荷必须位于求解区域以外,一、平面接地导体边界,点电荷对无限大接地平面导体边

5、界的镜像,原问题： 无限大接地导体平面（z=0）,点电荷q位置：z=h 求空间中电位分布,等效问题： 要求：与原问题边界条件相同 原电荷：q:z=h 镜像电荷(等效电荷):-q-z=-h(求解域外) 取消导体边界面，z0空间媒质充满整个空间,由等效问题，可以求出在z0空间内的电位分布为,即：无限大导体平面上，点电荷的镜像电荷电量与其在导体面上的感应电荷电量相等,无限大接地导体分界面上感应电荷,线电荷对无限大接地平面导体边界的镜像,对于线电荷对于接地导体面的镜像，类似地可得到等效问题,在z0空间的电位分布为,点电荷对相交接地平面导体边界的镜像,如图，两半无限大接地导体平面垂直相交,要满足在导体平

6、面上电位为零，则必须引入3个镜像电荷。如图所示,对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，若夹角为 ，则所有镜像电荷数目为2n-1个,例8.6 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移至无穷远处，（外力）需要做多少功,解：移动电荷q时，外力需要克服电场力做功，而电荷q受的电场力来源于导体板上的感应电荷。可以先求电荷q移至无穷远时电场力所做的功。 由镜像法，感应电荷的电场可以用像电荷qq替代。当电荷q移至x时，像电荷q应位于x，则有,二、点电荷对球面导体边界的镜像,点电荷对接地球面导体边界的镜像,镜像电荷位于球心与电荷q连线上,令镜像电荷电量为 ，与球心距离为 。要保持边界条件不变，则,在空

7、间中任意点 处电位为,由边界条件可知,镜像电荷,结论：点电荷q对接地导体球面的镜像电荷为,当电荷位于接地导体球壳内时，将在导体内表面激励起感应电荷，但由于球壳接地，在球外空间不能建立起场分布（被屏蔽）。 可以求得镜像电荷,对点电荷位于接地导体球壳内问题的讨论, q|q|，可见球外的电荷量大于球内电荷量 像电荷的位置和电量与外半径b无关（为什么,点电荷对不接地球面导体边界的镜像,当球壳不接地时，导体球面电位不为0，球面上存在正、负感应电荷（感应电荷总量为0,处理方法：电位叠加原理,处理过程： 先假设导体球面接地，则球面上存在电量为 的感应电荷，镜像电荷可采用前面的方法确定。 断开接地。将电量为

8、的电荷加到导体球面上，这些电荷必然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体。 均匀分布在导体球面上的电荷 可以用位于球心的等量点电荷等效,分析可知：点电荷q对非接地导体球面的镜像电荷有两个,镜像电荷1,电量,位置,镜像电荷2,电量,位置：位于球心,球外空间某点电位为,三、线电荷对接地导体圆柱边界的镜像,如图：线电荷位于导体圆柱外，距离轴心d。设镜像线电荷为 ，与轴心距离为,根据镜像法镜像选择原则，镜像电荷必须位于导体区域内，其与源线电荷共同在导体分界面上产生的电位为0,四、点电荷对电介质分界面的镜像,问题：点电荷位于两种电介质分界面上方h，求空间电位分布,分析：在介质分界面上将存在极化面电荷，空间电位由极化面电荷和电荷q共同产生,解决问题方法：镜像法，即用镜像电荷等效极化电荷作用,区域1的电位由q和位于区域2中的镜像电荷q共同产生,区域2的电位由q和位于区域1中的镜像电荷 共同产生,在z=0面上应用电位边界条件,真空中一点电荷q位于导体球附近。导体球半径为a，点电荷距离球心距离为d（da）。求： （1）导体球接地时空间电位分布及电荷q所受的电场力； （2）导体球未接地时空间电位分布及电荷q所受的电场力,解:(1)当导体球接地时，由镜像法，原问题可等效为空间只