微积分b知识点

1、微积分B2复习要点一题型1. 填空题（3 X7=21分）；2. 单项选择题（3 X6=18分）;3. 计算题（51分）;4. 解答题（10分）二知识点第七章向量代数与空间解析几何空间曲面的方程（平面、球面、柱面、旋转曲面）例 求球心为点Mo（xo, yo,zo），半径为R的球面方程例 平面直角坐标系中 x2 z4的图形是圆 ，空间直角坐标系中 x2+z2=4的图形是 圆柱面。例 XOZ面上 x2 z4绕x轴旋转一周后的旋转体方程为 第八章多元函数微分学1. 二元函数的定义域;例1求函数z = 4 4x2- y2的定义域D .解 要使z = . 4- 4x2- y2有意义,应有4- 4x2- y

2、2 ? 0,1.故例2求z = ln(x - y)的定义域D .解要使z = ln(x - y)有意义,应有x - y 0 ,故 D = (x,y) x- y 0.例3求函数z =4- x2 - y2 +1x2+y2-1的定义域D。解要使 z = . 4- x2- y2 +r有意义, x2+ y2- 1应有芥+；-2-10,即1 x2 + y2 ? 4,故 D = (x, y)1 x2 + y2 ? 42. 二元函数的极限的计算;如果对于任意给定的正数，总存在一个正数，使得当0 ： = ,(x - xo)2 (y - y。)2 ：时,f (x, y) Ac苍恒成立，则称当(x, y)趋于(x。

3、, y。)时, 函数f (x, y)以A为极限。记作(x, y lm，y) f (x，y)= A 或 1即(x，小 A1例求()(x2y2 )sin解当 X 0, y 0 时 x2 y2 0， 由于无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量，所以3. 多元函数偏导数计算;(1) 一阶偏导数的计算；(2) 全微分的计算；概念：函数z = f(x,y)的全微分为dz Zdx - dy excy例 求函数z=x2y2-3x，5y的全微分.解 因为 =2xy2 -3, = 2x2y - 5 , dxcy所以 dz = (2xy2 -3)dx (2x2y 5)dy .(3) 多元复合函数的偏导数的计算；概念：设

4、 z = f (u,v),u = (x, y),v -(x, y)，若 u = (x, y), v -(x, y)在点(x, y)处偏导数存在，而且z = f(u,v)在对应点(u, v)处可微，则复合函数z = f ( ：(x, y),- (x, y)在点(x,y)处可导，例已知 z =15 -3u2 v2, u = xcosy,v = ycosx，求兰，. ex cy解由链式法则有.:z ；z :：u：z :：v226ucosy 2v (-ysinx) = -6xcos y - y sin2x . :x : u :x :v ；x用同样的方法，可得 =3x2 sin 2y 2y cos2 x

5、y(4) 隐函数的偏导数的计算;例：设z =z(x, y)是由方程x y z =ez确定的隐函数，试求 dx cy(5)抽象函数求导求复合函数z二f (xy,=)的一阶偏导数x三和三:xy解令u二xy,v二，则z二f (xy,)变为z = f (u,v)， u二xy,v二-复合而成的复合函数。xxx练习：设 z = f (2x - y, ysin x)，f具有一阶连续偏导数，求L、czczJL、:x : y6.可微、偏导、连续的关系7.多元函数极值的计算。概念：设函数z=f(x, y)在点F0(Xg, yo)的某邻域内有定义,若对于该邻域内异于P。的点P x, y ,有 f (x, y) ：

6、f (xo, yo)(或 f (x, y) . f (xo, yo)，则称 f (xo, yo)为函数 f (x, y)的一个极大 值(或极小值).442 c2例；求函数z = x y - x - 2xy - y的极值。3 zx =4x 2x 2y = 03解：解 lzy=4y -2x-2y=0，得(x,y)=(1,1),(O,O )。2 2而 Zxx = 12x - 2, Zxy =-2, Zyy = 12y - 22 2对(x,y)=(1,1) Zxx =12x -2 =10禺=-2,Zyy =12y -2 = 10知(x,yr_(1,1)为极小值点。且极小值为-2。第九章二重积分1. 二

7、重积分的计算(直角坐标,极坐标)；例(1) .i .ix 6y d匚，其中 D 由 y =x, y = 2x, x =1 所围成D(2) 求.xyd；,D是由直线y二D1-x - 3与曲线y二-x2 -1所围成2(3) 计算I ! xydxdy，其中D由曲线x =y2及x2 =6 -5y所围成.D解画出积分区域D的图形. 积分区域D的不等式组表示为D : y? w x w ：.6 -5y , - 2 w y w 1,所以I16y1=dyxydx=?-4y(6 -5y -y )dy3八5 y31 66y274(4)2x y 2d二 D:x2 y2 空4Djj*(x2 y2)5d 二 D：1X2

8、y24D2. 交换积分次序;e In x例 交换二重积分“ dx p f (x, y) dy的积分次序。解：由二次积分的上、下限知积分D的图形是y=0与y二In x在1, e之间的部分，贝U D:1 _x _e,0 _ y _ In x若先对y后对x积分，此时积分区域可表示为一.、* _一 十 ”eInx1e因此，我们可以交换积分次序 dxL f (x, y) dyr.dyJeyf (x, y) dx14例( 1) dy 2 f (x, y)dx- -2 y1 x22_x(2) 0dxf(x,y)dy+ , dx 0 f(x,y)dy3. 二重积分的性质与应用。1例 设D由y=2, y-x=0

9、, y二-所围成，求平面图形D的面积。x第十章微分方程与差分方程1. 微分方程的相关概念；2. 一阶线性微分方程的通解和特解的计算；方程(1)P x y = Q x dy称为一阶线性微分方程(注意其特点为它对于未知函数 y及其导数$是一次方程)当x = 0dy时，方程 为齐次的，当Q x不恒等于零时，方程(1)为非齐次的.dx坐 P x y =0dy称为方程(1)对应的齐次方程，它是可分离变量型y=e“dx Q xepxdxdx C例求方程史=x 1 的通解dx x 十 115分析(常数变易法)这是P x二-Qx 1 2的一阶非齐次线性方程.它有两种解法：常数变易法与公式法解法一(常数变易法)

10、先求对应齐次方程的通解.dy 2y，dx x 13 = 2dx,y x 1In y =21 n x + 1 + In c , 2y = C(x + 1),用常数变易法，把c换成u，即令y = u(x + 1)2.代入所给非齐次方程，有1=x 1 2,1 2 3u 二 x 1 2dxx 1 2 C,3223 I于是解法y=x1 - x 1 2 C ,13(公式法)直接由y=：epxdx Q x dXdx C给出，其中2.二阶常系数齐次线性微分方程的通解和特解的计算。二阶常系数齐次线性微分方程求通解，特解概念：若色4 P(X) Q(x)y =0dxdx中P(x),Q(x)为常数，称之为二阶常系数齐

11、次微分方程。解题步骤：(1) 写出微分方程对应的特征方程r2 pr 0，并求解出特征根 陷2(2) 根据特征方程的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程的通解:特征方程r2 +pr+q =0的两个根ri, r2微分方程y + py+qy=0的通解两个不相等的实根1,2 两个相等的实根1上 一对共轭复根g =c（土i B（3）将初始条件代入（2）中的通解中求解出通解中的Cl,C2（4）将Cl，C2代入到通解里去，得到题目要求的特解。例题：求微分方程 厂-2一3八0满足初始条件y| = ，yh = 4的特解。2解：所给微分方程的特征方程为r -2-3=0 其根ri = 一1,2二3是两个不相等

12、的实根，x3x因此所求通解为y=CieC2e（ 1）从而 y3C2e3x（2）将初始条件y|x卫=0，yh = 4代入（1）、（2） 得：0 二 G C2，4 = -G 3C2从而 G - -1,C2 = 1所以，原微分方程的特解为y二一e e3x例题:求方程密哼3满足初始条件:S =4.s=-2的特解= t=0t=0解 对于求满足初始条件的特解的这类方程，应先求出原方程的通解，然后再求特解:原方程对应的特征方程为：r2 2r 0.即（r 1）0A = r2 = T. ri,r2为重根.s = G c2t)e(1)再对(1)的两边关于 t 求导：英=C2e (g C2t)(T)e = (cc

13、-C2t)e4(2) dtS= _2把S =4代入的& =4把 t 代入得，。2=24=4(4 2t)e4为所求.例题：求微分方程：Y* -2y 5丫 = 0通解.f解 所给方程的特征方程为：r22r+5 = 0,ri2=2L2=12i为一对共轭复2根.y = ex (c1 cos2x c2sin 2x).(这里：=1, ： = 2)3.可降阶的二阶微分方程的通解与特解的计算类型 1: y 二 f(x,y)令yp,则y = p，于是可将其化成一阶微分方程。特点含有y, y,x，不含y。例 求微分方程(1+ x2)y = 2xy满足初始条件y|=o= 1, y _0= 3的特解。X= 0解 所给

14、方程是y _ f(x, y)型的。设y _ p，代入方程并分离变量后，有dpP2x1+ x2dx。两端积分，得In | p|= In (1+ x2)+ C，2C即p = y = C1(1 + x ) (C1 = ? e )。又由条件ylxr 3，得C2= 1，于是所求得特解为y = x3 + 3x + 1 o类型 2： y = f(y,y )令y =p,则y =亚二虫鱼卡坐，dx dy dx dy于是可将其化为一阶微分方程。特点不显含x。例 解微分方程y = 2y3满足初始条件y x三=1，yx=1的特解。解令y =p(y)，将pdp代入原方程中得dy分离变量并积分得 由初始条件yx=2 =

15、l, yx=? = l，得&=o,所以p = y贝Up = y2(因y x=2 = 1 a 0,所以取正号)，即一y = y2-dx分离变量并积分得-1二X c2y再由初始条件y x=2 =1，得C2 = -3 ,1所以方程满足初始条件的特解为y二丄.3-x第十一章无穷级数1. 级数的性质；2. 会判断级数(正项级数；交错级数；任意项级数)的敛散性3. 幕级数的收敛半径、收敛区间的计算；4. 函数展开成幕级数。5. 常见级数的敛散性(几何级数、p级数、调和级数等)例 (1)判断下列级数的敛散性:(2)讨论级数J (-1)nn -11(p 0)是绝对收敛还是条件收敛(3) 将函数f(x)二丁 在x=5处展开，并指明其收敛域x2-5x+4(4) 幕级数a xn的收敛区间心 4n(n +1)请老师将“高数竞赛的试场” 通知到相关学生，具体谁通知哪些学生， 请见附件，大家看了附件就明白了, 若不明白就call戴绍虞。?注意：不上高数、微积分的课程的老师也有部分要负责