二次型与合同变换(第十五次)课件

1、解：由A和B相似可知，它们 的迹、行列式都相等，即,l1l2=2, l36,对于特征值l1l2=2, 解线性 方程组(2E-A)Xo,对于特征值l3=6，解线性方 程组(6E-A)Xo,由于A和B相似，且B是一个,所以,例4. 设矩阵A,B相似，其中,求x , y的值； 求可逆矩阵P，使P-1AP=B,解得,对角阵，可得A的特征值为,二次型与合同变换(第十五次,解：由所给条件知矩阵A的 特征值为l11, l20, l3 -1, a1, a2, a3是A对应于上述特征 值的特征向量,容易验证a1, a2, a3是3阶方阵 A的3个线性无关的特征向量,所以A相似于对角阵 Ldiag(1, 0, -

2、1,取P(a1, a2, a3)， 则有P-1 A P= L ，所以 A = P L P -1,A 5= PL 5P -1 = PL P-1=A,例5. 设3阶方阵A满足Aa1=a1，Aa2=o，Aa3=-a3，其中 a1=(1,2,2)T, a2=(0,-1,1)T, a3=(0,0,1)T, 求A和A5,二次型与合同变换(第十五次,定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln) 相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量,推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，ln，则 A与对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln) 相似,注：n

3、阶矩阵A与对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln) 相似的充分必要条件是A特征方程的每个k重根l对应k个线性无关的特征向量，即齐次线性方程组(lE-A)X=o的基础解系是否有k个解，亦即系数矩阵lE-A的秩r(lE-A)=n-k,二次型与合同变换(第十五次,思考题,设,问x取何值时，矩阵A可对角化,解,得,由A的特征方程,二次型与合同变换(第十五次,矩阵A可对角化的充分必要条件是二重根1，有2个线性无关的特征向量，即齐次线性方程组(E-A)X=0有2个线性无关的解，亦即系数矩阵的秩r(E-A)=1. 因为,于是，x= -1,二次型与合同变换(第十五次,4.3 二次型的概念,一、二

4、次型 二、二次型的秩,二次型与合同变换(第十五次,定义1 含有n个变量的二次齐次多项式,叫做n元二次型，当二次型的系数aij ( i, j=1,2, ,n)都是实数时, 称为实二次型,1. 二次型的定义,特别地, 只含有平方项的n元二次型称为n元二次型的标准形,二次型与合同变换(第十五次,二次型的矩阵形式,二次型与合同变换(第十五次,其中,二次型与合同变换(第十五次,实对称矩阵称A为二次型系数矩阵, A的秩称为二次型的秩,若二次型 f 是标准形,即其系数矩阵是对角阵,其中,则 f 的矩阵形式为,二次型与合同变换(第十五次,例1. 写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩,1,2,因r(A)=3

5、, 故二次型的秩等于3,解: (1)二次型,系数矩阵及矩阵形式分别为,二次型与合同变换(第十五次,例1. 写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩,1,2,2)二次型,系数矩阵及矩阵形式分别为,因r(B)=2, 故二次型的秩等于2,解,二次型与合同变换(第十五次,例2 已知二次型f (x1,x2,x3)=5x12+5x22+cx32-2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩为2，求c,解一：二次型的系数矩阵为,A|=0, 可推知c=3,解二：r (A) = 2,于是c-9=-6, 可推知c=3,二次型与合同变换(第十五次,2. 实对称矩阵的性质,定理2 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交

6、的,定理1 实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵A的 k重特征值li 对应 k个线性无关的特征向量,实对称矩阵一定可以找到n个线性无关的特征向量， 即一定可以对角化,二次型与合同变换(第十五次,4.4.2 合同变换与二次型的标准形,1. 合同 2. 用合同变换化二次型为标准形,二次型与合同变换(第十五次,定义4 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得 PTAP=B 成立，则称矩阵A与B合同，记为,合同关系具有如下性质： 自反性 对称性 传递性 合同变换不改变矩阵的秩 对称矩阵经合同变换仍化为对称矩阵,二次型与合同变换(第十五次,定理4 任何一个实对称矩阵A都合同于对角矩阵. 即对于一个n

7、阶实对称矩阵A，总存在可逆矩阵P，使得,二次型与合同变换(第十五次,例1.用合同变换化二次型为标准形,上述2步操作相当于F1TAF1,二次型与合同变换(第十五次,F1TAF1,F2,F2T,这2步操作相当于,F3,F3T,即 PTAP=L P=F1F2F3,于是二次型的标准形为 f= y12+y22,二次型与合同变换(第十五次,由变量y1, y2, yn到x1, x2, xn的线性变换,记作 X=PY,问题：如何找一个可逆线性变换X=PY，使得将其代入二次型 后，得到新的二次型只含变量的平方项的形式(标准形),用合同变换化二次型为标准形,二次型与合同变换(第十五次,现将X=PY代入二次型，得,

8、上式右端是关于变量y1, y2, yn的二次型,设其化成了标准形,二次型与合同变换(第十五次,作业：129页 14(1,二次型与合同变换(第十五次,例1.用合同变换化二次型为标准形,上述2步操作相当于F1TAF1,二次型与合同变换(第十五次,F1TAF1,这2步操作相当于,F2,F2T,二次型与合同变换(第十五次,这2步操作相当于,F3,F3T,即 PTAP=L P=F1F2F3,于是二次型的标准形为 f= y12+y22,二次型与合同变换(第十五次,二次曲面的标准方程,1. 椭球面,b,c,二次型与合同变换(第十五次,2. 单叶双曲面,二次曲面的标准方程,二次型与合同变换(第十五次,3. 双

9、叶双曲面,二次曲面的标准方程,二次型与合同变换(第十五次,4. 二次锥面,二次曲面的标准方程,二次型与合同变换(第十五次,5. 椭圆抛物面,二次曲面的标准方程,二次型与合同变换(第十五次,6. 双曲抛物面,a0, b0,马鞍面,二次曲面的标准方程,二次型与合同变换(第十五次,7. 椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面 x2 = 2py (p 0,二次曲面的标准方程,二次型与合同变换(第十五次,ax2 + 2bxy + cy2 = 1,a b b c,1/25 0 0 1/9,二次型与合同变换(第十五次,证明: (反证) 设a1，a2，am线性相关，则其中至少有一向量可由其余向 量线性表示，不妨设a1可

10、由a2，am线性表示，即有一组数 k2，km，使 a1k2a2+ +kmam ，于是 (a1 , a1)= (a1 , k2a2+ +kmam) = (a1 , k2a2)+ + (a1 , kmam) =k2 (a1 , a2)+ + km (a1 , am)=0 这与(a1 , a1)0矛盾，所以a1，a2，am线性无关,定理1 正交向量组是线性无关的向量组,2.8 向量组的正交化标准化,二次型与合同变换(第十五次,定理2 对于线性无关的向量组a1,a2,am，令,则向量组b1,b2,bm是正交向量组,施密特正交化方法,另外：很明显，向量组a1,a2,am可由向量组b1,b2,bm线性表示

11、,二次型与合同变换(第十五次,向量组b1,b2,bm也可由向量组a1,a2,am线性表示，因为,二次型与合同变换(第十五次,例1已知向量组a1=(1,1,1,1)T, a2=(3,3,-1,-1)T, a3=(-2, 0, 6, 8)T,线性无关，试将它们正交化、标准化,解:(1)先利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令,b1=a1=(1, 1, 1, 1)T,(3, 3, -1, -1)T,(2, 2, -2, -2)T,(-1, 1, -1, 1)T,1, 1, 1, 1)T,此时 b1, b2, b3 为正交组,二次型与合同变换(第十五次,2)再将正交化后的向量组标准化，即令,此时 1

12、,2,3 即为所求标准正交组,说明：求标准正交组的过程为先正交化，再标准化,二次型与合同变换(第十五次,4.4.3 正交变换与二次型的标准形,1. 正交变换 2. 正交变换化二次型为标准形,二次型与合同变换(第十五次,例如，单位矩阵E为正交矩阵,定义6 如果n阶实矩阵A满足 ATA=E 或 AATE，则称A为正交矩阵,1. 正交矩阵,再如，矩阵,也为正交矩阵,正交矩阵的概念,二次型与合同变换(第十五次,1A为正交矩阵的充要条件是A-1=AT； 2. 正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵； 3. 两个正交矩阵的乘积是正交矩阵； 4. 正交矩阵是满秩的且|A|=1或-1； 5. A为正交矩阵的充分必要条件是

13、其列(行)向量组是标准 正交向量组. （证明见下页,正交矩阵的性质,二次型与合同变换(第十五次,性质5 设A为n阶实矩阵，则A为正交矩阵的充分必要条件是其 列(行)向量组是标准正交向量组,证明：设A=(a1，a2，an)，其中a1，a2，an为A的列向 量组，则AT的行向量组为a1T，a2T，anT，于是,显然，若A为正交矩阵，则a1，a2，an为标准正交向量组； 若a1，a2，an为标准正交向量组，则A为正交矩阵,A的行向量组的证明类似，略,二次型与合同变换(第十五次,由变量y1, y2, yn到x1, x2, xn的线性变换,若|P|0，则上述线性变换称为可逆(满秩)线性变换,记作 X=PY,问题：如何找一个可逆线性变换X=PY，使得将其代入二次型后，得到新的二次型只含变量的平方项的形式(标准形),化二次型为标准形,二次型与合同变换(第十五次,现将X=