分类加法原理和分步乘法原理正式精选文档

1、1.1,分类加法计数原理,和,分步乘法计数原理,问题,1,从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘,汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有,4,班,汽,车有,2,班，轮船有,3,班。那么一天中乘坐这些交通,工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法,分析,从甲地到乙地有,3,类方法,第一类方法,乘火车，有,4,种方法,第二类方法,乘汽车，有,2,种方法,第三类方法,乘轮船,有,3,种方法,所以,从甲地到乙地共有,4 + 2 + 3 = 9,种方法,一）新课引入,问题,2,如图,由,A,村去,B,村的道路有,3,条，由,B,村去,C,村的道路有,2,条。从,A,村经,B,村去,C,村，共有多少种不,同的走法,A

2、,村,B,村,C,村,北,南,中,北,南,分析,从,A,村经,B,村去,C,村有,2,步,第一步,由,A,村去,B,村有,3,种方法,第二步,由,B,村去,C,村有,2,种方法,所以,从,A,村经,B,村去,C,村共有,3,2 = 6,种不同的方法,分类计数原理,做一件事情，完成它可以有,n,类办法,在第一类办法中有,m,1,种不同的方法,在,第二类办法中有,m,2,种不同的方法,在第,n,类办法中有,m,n,种不同的方法。那么完成这件,事共有,N=m,1,m,2,m,n,种不同的方法,分步计数原理,做一件事情，完成它需要分,成,n,个步骤，做第一步有,m,1,种不同的方法，做,第二步有,m,

3、2,种不同的方法,做第,n,步有,m,n,种不同的方法，那么完成这件事有,N=m,1,m,2,m,n,种不同的方法,二）新课,三）例题,例,1,书架的第,1,层放有,4,本不同的计算机书，第,2,层放,有,3,本不同的文艺书，第,3,层放有,2,本不同的体育书,1,从书架上任取,1,本书，有多少不同的取法,2,从书架的第,1,2,3,层各取,1,本书，有多少不同的,取法,分析,1,从书架上任取,1,本书，有三类办法：第一,类办法,从第,1,层中任取一本书,共有,m,1,4,种不,同的方法,第二类办法,从第,2,层中任取一本书,共,有,m,2,3,种不同的方法,第三类办法：从第,3,层中,任取一

4、本书,共有,m,3,2,种不同的方法,所以,根据,分类计数原理,得到不同选法种数共有,N = 4+3+2= 9,种,三）例题,例,1,书架的第,1,层放有,4,本不同的计算机书，第,2,层放有,3,本不,同的文艺书，第,3,层放有,2,本不同的体育书,1,从书架上任取,1,本书，有多少不同的取法,2,从书架的第,1,2,3,层各取,1,本书，有多少不同的取法,分析,2,从书架的第,1,2,3,层各取,1,本书，可以分成,3,个步,骤完成,第一步,从第,1,层取,1,本计算机书，有,m,1,4,种方法,第二步,从第,2,层取,1,本文艺书，有,m,2,3,种方法,第三步,从第,3,层取,1,本体

5、育书，有,m,3,2,种方法,所以,根据,分步计数原理,得到不同选法种数共有,N = 4,3,2 = 24,种,点评,解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成,还是“分步完成”。“分类完成”用,分类计数原理,;“分步完成”用,分步计数原理,例,2,在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共,有多少个,分析,1,按个位数字是,2,3,4,5,6,7,8,9,分成,8,类,在每一类中满足,条件的两位数分别是,1,个,2,个,3,个,4,个,5,个,6,个,7,个,8,个,则根据,分类计数原理,共有,1 +2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 =36,个,分析,2,按十位数字是,

6、1,2,3,4,5,6,7,8,分成,8,类,在每一类中满足条,件的两位数分别是,8,个,7,个,6,个,5,个,4,个,3,个,2,个,1,个,则根据,分类计数原理,共有,8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36,个,例,3,一种号码锁有,4,个拨号盘，每个拨号盘上有从,0,到,9,共十,个数字,这,4,个拨号盘可以组成多少个四位数的号码,各位上的,数字允许重复,首位数字不为,0,的号码数是多少？首位数字,是,0,的号码数又是多少,分析,按号码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三,位,第,四位、需分为,四步完成,第一步,m,1,10,第二步,m,2,10,第

7、三步,m,2,10,第,四步,m,4,10,根据,分步计数原理,共可以设置,N = 10,10,10,10 = 10,4,种,四位数的号码,答,首位数字不为,0,的号码数是,N =9,10,10,10 = 9,10,3,种,首位数字是,0,的号码数是,N = 1,10,10,10 = 10,3,种,由此可以看出,首位数字不为,0,的号码数与首位数字是,0,的号,码数之和等于号码总数,例,3,一种号码锁有,4,个拨号盘，每个拨号盘上有从,0,到,9,共,十个数字,这,4,个拨号盘可以组成多少个四位数的号码,各位,上的数字允许重复,首位数字不为,0,的号码数是多少？首,位数字是,0,的号码数又是多

8、少,问,若设置四个、五个、六个,十个等号码盘,号码数,分别有多少种,答,它们的号码种数依次是,10,4,10,5,10,6,种,点评,分类计数原理,中的,分类,要全面,不能遗漏,但也不能,重复、交叉,类,与,类之间是并列的、互斥的、独立的,也就,是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一,种方法。若完成某件事情有,n,类办法,即它们两两的交为空集,n,类的并为全集,分步计数原理,中的,分步,程序要正确,步,与,步,之间是连,续的,不间,断的,缺一不可,但也不能重复、交叉,若完成某件事,情需,n,步,则必须且只需依次完成这,n,个步骤后,这件事情才算,完成,在运用,分类计数原理,分步

9、计数原理,处理具体应用题时,除要弄清是,分类,还是,分步,外,还要搞清楚,分类,或,分步,的具体标准。在,分类,或,分步,过程中,标准必须一致,才能保,证不重复、不遗漏,课堂练习,1,如图,要给地图,A,B,C,D,四个区域分别涂上,3,种不同,颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须,涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种,课堂练习,1,如图,要给地图,A,B,C,D,四个区域分别涂上,3,种,不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区,域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种,解,按地图,A,B,C,D,四个区域,依次分四步完成,第一步,m,1,3,种,第二步,m,

10、2,2,种,第三步,m,3,1,种,第四步,m,4,1,种,所以根据,分步计数原理,得到不同,的涂色方案种数共有,N = 3,2,1,1 = 6,种,课堂练习,1,如图,要给地图,A,B,C,D,四个区域分别涂上,3,种不同,颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须,涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种,问,若用,2,色,3,色,4,色,5,色等,结果又怎样呢,答,它们的涂色方案种数分别是,0,4,3,2,2 = 48, 5,4,3,3,180,种等,2,如图,该电路,从,A,到,B,共有多,少条不同的线,路可通电,A,B,课堂练习,解,从总体上看由,A,到,B,的通电线路可分三

11、类,第一类,m,1,3,条,第二类,m,2,1,条,第三类,m,3,2,2 = 4,条,所以,根据,分类计数原理,从,A,到,B,共有,N = 3 + 1 + 4 = 8,条不同的线路可通电,当然,也可以把并联的,4,个看成一类,这样也可分,2,类求解,A,B,m,2,m,2,A,B,m,1,m,n,A,B,m,1,m,n,点评,我们可以把,分类,计数原理,看成“并联,电路,分步计数原理,看成“串联电路,如左图,3,如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点,爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少,条,课堂练习,解,如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点,A,爬到顶点,C,1,有三类方法,从局部上看每

12、类又需两步完成,所以,第一类,m,1,1,2 = 2,条,第二类,m,2,1,2 = 2,条,第三类,m,3,1,2 = 2,条,所以,根据,分类计数原理,从顶点,A,到顶点,C,1,最,近路线共有,N = 2 + 2 + 2 = 6,条,练习,4,如图,从甲地到乙地有,2,条路可通,从乙地到,丙地有,3,条路可通,从甲地到丁地有,4,条路可通,从丁,地到丙地有,2,条路可通。从甲地到丙地共有多少种,不同的走法,甲地,乙地,丙地,丁地,解,从总体上看,由甲到丙有两类,不同的走法,第一类,由甲经乙去丙,又需分,两步,所以,m,1,2,3 = 6,种不同的走法,第二类,由甲经丁去丙,也需分,两步,

13、所以,m,2,4,2 = 8,种不同的走法,所以从甲地到丙地共有,N = 6 + 8 = 14,种不同的走法,小结,1,本节课学习了那些主要内容,答,分类计数原理,和,分步计数原理,2,分类计数原理,和,分步计数原理,的共同点是什么？不同点什么,答,共同点是,它们都是研究完成一件事情,共有多少,种不,同的方法,不同点是,它们研究完成一件事情的方式不同,分,类计数原理,是,分类完成,即任何一类办法中的任何,一个方法都能完成这件事,分步计数原理,是,分步完,成,即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一,步都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重,点,3,何时用,分类计数原理,分步计数原理,呢,答,完成一件事情有,n,类方法,若每一类方法中的任,何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算,完成这件事情的方法总数用,分类计数原理,