第3章-多维随机变量及其分布习题答案

1、第三章 多维随机变量及其分布1、在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。解：（1）放回抽样情况由于每次取物是独立的。由独立性定义知。P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j)P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )=或写成XY0101（2）不放回抽样的情况P X=0, Y=0 =P X=0, Y=1 =P X=1, Y=0 =P X=1, Y=1 =或

2、写成XY01012、盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。XY01230001020解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j2，联合分布律为P X=0, Y=2 =P X=1, Y=1 =P X=1, Y=2 =P X=2, Y=0 =P X=2, Y=1 =P X=2, Y=2 =P X=3, Y=0 =P X=3, Y=1 =P X=3, Y=2 =03、设随机变量（X，Y）概率密度为（1）确定常数k。（2）求P X1, Y3（3）求P (X1.5（4）求

3、P (X+Y4分析：利用P (X, Y)G=再化为累次积分，其中解：（1），（2）（3）y（4）4、解：（1）、因都是非负的连续型随机变量，故的概率密度为其中为X的概率密度即所以（2）、因是相互独立的且是非负的连续型随机变量，故可以用（1）的结论5、解：设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为解：6、解：解法（1）： 将试验的样本空间及X，Y取值的情况列表如下：样本点HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX取值22111100Y取值32221110X所有可能取的值为0，1，2；Y所有可能取的值为0，1，2，3由于试验属于等可能概型，容易得到取，i=0,1,2;j=0,1,2,3的概率和

4、边缘分布律如下表：Y X01201/8001/811/81/403/8201/41/83/83001/81/81/41/21/41解法（2）：，所有可能的取值为0，1，2，3.而当时Y取的概率为1/2,Y取的概率也为1/2，而取以外的值是不可能的。知故知其他情况的概率为0，所得的联合分布律与解法（1）相同，即为上表所表示。7、解：的概率密度在区域外取零值。有 8、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为x=yy求边缘概率密度。xo解: 9、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。解: l=yo y=x2x10、解：（1）、 （X，Y）关于X的边缘分布律为将表中

5、那一行的数字相加，就得到概率，可得（X，Y）关于X的边缘分布律为X51525354550.180.150.350.120.20同理可以得到（X，Y）关于Y的边缘分布律为Y51525354550.280、280.220.090.13（2）、所求的条件分布律为：X=i51525354556/287/285/285/285/2811、解：（1）、即（2）、对于对于（3）、时，12、解：在取为定值之后，是在这个数等可能地取一个数，因此条件分布律为：当时，条件分布律为Y=k11当时，条件分布律为Y=k12当时，条件分布律为Y=k1231/31/31/3当时，条件分布律为Y=k12341/41/41/41

6、/413、解：在第9题中，有边缘概率密度为：（1）当时当时的条件概率密度可自上式中令而得到（2）、当时（3）、14、15、解：（1）、的联合概率密度为：(2)、Y的边缘密度：。所以（3）、16第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。解：放回抽样的情况P X=0, Y=0 = P X=0P Y=0 =P X=0, Y=1 = P X=0P Y=1=P X=1, Y=0 = P X=1P Y=0=P X=1, Y=1 = P X=1P Y=1=在放回抽样的情况下，X和Y是独立的不放回抽样的情况：P X=0, Y=0 =P X=0=P X=0= P X=0, Y=0 + P Y=0, X=1 =P X

7、=0P Y=0 =P X=0, Y=0 P X=0P Y=0 X和Y不独立17、（1）、所以相互独立。（2）、所以X，Y相互独立。18、设X，Y是两个相互独立的随机量，X在（0，1）上服从均匀分布。Y的概率密度为（1）求X和Y的联合密度。（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。解：（1）X的概率密度为y=x2Y的概率密度为1xDyo且知X, Y相互独立，于是（X，Y）的联合密度为（2）由于a有实跟根，从而判别式 即： 记 19、20、21、解：（1）、上述被积函数当且仅当即时才不会为0当时当时所以的概率密度为：（2）、上述被积函数当且仅当即时才不会为0当时所以的概率密

8、度为：2 2、23、设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为并设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率密度。解：（1）设第一周需要量为X，它是随机变量 设第二周需要量为Y，它是随机变量且为同分布，其分布密度为Z=X+Y表示两周需要的商品量，由X和Y的独立性可知：z0 当z0时，由和的概率公式知 （2）设z表示前两周需要量，其概率密度为 设表示第三周需要量，其概率密度为：z与相互独立= z +表示前三周需要量则：0，当u0时所以的概率密度为24、25、解：因X，Y相互独立，故上述被积函数当且仅当即时才不会为0当时所以的概率密度为：所以的概率密度为：26、解：因

9、X，Y相互独立，故上述被积函数当且仅当即时才不会为0当时所以的概率密度为：27、解：X、Y相互独立且概率密度均为上述被积函数当且仅当即时才不会为0当时所以的概率密度为：28、29、设随机变量（X，Y）的概率密度为（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX (x)，fY (y)（3）求函数U=max (X, Y)的分布函数。解：（1） （2） （3）Fu ()=P U u=P )=P X u, Y u =F (u, u)= u180=P X1180, X2180, X3180, X4180 =P X1804=1pX1804= (0.1587)4=0.0006331、32、33、34、35、36

10、、设随机变量（X，Y）的分布律为XY012345012300.010.010.010.010.020.030.020.030.040.050.040.050.050.050.060.070.060.050.060.090.080.060.05（1）求P X=2|Y=2，P Y=3| X=0（2）求V=max (X, Y )的分布律（3）求U = min (X, Y )的分布律解：（1）由条件概率公式P X=2|Y=2= = =同理P Y=3|X=0=（2）变量V=maxX, Y 显然V是一随机变量，其取值为 V：0 1 2 3 4 5P V=0=P X=0 Y=0=0P V=1=P X=1，Y

11、=0+ P X=1，Y=1+ P X=0，Y=1 =0.01+0.02+0.01=0.04P V=2=P X=2，Y=0+ P X=2，Y=1+ P X=2，Y=2 +P Y=2, X=0+ P Y=2, X=1 =0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16P V=3=P X=3，Y=0+ P X=3，Y=1+ P X=3，Y=2+ P X=3，Y=3 +P Y=3, X=0+ P Y=3, X=1+ P Y=3, X=2 =0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28P V=4=P X=4，Y=0+ P X=4，Y=1+ P X=4，Y=2+

12、 P X=4，Y=3 =0.07+0.06+0.05+0.06=0.24P V=5=P X=5，Y=0+ + P X=5，Y=3 =0.09+0.08+0.06+0.05=0.28（3）显然U的取值为0，1，2，3 P U=0=P X=0，Y=0+ P X=0，Y=3+ P Y=0，X=1+ + P Y=0，X=5=0.28同理 P U=1=0.30 P U=2=0.25 P U=3=0.17或缩写成表格形式（2）V012345Pk00.040.160.280.240.28（3）U0123Pk0.280.300.250.17（4）W=V+U显然W的取值为0，1，8 PW=0=PV=0 U=0=

13、0 PW=1=PV=0, U=1+PV=1U=0 V=maxX，Y=0又U=minX，Y=1不可能上式中的PV=0，U=1=0，又 PV=1 U=0=PX=1 Y=0+PX=0 Y=1=0.2故 PW=1=PV=0, U=1+PV=1，U=0=0.2 PW=2=PV+U=2= PV=2, U=0+ PV=1，U=1 = PX=2 Y=0+ PX=0 Y=2+PX=1 Y=1 =0.03+0.01+0.02=0.06 PW=3=PV+U=3= PV=3, U=0+ PV=2，U=1 = PX=3 Y=0+ PX=0，Y=3+PX=2，Y=1 + PX=1，Y=2 =0.05+0.01+0.04+0.03=0.13 PW=4= PV=4, U=0+ PV=3，U=1+PV=2，U=2 =PX=4 Y=0+ PX=3，Y=1+PX=1，Y=3 + PX=2，Y=2 =0.19 PW=5= PV+U=5=PV=5, U=0+ PV=5，U=1+PV=3，U=2 =PX=5 Y=0+ PX=5，Y=1+PX=3，Y=2+ PX=2，Y=3 =0.24 PW=6= PV+U=6=