高中数学 第1章 解三角形 1.1 正弦定理 苏教版必修5

1、1.1正弦定理,目标导航,预习引导,目标导航,预习引导,目标导航,预习引导,提示:C=90,sin C=1,目标导航,预习引导,2.正弦定理的应用 (1)解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个元素是边),求其余三个未知元素的过程.(2)用正弦定理可解决两类解斜三角形的问题:第一类是已知两角与任一边,求其他两边和一角;第二类是已知两边与其中一边的对角,求另一边的对角(从而求出其他的边和角,目标导航,预习引导,预习交流2 在三角形中,若ABC,则sin Asin Bsin C吗?反之,是否能成立? 提示:三角形中大边对大角, 由ABC,得abc. 又a=2Rsin A,

2、b=2Rsin B,c=2Rsin C, sin Asin Bsin C. 反之亦成立. sin Asin Bsin C, 2Rsin A2Rsin B2Rsin C, 即abc, ABC,目标导航,预习引导,2)已知在ABC中,a=c=2,A=30,则边b,一,二,三,一、运用正弦定理解三角形 活动与探究,思路分析:在ABC中,已知两边和其中一边的对角,可运用正弦定理求解,但要注意解的个数的判定,一,二,三,一,二,三,一,二,三,名师点津 1.已知三角形的两个角求第三个角时注意三角形内角和定理的运用,求边时可用正弦定理的变形,把要求的边用已知条件表示出来再代入计算. 2.已知三角形两边和其

3、中一边的对角解三角形时,首先用正弦定理求出另一边对角的正弦值,再利用三角形中大边对大角看能否判断所求的角是锐角,当已知的角为大边对的角时,则能判断另一边所对的角为锐角,当已知的角为小边对的角时,则不能判断,一,二,三,二、利用正弦定理判断三角形的形状 活动与探究 例2在ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断ABC的形状. 思路分析:要判断三角形的形状,关键要明确三角形中边与边是否相等、角与角是否相等、有无直角钝角等,从而作出判断. 解:根据正弦定理及sin2A=sin2B+sin2C,得a2=b2+c2, 由勾股定理的逆定理知,A为直角,B

4、+C=90. 2sin Bcos C=2sin Bcos(90-B)=2sin2B=1. 0B90,B=45. ABC是等腰直角三角形,一,二,三,迁移与应用 1.已知ABC的三边分别为a,b,c,且cos Acos B=ba,则ABC是三角形. 答案:等腰或直角 解析:由正弦定理, 即2sin Acos A=2sin Bcos B. sin 2A=sin 2B. 故ABC是等腰或直角三角形,一,二,三,2.在ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断ABC的形状,一,二,三,名师点津 (1)判断三角形的形状,可以从三边的关系入手,也可以从三个内角的关系入手,从条件出发,利用正弦定理

5、进行代换、转化,呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小,从而作出准确判断. (2)判断三角形的形状,主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别,一,二,三,三、三角形面积公式的应用 活动与探究,思路分析:本题要证明的等式中,有边也有角,故可考虑用正弦定理,但在两个三角形中,应用有一定的困难,可借助于SABP=SAPC+SBPC去证明,一,二,三,一,二,三,一,二,三,2,3,4,5,1,答案:B,解析:由正弦定理,6,2,3,4,5,1,2.已知ABC中,asin A+bsin B=csin C,

6、则该三角形为 () A.等腰三角形B.等边三角形 C.直角三角形D.不能确定 答案:C,6,2,3,4,5,1,3.在ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC=123,则abc,6,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,5.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csin A=acos C,求角C的大小. 解:由正弦定理得sin Csin A=sin Acos C. 因为00.从而sin C=cos C,6,2,3,4,1,6,5,6.在ABC中,lg(sin A+sin C)=2lg sin B-lg(sin C-sin A),判断ABC的形状. 解:由题意