导数的概念(2)

1、变化率和导数的概念-学习要点1 函数 y f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率y f x2 f x1(1) 定义式： x x2 x1 .(2) 实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比(3) 意义：刻画函数值在区间 x1， x2上变化的快慢(4) 平均变化率的几何意义：设 A(x1， f( x1)， B(x2， f(x2) 是曲线 y f(x)上任意不同的两点，函数y f(x)的平均变化率y f x2 f x1 xx2 x1f x1x f x1为割线 AB 的斜率，如图所示2 函数 y f(x)在 x x0 处的瞬时变化率定义式limyf x0 x f x0 limxx0xx 0实质瞬时变

2、化率是当自变量的改变量趋近于0 时，平均变化率趋近的值作用刻画函数在某一点处变化的快慢3 导数的概念定义式limyf x0 x f x0 limxx0xx 0记法f (x0)或 y |x x0实质函数 y f(x)在 x x0 处的导数就是y f(x)在 x x0 处的瞬时变化率要点 1：求函数的平均变化率例 1、求函数 f(x) x2 在 x 1,2,3 附近的平均变化率，取x 的值为 1，哪一点附近的平均变化率最大？3在 x 1 附近的平均变化率为k1f 1 x f 11 x 21解析：xx 2 x；在 x 2 附近的平均变化率为f 2 x f 22 x 222k2 xx 4 x；在 x

3、3 附近的平均变化率为f 3 x f 33 x 232k3 xx 6 x；1117113119若 x 3，则 k12 3 3， k2 4 3 3 ， k3 6 3 3 ，由于 k1 k2 k3，故在 x 3 附近的平均变化率最大类题通法：求平均变化率的步骤(1) 先计算函数值的改变量y f(x1) f( x0)(2) 再计算自变量的改变量x x1 x0.y f x1 f x0(3) 求平均变化率 x x1 x0 .要点 2：求瞬时速度例 2、一做直线运动的物体，其位移s 与时间 t 的关系是s( t) 3t t2.(1) 求此物体的初速度；(2) 求此物体在 t 2 时的瞬时速度解析： (1)

4、当 t 0 时的速度为初速度在0 时刻取一时间段0,0t，即 0，t ，s s( t) s(0) 3t ( t)2 (3 0 02)3t(t) 2，s 3 tt 2 3 t ， limsttt lim (3 t) 3.t 0t 0物体的初速度为3.(2) 取一时间段 2,2 t，s s(2t) s(2) 3(2 t)(2 t)2 (3 2 22)t (t)2，s tt 2t t 1 t，slimt0t limt0 ( 1 t) 1，当 t2 时，物体的瞬时速度为1.类题通法：1求运动物体瞬时速度的三个步骤(1) 求时间改变量t 和位移改变量s s( t0t) s(t0) s(2) 求平均速度v

5、 t；2s(3) 求瞬时速度，当t 无限趋近于0 时，t 无限趋近于常数 v，即为瞬时速度y2 求x(当 x 无限趋近于 0 时 )的极限的方法(1)在极限表达式中，可把x 作为一个数来参与运算；(2)yx 无限趋近于 0 就是令 x 0，求出结果即可求出 x的表达式后，要点 3：求函数在某点处的导数例 3、(1)函数 yx在 x 1 处的导数为 _(2) 如果一个质点由定点 A 开始运动，在时间 t 的位移函数为 y f(t) t3 3，当 t 4， t 0.01 时，求y 和比值y；1t求 t1 4 时的导数解析：(1)y1 x 1，y1 x 11xx1 x1，lim111 ，所以 y|x1 .t 01x 122答案： (1)121 t) f(t122 (3，故当t1 4 ， t 0.01 时，y 0.481201，y(2) 解： y f(t1t 3t1(t)t) 3tt48.120 1. limylim 3t123t1t (t)2 3t12 48，tt 0t 0故函数 y t3 3 在 t1 4 处的导数是48，即 y |t1 4 48.类题通法：1用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤(1) 求函数的增量 y f(x0 x) f(x0)；(2) 求平均变化率yf x0 x f x0xx；y(3) 求极限 lim x.x 0即“一差，二比，三极限。“2 瞬时变化率的变形